D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Wykład 2: Metoda simpleks dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dc

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks Metoda simpleks – uniwersalna, pozwala na znalezienie rozwiązania optymalnego dla każdego liniowego modelu decyzyjnego, które ma rozwiązanie. Sekwencyjne ukierunkowane sprawdzanie rozwiązań. Załóżmy, że mamy LMD z n zmiennymi decyzyjnymi i m warunkami ograniczającymi. Można rozpocząć rozwiązywanie modelu metodą simpleks: gdy w macierzy współczynników z warunków ograniczających A, znajduje się podmacierz kwadratowa o wymiarze m, której kolumny są liniowo niezależne (macierz jednostkowa). Jeżeli w macierz A znajduje się taka macierz możemy wskazać rozwiązanie bazowe.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks Rozpoczynamy od modelu w postaci kanonicznej. (MAX)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks Rozpoczynamy od modelu w postaci kanonicznej. (MAX) Macierz A:

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks Rozpoczynamy od modelu w postaci kanonicznej. (MAX) Macierz A:

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks Zmienne, przy których znajduje się macierz jednostkowa (zmienne bazowe) przyjmują niezerowe wartości w danym rozwiązaniu bazowym. Zmienne niebazowe są równe zero. Wartości zmiennych bazowych w rozwiązaniu początkowym równe są elementom wektora wyrazów wolnych b. Zdegenerowane rozwiązanie bazowe – chociaż jedna zmienna bazowa jest równa zero. Wówczas mogą nastąpić tzw. martwe kroki – przechodzimy od jednego rozwiązania do drugiego związanych z tym samym punktem, wartość funkcji celu się nie zmienia.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Tablica simpleks (max – bez sztucznej bazy) x1 x2 … xn s1 sm baza cj c1 c2 cn bj s2 a11 a21 am1 1 b1 b2 bm cj - zj Big M

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Tablica simpleks (max – bez sztucznej bazy) x1 x2 … xn s1 sm baza cj c1 c2 cn bj s2 a11 a21 am1 1 b1 b2 bm cj - zj Big M

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Tablica simpleks (max – bez sztucznej bazy) x1 x2 … xn s1 sm baza cj c1 c2 cn bj s2 a11 a21 am1 1 b1 b2 bm cj - zj Big M

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Tablica simpleks (max – bez sztucznej bazy) x1 x2 … xn s1 sm baza cj c1 c2 cn bj s2 a11 a21 am1 1 b1 b2 bm cj - zj Big M

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Metody simpleks (tablicowo) Początkowa tablica simpleks zawiera pierwsze rozwiązanie bazowe. Każda zmienna w danym rozwiązaniu ma swój wskaźnik optymalizacyjny (cj – zj): Dla zmiennych bazowych jest on równy zero. Dla zmiennych niebazowych określa jak się zmieni wartość funkcji celu, jeżeli dana zmienna przyjmie wartość jeden.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Tablica simpleks (max – bez sztucznej bazy) x1 x2 … xn s1 sm baza cj c1 c2 cn bj s2 a11 a21 am1 1 b1 b2 bm cj - zj Big M

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Metody simpleks (tablicowo) Początkowa tablica simpleks zawiera pierwsze rozwiązanie bazowe. Każda zmienna w danym rozwiązaniu ma swój wskaźnik optymalizacyjny (cj – zj): Dla zmiennych bazowych jest on równy zero. Dla zmiennych niebazowych określa jak się zmieni wartość funkcji celu, jeżeli dana zmienna przyjmie wartość jeden. Kryterium optymalności: Dane rozwiązanie bazowe jest optymalne, jeżeli wskaźniki optymalizacyjne dla zmiennych niebazowych są: niedodatnie – dla maksymalizacji, nieujemne – dla minimalizacji.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Metody simpleks (tablicowo) Jeżeli w początkowej tablicy simpleks nie jest zawarte rozwiązanie optymalne należy przejść do kolejnej tablicy (kolejnego wierzchołka). Kryterium wyboru zmiennej wprowadzanej do bazy: Dla maksymalizacji do bazy wejdzie zmienna niebazowa, dla której współczynnik optymalizacyjny ma największą wartość dodatnią. Dla minimalizacji do bazy wejdzie zmienna niebazowa, dla której współczynnik optymalizacyjny ma największą wartość ujemną.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Metody simpleks (tablicowo) Reguła wyboru zmiennej usuwanej z bazy: Elementy kolumny bj dzielimy przez odpowiednie elementy kolumny przy zmiennej wchodzącej do bazy. Zmienna wejdzie na to miejsce w bazie, gdzie iloraz będzie najmniejszy, po warunkiem, że jest większy od zera. (Brak ilorazów dodatnich oznacza, że zagadnienie nie ma rozwiązania optymalnego – należy przerwać obliczenia). Wyznaczanie nowej tablicy simpleksowej: Przekształcenia Gaussa, Przekształcenia Jordana.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks – min (Sztuczna baza) Model w postaci kanonicznej. (MIN)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks – min (Sztuczna baza) Model w postaci kanonicznej. (MIN)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks – min (Sztuczna baza) Model w postaci kanonicznej. (MIN)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks – min (Sztuczna baza) Model w postaci kanonicznej. (MIN)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Idea metody simpleks – min (Sztuczna baza) Zmienna sztuczna A wprowadzana jest zawsze wtedy, gdy zmienna dodatkowa w warunku ograniczającym ma znak ujemny: typowe warunki w zagadnieniu minimalizacji, nietypowe warunki w zagadnienie maksymalizacji. Waga w funkcji celu przy zmiennej sztucznej: w minimalizacji + M, w maksymalizacji – M.