Wzory Cramera a Macierze Grupa IV

Gabriel Cramer (1704 - 1752) Szwajcarski matematyk i fizyk, uczeń Johanna Bernoulliego (opublikował jego dzieła), profesor uniwersytetu w Genewie. Autor prac z zakresu teorii wyznaczników (wzory Cramera), analizy matematycznej, teorii krzywych algebraicznych (m.in. badał własności tzw. diabelskiej krzywej) oraz historii matematyki. W 1750 r. podaje wzory (wcześniej odkryte przez Colina Maclaurina już w 1729 r.) wyrażające rozwiązanie układu równań za pomocą wyznaczników.

WYZNACZNIKI       Oto schemat ogólny układu równań, z ogólnikowo podanymi współczynnikami przy zmiennych:   Z tego układu możemy wyodrębnić trzy macierze w taki oto sposób:     

Wyznacznik y–kowy obliczamy w podobny sposób: Dla tych macierzy obliczamy ich wyznaczniki, odpowiednio je oznaczając:  Do wyliczenia wyznacznika głównego wykorzystujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomych x i y obliczając w następujący sposób: Wyznacznik x–owy obliczamy poprzez zamianę współczynników znajdujących się przy niewiadomej x na wartości wolne: Wyznacznik y–kowy obliczamy w podobny sposób:  

 Za pomocą tych wyznaczników możemy znaleźć rozwiązania układu, biorąc pod uwagę kilka wiadomości: 1) Układ ma jedno rozwiązanie gdy wyznacznik główny W 0. Wtedy rozwiązaniem jest: 2) Układ nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy gdy W= 0 oraz Wx lub Wy jest różny od zera 3) Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy W = 0, Wx=0 i Wy=0

PRZYKŁAD Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.

Obliczamy wyznacznik układu: Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

Oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi: Mamy więc rozwiązanie:

Układy trzech (i wiecej) równan liniowych W poprzednich podrozdziałach skupialiśmy się głównie na rozwiązywaniu układów dwóch równań, w którym występowały dwie niewiadome (i czasem parametry). Możliwe jest jednak rozwiązywanie większych układów równań. Metoda wyznaczników dla układów trzech równań linowych. Rozważmy układ równań: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Dla takiego układu równań zdefiniujmy znane juz wcześniej pojęcia.

Definicja (wyznacznik główny układu trzech równań liniowych) Definicja (wyznacznik główny układu trzech równań liniowych). Wyznacznikiem głównym układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy liczbę: Uwaga: (wyznaczniki szczególne). Analogicznie do powyższej definicji, możemy podać wzory na wyznaczniki szczególne Wx, Wy, Wz, w których odpowiednia kolumnę zamieniamy na kolumnie d1, d2, d3 i korzystamy z wzoru danego w definicji. Wszystkie twierdzenia odnośnie liczby rozwiązań układu równań liniowych są nadal prawdziwe, tzn. • jeśli wyznacznik główny jest różny od zera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, • jeśli wyznacznik główny i wszystkie wyznaczniki szczególne są równe zero, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, • jeśli wyznacznik główny równy jest zero, a któryś (przynajmniej jeden) z wyznaczników szczególnych jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.

Uwaga Powyższa metoda wyznaczników, „działa” również dla większych układów równań. Wzory tej metody ogólnie nazywa się wzorami Cramera. Można o nich przeczytać w internecie na przykład tu: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Cramera. Istnieje równiez bardzo „szybka” metoda rozwiazywania dowolnych, dużych układów równań zwana metoda eliminacji Gaussa, o której można poczytać na przykład tu http://pl.wikipedia. org/wiki/Metoda_Gaussa. Zachodzą również wzory:

Przykład Rozwiązać układ równań: 2x-6y=10, 5x-15y=k (1) przeprowadzić dyskusję w zależności od parametru k. Rozwiązanie. Obliczamy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych Wyznacznik ten jest równy zeru, więc układ (1) na pewno nie ma jednego rozwiązania (proste o równaniach (1) nie przecinają się). Teraz zajść mogą dwa przypadki.

Przypadek a: Oba wyznacznik utworzone są równe zeru: (2) Co zachodzi dla k=25. Wówczas układ (1) przyjmie postać:

(3) 2x-6y=10, 5x-15y=25 I widzimy, że ten układ sprowadza się do jednego równania (np. Drugie równanie otrzymujemy z pierwszego mnożąc obie jego strony przez 2,5); każda para liczb spełniając jedno z tych równań spełnia zarazem drugie (każdy punkt leżący na jednej z tych prostych leży jednocześnie na drugiej, bo obie proste w tym przypadku pokrywają się). Zatem gdy k=25, układ równań jest nieoznaczony, tzn. ma nieskończenie wiele rozwiązań; otrzymać je możemy podstawiając za x dowolne liczby. Podstawiając np. x=0, 1, 11, π i obliczając z któregokolwiek równanie układy (3) odpowiadają wartości y, otrzymujemy jako rozwiązania

Przypadek b: Oba wymienione wyznaczniki (2) są różne od zera Przypadek b: Oba wymienione wyznaczniki (2) są różne od zera. Odpowiada to przypadkowi k 25. Obierzmy na k dowolną inną liczbę, np. k=20; układ przyjmuje wtedy postać: (4) 2x-6y=10, 5x-15y=20 Układ równań (1) dla k 25 jest układem sprzecznym. Łatwo to stwierdzić mnożąc obie strony pierwszego równania układu (4) przez 5, a drugiego równania przez (-2) i dodając stronami, otrzymujemy wówczas sprzeczność 0=10. W tym przypadku dwie proste o równaniach (1) są równoległe, nie mają wiec punktu wspólnego.

Czym są macierze? Macierz to po prostu tablica liczb. - jest to przykładowa macierz.   Dla macierzy ważne jest kilka wartości charakteryzujących ją: - liczba wierszy (poziome) - liczba kolumn (pionowe)

Jeżeli w macierzy liczba kolumn jest równa liczbie wierszy to macierz nazywamy kwadratową n-tego stopnia, gdzie n to liczba kolumn i wierszy. Każdy element macierzy jest opisywany przez numer wiersza i kolumny np. – oznacza element leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Definicja matematyczna: Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jedną wartość ai,j  R nazywamy macierzą.

Macierze zapisujemy na ogół tłustym drukiem - A, B – opisujemy A= – oznacza macierz o liczbie wierszy n i liczbie kolumn m, tworzą ją elementy Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową lub po prostu zerem, zapisujemy A=0 Dla macierzy kwadratowej możemy wyróżnić przekątną główną, tworzą ją elementy na przekątnej od lewego górnego rogu, do prawego dolnego. Matematycznie jest to ciąg elementów (a11, a22, ..., ann).

Macierz kwadratową, której wszystkie elementy oprócz przekątnej głównej są równe zero, nazywamy macierzą diagonalną i zapisujemy diag(a11,a22,...,ann). Macierz diagonalną, której wszystkie elementy na przekątnej równe są 1 nazywamy macierzą jednostkową lub po prostu jedynką i oznaczamy I. np. I= dla stopnia trzeciego   Macierz, która oprócz przekątnej ma same 0, a na przekątnej te same wartości nazywamy macierzą skalarną. np. A=diag(a,a,a) =

Elementarne operacje Porównywanie macierzy   Dla macierzy A=[aij]nxm oraz B=[bij]nxm możemy stwierdzić równość jeżeli odpowiadające sobie elementy są równe. Matematycznie zapisujemy: A=B  aij=bij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)

Dodawanie macierzy Dodawanie (i analogicznie odejmowanie) macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach. Wynikiem dodawania macierzy jest macierz o takich samych wymiarach jak składniki. Elementy macierzy wynikowej są sumą odpowiednich elementów składników.   Matematycznie zapisujemy: A=[aij]nxm , B=[bij]nxm Sumą macierzy A+B nazywamy taką macierz C = [cij]nxm , że: cij=aij+bij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m) czyli po prostu: C=A+B= [aij+bij]nxm analogicznie definiujemy odejmowanie: D=A-B= [aij-bij]nxm

Mnożenie przez skalar Każdą macierz możemy pomnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą. Mnożenie przez liczbę rzeczywistą polega na pomnożeniu każdego elementu przez tą liczbę. Mnożenie przez skalar jest przemienne.   Matematycznie A=[aij]nxm – iloczynem A nazywamy taką macierz C=[cij]nxm, że: cij =aij