ELEMENTY KOMBINATORYKI

Elementy kombinatoryki. Permutacje. Kombinacje. Wariacje bez powtórzeń. Wariacje z powtórzeniami. Sposób na prawie każde zadanie.

Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m. in Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m.in. obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania).

n k OGÓLNIE TYLKO Pn=n! LUB Ilość elementów w zbiorze   Ilość elementów w zbiorze Zbiory różnią się W zbiorze NIE MA powtarzających się elementów PRZYKŁAD Wchodzącymi elementami Kolejnością elementów PERMUTACJE (KĖLINIAI) n TYLKO Pn=n! Trzy wagony W1, W2, W3 należy połączyć kolejno, otrzymamy: W1,W2,W3; W1,W3,W2; W2,W1,W3; W2,W3,W1; W3,W1,W2; W3,W2,W1 Wariacja bez powtórzeń (GRETINIAI) (ważna kolejność) k LUB Z pośród 10 uczniów wybieramy starostę, zastępcę, sekretarza. Możliwości =10X9X8=720. Tu kolejność jest ważna, bo Marzena, Jarek, Paweł ≠Marzena, Paweł, Jarek ≠ Paweł, Marzena, Jarek ≠ Paweł, Jarek, Marzena ≠ Jarek ,Paweł, Marzena, ≠ Jarek , Marzena, Paweł KOMBINACJE (DERINIAI) (nie ważna kolejność) Z pośród 10 uczniów trzech pojedzie zwiedzać PARYŻ Tu kolejność nie jest ważna, bo Marzena, Jarek, Paweł =Marzena, Paweł, Jarek = Paweł, Marzena, Jarek = Paweł, Jarek, Marzena = Jarek ,Paweł, Marzena, = Jarek , Marzena, Paweł To jest jak jedna kombinacja.

Permutacja (KĖLINIAI) Permutacją (KĖLINIAIs) zbioru n-elementowego nazywamy każdy ciąg n-elementowy utworzony z wszystkich elementów tego zbioru, czyli jest to pewne uporządkowanie elementów tego zbioru. Liczba wszystkich różnych permutacji zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład permutacji (KĖLINIAI). Ile wyrazów mających lub nie mających sens można ułożyć przestawiając litery wyrazu KAT? K A T A T K K T A A T T K K A K A T AKT ATK KTA T K A TAK Są to permutacje zbioru trzyelementowego, a zatem ich ilość wynosi : P3 = 3•2•1 = 3! = 6 ; Pn = n•(n-1) •…•3•2•1 = n!

Wariacja bez powtórzeń (GRETINIAI) (ważna kolejność) Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy ciąg różnowartościowy k-wyrazowy utworzony z elementów danego zbioru. Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład wariacji bez powtórzeń (GRETINIAI) 1. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając dwóch różnych cyfr ze zbioru { 2,5,7,9 }? 25 27 29 59 57 52 79 72 75 92 97 95 Są to dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru zawierającego cztery elementy.

Przykład wariacji bez powtórzeń.. (GRETINIAI) 2. Na ile sposobów z czteroosobowej reprezentacji klasy można wybrać kapitana i jego zastępcę :     K Z K Z K Z K Z K Z K Z     K Z K Z K Z K Z K Z K Z Są to wariacje dwuelementowe bez powtórzeń ze zbioru czteroelementowego.    

Kombinacja. (DERINIAI) Kombinacją k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy danego zbioru. W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia. Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład kombinacji (DERINIAI) 1. Ile jest możliwości wyboru dwóch różnych kolorów kart z czterech?         =           Są to kombinacje dwuelementowe ze zbioru czteroelementowego.

Przykład kombinacji (DERINIAI) 2. Ile można narysować na płaszczyźnie prostych przechodzących przez: a) dwa, b) trzy, c) cztery punkty ( jeżeli żadne trzy z nich nie są współliniowe ) ? B A C D

Wariacja z powtórzeniami. Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy ciąg k-wyrazowy utworzony z elementów danego zbioru. Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład wariacji z powtórzeniami. 1. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając cyfr ze zbioru { 2,5,7,9 }? 99 77 55 22 25 72 52 92 27 75 57 95 29 79 59 97 Są to dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru zawierającego cztery elementy.

Przykład wariacji z powtórzeniami. 2. Na ile sposobów można włożyć trzy różne piłeczki do dwóch ponumerowanych pudełek ? 1 2 1 2 1 2 1 2

Przykład wariacji z powtórzeniami. 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 Są to trzywyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru zawierającego dwa elementy, a zatem ich ilość wynosi 23 = 8.

Sposób na zadanie. Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? Doświadczenie polega na wylosowaniu k-elementów ze zbioru n-elementowego Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? nie tak Czy elementy mogą się powtarzać? nie tak Kombinacja. DERINIAI Wariacja bez powtórzeń. Wariacja z powtórzeniami.