Rachunki Gentzena Joanna Witoch

Plan prezentacji 1. Wprowadzenie 2. Rachunek NK 3. Rachunek LK 4. Twierdzenie zasadnicze Gentzena 5. Rachunek LJ 6. Tablice Betha 7. Logika liniowa

Wprowadzenie Systemy Hilberta Pomysł Gentzena MP regułą wtórną Rozstrzygalność logiki intuicjonistycznej Pojęcie dowodu Problemy dowodów w logice: jednoznaczność, powtarzalność, odtwarzalność z części Pomysł stworzenia schematów wnioskowania Własność podformuły

Rachunek NJ

Podstawowe pojęcia Alfabet Formuła poprawnie zbudowana Stałe zdaniowe Zmienne zdaniowe p1, p2, p3, … Spójniki logiczne Nawiasy ),( Formuła poprawnie zbudowana Każda zmienna zdaniowa oraz stała zdaniowa Jeśli A, B są formułami języka rachunku zdań, to napisy : Nie ma innych formuł

Podstawowe pojęcia Stopieniem formuły nazywamy liczbę występujących w niej stałych logicznych. Główną stałą logiczną formuły nazywamy tę stałą logiczną, która została dołączona jako ostatnia podczas budowania formuły. Podformułami danej formuły nazywamy te formuły, które mogły występować podczas jej budowania, włączając samą formułę. Rachunek NJ ma odzwierciedlać rozumowanie naturalne

Intuicja Figura wnioskowania Figura dowodu

Figury wnioskowania

Przykład Rozumowanie naturalne: B i C są prawdziwe, to jeśli A jest prawdziwe, to również AB jest prawdziwe, a stąd i z tego, że C było prawdziwe, cały następnik implikacji jest prawdziwy; jeśli A jest fałszywe, to w poprzedniku mamy fałsz, a z fałszu można wywnioskować dowolne zdanie, w tym następnik badanej implikacji. Jeżeli B jest fałszywe to BC jest nieprawdą i stąd cały poprzednik jest nieprawdziwy. Ponownie możemy więc wnioskować następnik z fałszu. Podobnie dla fałszywego C. Zatem wyrażenie jest prawdziwe.

Rachunek LK

Pojęcia

Figury wnioskowania

Figury wnioskowania

Przykład 1) 2)

Hauptsatz Gentzena

Mieszanie Modus ponens Cięcie Postać modus ponens Mieszanie

Teza Modus ponens, czyli figura wnioskowania nie spełniająca własności podformuły, a dokładniej jej uogólnienie zwane mieszaniem, jest eliminowalne w rachunkach NJ, LK, LJ – to znaczy, możemy je zastąpić innymi figurami wnioskowania.

Przebieg dowodu Dowód Gentzena ma 15 stron Polega na sprawdzeniu wszystkich możliwych przypadków Stosujemy indukcje matematyczną po stopniu i rzędzie inferencji Chcemy udowodnić, że każdą inferencję można przekształcić na inferencję bez cięć, o takiej samej konkluzji

Przebieg dowodu Udowadniamy tezę dla inferencji pewnego stopnia i zakładamy, że zachodzi dla inferencji o stopniu niższym Najpierw rozważamy rząd 2, następnie formuły o wyższym rzędzie Sprawdzamy przypadki, kiedy formuła mieszająca pochodzi z różnych figur wnioskowania i pokazujemy, że mieszanie może być przesunięte wyżej w inferencji, aż do aksjomatów

Przykład Przesunięcie mieszania dla formuły mieszającej pochodzącej stopnia 1 pochodzącej z figur UES i UEA

Rachunek LJ

Konstrukcja i rozstrzygalność Usunięcie prawa wyłączonego środka Skutek – tylko 1 formuła w sukcedensie (*) Rozstrzygalność: LJ powstaje z LK LK ma własność podformuły Żadna formuła nie zawiera w dowodzie innych formuł, prócz swoich podformuł Zatem zgodnie z procedurą Gentzena dla każdej formuły można znaleźć dowód

Przykład 1) Jedno z praw de Morgana 2) Prawo wyłączonego środka

Tablice Betha

Konstrukcja Rachunek Betha jest treściowo identyczny z rachunkiem Gentzena Dowody w tablicach są dowodami nie wprost Uogólnienia: 4 zasady: implikacja, alternatywa, negacja, koniunkcja

Przykład dowodu Tablica Betha Korespondujący dowód Gentzena

Tezy Wszystkie figury wnioskowania Gentzena (bez mieszania) są tautologiami (tzn istnieje ich tablicowy dowód Betha) Tablice Betha korespondują z dowodami Gentzena – z tablicy Betha można odtworzyć dowód gentzenowski

Przykład Dla figury UES

Wnioski Systemy Gentzena umożliwiają wprowadzenie wnioskowanie automatycznego – pozwalającego na dowodzenie formuł bez rozumienia ich semantycznej treści Figura MP jest figurą, która nie zachowuje własności podformuły i przez to uniemożliwia wnioskowanie automatyczne Tablice Betha umożliwiają odtworzenie dowodu gentzenowskiego

Logika liniowa

Intuicja Logiki podstrukturalne Przykład Girarda A – wydanie $1 B – Zakupienie paczki Cameli C – Zakupienie paczki Malboro

Konstrukcja Nowe spójniki: ! * + Klasyczna logika liniowa powstaje z logiki klasycznej poprzez usunięcie figur osłabienia, skrócenia i wymiany Intuicjonistyczna logika liniowa powstaje z logiki intuicjonistycznej, analogicznie Dla klasycznej i intuicjonistycznej logiki liniowej zachodzi Hauptsatz. Dowód przebiega analogicznie

Zalety Uwzględnia pojęcie zasobu Formuły mogą być traktowane jako dane A B – dana jednorazowa, do uzyskania danej typu A albo danej typu B A*B – para danych A B – zawiera daną typu A lub typu B (nie wiemy) A B – sposób zamiany danej typu A na daną typu B !A – nieograniczona ilość zasobu Możliwa implementacja komputerowa

Pytania?

Dziękuję za uwagę