Zapraszam na prezentację multimedialną pt Zapraszam na prezentację multimedialną pt. „Trójkąty prostokątne” wykonaną przez uczennicę III klasy Niepublicznego Gimnazjum im. Jana Pawła II w Laskowej. Anna Balon

Trójkąty Prostokątne

Krótka informacja o trójkącie Jednym z rodzajów trójkątów, (podzielonych ze względu na kąty) jest TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i dają w sumie 90°.  α + β = 90° C = 90°, α < 90° i β < 90°

Cechy przystawania trójkątów prostokątnych

Cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych I cecha: Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym przystającym, to te trójkąty są przystające. α1 = α lub β1 = β

... ciąg dalszy... II cecha: Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne

... ciąg dalszy cech podobieństwa trójkątów prostokątnych. III cecha: Jeżeli stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jednego trójkąta jest równy stosunkowi odpowiedniej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. Można też rozpatrywać stosunki przeciwprostokątnych do odpowiednich przyprostokątnych.

KIM BYŁ PITAGORAS??? Pitagoras- (ok. 572-497 p.n.e) filozof grecki; wprowadził pojęcie podobieństwa figur ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii; przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom, wierzył w harmonię w kosmosie.

Pitagorasa w wersji wzoru: Twierdzenie Pitagorasa Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma  kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Pitagorasa w wersji wzoru:

Tw. Pitagorasa w wersji graficznej

Trójkąt pitagorejski Jest to trójkąt prostokątny, którego stosunki długości boków mają się do siebie jak liczby naturalne - np. trójkąt o bokach 3,4,5.

Dowód twierdzenia Pitagorasa Jeżeli kwadraty o boku a i o boku b podzielimy jak na rysunku, to otrzymane w ten sposób figury, ułożone razem, stworzą kwadrat o boku c. Zatem otrzymamy w ten sposób tezę twierdzenia Pitagorasa.

Zadania związane z tw. Pitagorasa Zadanie 1. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 4 cm. Oblicz obwód figury. Zadanie 2. W trapezie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na odcinki długości 5 cm i 14 cm. Obwód trapezu wynosi 54. Oblicz: A) długości wszystkich boków, B) pole tego trapezu.

Rozwiązania: Zadanie 1. Najpierw obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta, korzystając z tw. Pitagorasa.  A później liczymy obwód:

Zadanie 2. A) Wykonujemy schematyczny rysunek. Jest to trapez równoramienny, więc kąty przy jednym ramieniu są równe kątom przy drugim ramieniu. Tak jak jest to pokazane na rysunku. Skoro obwód trapezu jest równy 54cm, to ramiona łącznie mają 26, a osobno 13 cm.  Dalsza część zadania 

Wyliczamy długość wysokości korzystając z tw. Pitagorasa. Zadanie 2. Wyliczamy długość wysokości korzystając z tw. Pitagorasa. Dalsza część zadania 

B) A teraz obliczamy pole trapezu: Zadanie 2. B) A teraz obliczamy pole trapezu: Odp.A. Długości boków wynoszą: podstawa mniejsza –9cm, podstawa większa- 19cm, przyprostokątne- 13cm. Odp.B. Pole tego trapezu jest równe 168 cm2.

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

Dowód, potwierdzający to twierdzenie c2 =a2+b2 Założenie: a, b, c - boki trójkąta, c2 =a2+b2 Teza: Trójkąt o bokach a, b, c jest prostokątny. 

Zadanie związane z tw. odwrotnym do tw. Pitagorasa Zadanie 1. Sprawdź, czy trójkąty o podanych długościach boków są prostokątne: a) 3, 4, 5 b) 6, 8, 10 c) 9, 12, 14

Rozwiązanie zadania: a) Sprawdzamy czy jest to trójkąt prostokątny. Niewiadoma „y” musi być równa 5. Wniosek: Ten trójkąt jest prostokątny! Niewiadoma „y” jest równa 5.

Rozwiązanie zadania- ciąg dalszy: b) Sprawdzamy, czy ten trójkąt jest prostokątny. Niewiadoma „x” musi być równa 10. Wniosek: Ten trójkąt jest prostokątny. Niewiadoma „x” jest równa 10.

Rozwiązanie zadania – ciąg dalszy. c) Sprawdzamy, czy ten trójkąt jest prostokątny. Niewiadoma „z” musi być równa 14. Wniosek: Ten trójkąt nie jest prostokątny! Niewiadoma „z” nie jest równa 14.

Trójkąt o kątach: 90, 45 i 45 - EKIERKI Trójkąt o kątach 900, 450, 450 powstaje z kwadratu o boku a i przekątnej d =a . Jest to trójkąt prostokątny równoramienny o następujących zależnościach: a - przyprostokątne trójkąta d - przeciwprostokątna trójkąta d = a

Trójkąt o kątach 90, 60 i 30 - EKIERKI Drugi trójkąt o kątach 900 , 600 , 300 powstaje z trójkąta równobocznego o boku a i wysokości h. Występują w nim następujące zależności : a – przeciwprostokątna trójkąta h - wysokość trójkąta     - przyprostokątna trójkąta

Zadania związane z EKIERKAMI Zadanie 1. Oblicz długości boków oznaczonych literami b, h, y w poniższych trójkątach prostokątnych. a) wiedząc, że kąt  ostry trójkąta ma miarę 450

b) wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę 300  Ponieważ wiemy że są to trójkąty prostokątne, w rozwiązaniu możemy skorzystać z zależności zawartych w ekierkach.

Rozwiązanie zadania: a) Jest to trójkąt prostokątny, więc kąt prosty ma 90, i na dwa pozostałe zostaje również 90 stopni. Wiemy że jeden z pozostałych kątów ma 45 stopni więc na drugi zostaje również 45 stopni. Z przekształconego wzoru wyliczamy „b”

Rozwiązanie zadania: b) Jest to trójkąt prostokątny, więc kąt prosty ma 90, i na dwa pozostałe zostaje również 90 stopni. Wiemy że jeden z pozostałych kątów ma miarę 30 stopni więc na drugi zostaje 60 stopni. Z zależności poznanych w ekierkach obliczamy niewiadome „y” i „h”.

Dziękuję bardzo za uwagę!  Anna Balon