CENTRUM KSZTAŁCENIA ROLNICZEGO Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ CENTRUM KSZTAŁCENIA ROLNICZEGO im. W.WITOSA w BONINIE ID grupy: 97/42_mf_g1 Kompetencja: MAT-FIZ Temat projektowy: LICZBY FIBONACCIEGO Semestr/rok szkolny: III/2011/2012

1220r. -Practica geometriae będące połączeniem algebry i geometrii, Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci (1175-1250) – włoski matematyk; znany również jako: Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego) czy Leonardo Pisano (z Pizy). 1202 r. dzieło Leonarda Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się arabskie, a raczej hinduskie cyfry; gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki, 1220r. -Practica geometriae będące połączeniem algebry i geometrii, Oraz Flos (1225) i Liber quadratorum.

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy Liczby Fibonacciego 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu): Ciąg Fibonacciego postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu):

Ciąg Fibonacciego Własności ciągu np: dwie kolejne liczby F. nie mają wspólnego podzielnika (~ 1); dla dowolnej liczby pierwszej p mamy nieskończenie wiele liczb F, które są podzielne przez p, i które są rozmieszczone w równych odstępach w ciągu. Każdy ,,co czwarty'' wyraz ciągu jest na przykład podzielny przez 3, co piąty - przez 5, co ósmy przez 7, itd.; dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

Złota proporcja według ciągu Fibonacciego: Interpretacja geometryczna Złota proporcja według ciągu Fibonacciego: figura geometryczna złożona z kwadratów, których boki to wartości kolejnych liczb z ciągu. Spiralę Fibonacciego opisujemy w ten sposób, że każdy łuk ma promień o tej samej wartości co kwadrat w który jest wpisany.

Złoty podział Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ. Złoty podział wykorzystuje się często w proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych a + b a b

Parthenon na Akropolu – Piramida w Gizie, Fibonacci w architekturze Parthenon na Akropolu – Piramida w Gizie, plan świątyni jest złotym prostokątem stosunek wysokości do połowy jej podstawy wynosi Φ , podobnie jak iloraz wysokości ściany bocznej do wysokości piramidy. Natomiast stosunek wysokości ściany bocznej do połowy długości podstawy jest równy Φ.

metody czasowe - w odniesieniu do upływu czasu; Fibonacci na giełdzie Istnieją trzy sposoby wykorzystania liczb F do analizy papierów wartościowych: metody czasowe - w odniesieniu do upływu czasu; metody cenowe - w odniesieniu do zmiany ceny; metody cenowo - czasowe - w odniesieniu do upływu czasu i zmiany ceny.

Fibonacci w przyrodzie np. w słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę; takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki. Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego; liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin budowa muszli niektórych skorupiaków (Nautilius Pompilius). struktura atomowa; molekuły DNA; struktura kryształu orbity planet i galaktyk; proporcje powstające w wirach wodnych; proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany.

DZIĘKUJĘMY BIBLIOGRAFIA http://www.swiatmatematyki.pl http://www.math.edu.pl http://www.bimago.pl/obrazy-cyfrowe/3d/ciag-fibonacciego.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Fibonacci http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/FIBO.HTM Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek UWAGA: zachęcamy do obejrzenia filmu, który nie jest naszego autorstwa, ale w ciekawy sposób ukazuje piękno ciągu fibonacciego: http://www.youtube.com/watch?v=xdmvKxObX-s&feature=related DZIĘKUJĘMY