Czym żyje matematyk, czyli ... o rozwiązywaniu zadań Matematyka jest tym, czym zajmują się ludzie kompetentni. Dawid Hilbert Dowody dzielą się na te, które trzeba przeprowadzić i te, po przeprowadzeniu których człowiek staje się mądrzejszy. Andrzej Mąkowski Opole, 4.11.2011r.

Kategoria Z4 Zadanie 1. W puste pola (kółka) wpisz liczby naturalne od 1 do 7, każdą raz, tak aby operacje matematyczne były poprawne. 1) Trzecia pozycja to 7 lub 6. Szóstka daje sprzeczność, a 7 rozwiązanie 4 2 7 6 3 5 1 2) Czwarta liczba jest parzysta, zatem druga też. I musi to być 2 (trzecia < 8). Druga liczba to co najwyżej 2. Gdyby była równa 1, to czwarta byłaby równa 5 a to niemożliwe.

Jarkowi udało się połamać czekoladę na kawałki w następujący sposób: Kategoria Z4 Zadanie 2. Jarkowi udało się połamać czekoladę na kawałki w następujący sposób: Czy tę czekoladę bez dalszego łamania można wykorzystać do sprawiedliwego podziału między dwóch przyjaciół? W jaki sposób? A między trzech przyjaciół? Jeśli tak, czy jest tylko jeden sposób podziału.

Zadanie 2. 24 tabliczki D+E+F=A+B+C+D D=E=4 Kategoria Z4 Liczba podziałów na 2 części: 12= 6+ 4 + 2 = 6+3+1+2 razem: 3 + 1 = 4 możliwości Liczba podziałów na 3 części: 8 = 6 + 2 = 4 + 3 +1 = 4 + 4 razem: 1 · 3 · 1 = 3 możliwości

Kategoria Z4 Zadanie 3. W naszym bloku jest 10 mieszkań. Niektóre mają 4 okna, część z nich ma 3 okna, a niektóre tylko 2 okna. W naszym bloku w sumie jest 27 okien. Mieszkań z dwoma oknami jest najwięcej. Ile jest mieszkań każdego rodzaju? co najwyżej 6 mieszkań ma 2 okna x – liczba mieszkań z 3 oknami Jeśli 6 mieszkań ma 2 okna, to: 3x + 4(4-x)=15 , skąd x=1 i jest 1 mieszkanie z 3 oknami. W każdym mieszkaniu są przynajmniej 2 okna. 27-20=7 i te siedem trzeba rozdysponować.

Kategoria Z5 Zadanie 4. Do kół na rysunku wpisz liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 tak, aby suma liczb na każdej linii była taka sama. Każda liczba może być użyta tylko raz.

Zadanie 4. 2x + 1+2+3+4+5+6+7 = 3S 2x + 28 = 3S Kategoria Z5 Zadanie 4. S – suma liczb na jednej linii 2x + 1+2+3+4+5+6+7 = 3S 2x + 28 = 3S S – liczba parzysta x 10 S 13 S =10 , x=1 , 27, 36, 45 S =12 , x=4 , 17, 26, 35 na przekątnej: 2,3,5 na drugiej pionowej linii: 5 i 7 5 7 4 2 1 6 3

Zadanie 5. Marek + Adam = 52-33 = 19 Piotr + Paweł = 33 Kategoria Z5 Zadanie 5. Na lekcjach matematyki uczniowie za aktywność dostają naklejki „buźki”. Czwórka przyjaciół: Adam, Marek i para bliźniaków Piotr i Paweł, dostała na w sumie 52 buźki, każdy co najmniej jedną . Bliźniacy mają ich razem 33, ale najwięcej dostał Marek. Ile dostał Adam? Marek + Adam = 52-33 = 19 Piotr + Paweł = 33 Któryś z nich ma co najmniej 17, bo 16+16 to tylko 32 Zatem Marek ma co najmniej 18. I więcej niż 18 mieć nie może bo Adam też ma choć jedną. Adam dostał więc jedną.

Mamy 2 razy po 99 czyli 198 liczb. Kategoria Z6 Zadanie 6. Vojo napisał liczbę 2010 sto razy pod rząd bez żadnych przerw. Ile czterocyfrowych, a ile pięciocyfrowych liczb palindromicznych jest ukrytych w tym zapisie? (Liczba palindromiczna to liczba, która wygląda tak samo czytana od początku jak od końca, na przykład 39193). 20102010201020102010.............20102010 20102010201020102010.............20102010 20102010201020102010.............20102010 Mamy 2 razy po 99 czyli 198 liczb.

Kategoria Z7 Zadanie 7. Laco narysował okrąg o środku S i punkty A, B, C, D, jak na rysunku. Stwierdził on, że odcinki BD i SC są tej samej długości. W jakim stosunku pozostają do siebie miary kątów ASC i SCD?

Kategoria Z7 Zadanie 8. Juro napisał liczbę czterocyfrową. Liczbę tę zaokrąglił do dziesiątek, setek i tysięcy, a następnie wszystkie trzy wyniki zapisał pod pierwszą napisaną przez siebie liczbą. Wszystkie cztery liczby poprawnie dodał i otrzymał 5443. Jaka była pierwsza liczba napisana przez Juro?

Kategoria Z7 Zadanie 9. Znajdź wszystkie trzycyfrowe liczby całkowite, które są podzielne przez 6 i mają tę własność, że możemy usunąć dowolną jej cyfrę , a pozostała dwucyfrowa liczba całkowita jest również podzielna przez 6. 6 | 100a+10b+c 6 | 10a+c 6 | 10a+b 6 | 10b+c 6 | 100a+10b 2 | b 3 | b 6 | 100a 6 | c 6 | b 3 | a c=0 lub c=6 b=6 a= 3, 6, 9 360, 366, 660, 666, 960, 966

Kategoria Z8 Zadanie 10. Karolek próbował w puste pola na rysunku wpisać liczby naturalne od 1 do 14 tak, żeby każdej liczby użyć raz, a suma wszystkich liczb na każdej prostej linii była taka sama. Po pewnym czasie uświadomił sobie, że jest to niemożliwe. W jaki sposób mógł rozumować Karolek? „W prostej linii” oznacza grupę wszystkich sąsiednich pól, których środki znajdują się w jednej linii.

Kategoria Z8 Zadanie 11. W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu. x x 8-x 8-x POLE = a=8

Kategoria Z8 Zadanie 11. W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu.

Kategoria Z8 Zadanie 11. W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu. Odcinek CF jest równoległy do BD SDCA= SDCB= SBFC więc pole trapezu = polu trójkąta AFC

dzieląc stronami otrzymujemy Kategoria Z9 Zadanie 12. Pan Szybki i pan Spokojny wyruszyli o tej samej porze na tę samą trasę. Z tym, że pan Szybki schodził ze schroniska na górze, a pan Spokojny wyszedł z przystanku autobusowego w mieście, do schroniska na górze. Gdy była godzina dziesiąta, minęli się na szlaku. Pan Szybki szedł dalej w dół i o 12:00 zameldował się na mecie (na przystanku autobusowym). Natomiast pan Spokojny szedł wolniej i pojawił się w schronisku o godzinie 18:00. O której godzinie panowie wyruszyli, jeśli wiemy, że każdy z nich szedł cały czas ze stałą prędkością. x MS 2 godz. 8 godz. x x – czas przejścia do momentu spotkania (w godz.) v – prędkość schodzącego, w – prędkość wchodzącego 2·v = x · w dzieląc stronami otrzymujemy 2/x = x/8 skąd x2=16 i x=4 x·v = 8 · w Wyruszyli o 600.

Kategoria Z9 Zadanie 13. Na rysunku linia przerywana pokazuje granice czterech równej wielkości prostokątnych działek. Obszar zabudowany jest zaznaczony na szaro. Ma on kształt prostokąta, którego jeden bok jest również granicą działki. Pokazane liczby odzwierciedlają pola terenów niezabudowanych na poszczególnych działkach w m2. Oblicz całkowite pole obszaru zabudowanego. CZWARTA CZĘŚĆ PROSTOKĄTA MA 480+140 = 620, CAŁOŚĆ 2480 m2

Zadanie 14. x·(a,b)2 +y·(a,b) ·x·y·(a,b) 2·x·y·(a,b)2 1 +y2  2y Kategoria C Zadanie 14. Udowodnij, że najmniejsza wspólna wielokrotność [a, b] i największy wspólny dzielnik (a, b) dwóch dowolnych liczb całkowitych dodatnich a, b spełniają nierówność: Kiedy w tej nierówności zachodzi równość. Niech a=x ·(a,b) i b=y ·(a,b). Oczywiście (x,y)=1 oraz [a,b]=x·y·(a,b) x·(a,b)2 +y·(a,b) ·x·y·(a,b) 2·x·y·(a,b)2 1 +y2  2y (y-1)2  0 Równość zachodzi dla y=1, czyli gdy b dzieli a.

Czworokąty ABQK oraz DAPL są przystające, zatem Kategoria C Zadanie 15. Mamy kwadrat ABCD o długości boku 1 cm. Punkty K i L są środkami boków DA i DC. Punkt P leży na boku AB tak, że BP = 2AP. Punkt P leży na boku BC tak, że CQ = 2BQ. Odcinki KQ i PL przecinają się w punkcie X. Symbole SA, SB, SC i SD oznaczają pola czworokątów APXK, BQXP, QCLX oraz LDKX a) Udowodnij, że SB = SD. b) Oblicz SC - SA . c)Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość SA+ SC = SB + SD Czworokąty ABQK oraz DAPL są przystające, zatem SA+SB = SA+SD SB = SD

Zadanie 15. Kategoria C b) Oblicz SC - SA . a) Udowodnij, że SB = SD. b) Oblicz SC - SA . c)Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość SA+ SC = SB + SD

Zadanie 15. SB < ¼ cm2 Kategoria C (SA+ SC) + (SB + SD) = 1cm2 a) Udowodnij, że SB = SD. c) Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość SA+ SC = SB + SD (SA+ SC) + (SB + SD) = 1cm2 SB = SD  SB + SD=2·SB SB < ¼ cm2

Wybierając wszystkie liczby ze zbiorów: Kategoria C Zadanie 16. Ze zbioru liczb {1, 2, 3,..., 99} wybierz jak najwięcej liczb tak, żeby wśród wybranych nie było dwóch takich, że ich suma jest podzielna przez 11. Wybierając wszystkie liczby ze zbiorów: T1, T2, T3, T4, T5 i jedną z T0 mamy 9·5+1=46 liczb. Więcej wybrać się nie da, bo z każdego ze zbiorów można wybrać co najwyżej 9 liczb , zaś ze zbioru T0 tylko jedną.

Jeśli xz to x+1=-z i z drugiego równania dostajemy y=0. Kategoria B Zadanie 17. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych układ równań: Podnosząc stronami równania (1) i (2) do kwadratu, a następnie odejmując te równania stronami dostajemy: x2 - z2=(z+1)2-(x+1)2 skąd 2(x2 - z2)=2(z-x) Przypadek x = y = z prowadzi do równania (x2 - z2) - (x-z) = 0 (x - z)·(x+z+1) = 0 x = z lub x+z = -1 Jeśli xz to x+1=-z i z drugiego równania dostajemy y=0. Dalej z=0 i x=-1.

Zadanie 18. p+n=111a p+3p-3 = n+2n 7t = 112a+1-a 4p = 3n+3 Kategoria ? Zadanie 18. Pan Parzysty miał parzystą liczbę owieczek, zaś pan Nieparzysty nieparzystą liczbę owieczek. Suma wszystkich owieczek obu panów jest trzycyfrową liczbą naturalną o jednakowych cyfrach. Każdej owieczce pana Parzystego urodziły się trzy owieczki, zaś każdej owieczce pana Nieparzystego – dwie owieczki. Pewnego dnia wilk porwał trzy owieczki pana Parzystego. Wówczas pan Parzysty miał tyle samo owieczek co pan Nieparzysty. Ile owieczek miał pierwotnie każdy z hodowców? p - liczba owieczek p. Parzystego, n – liczba owieczek p. Nieparzystego, p+n=111a a – liczba jednocyfrowa nieparzysta p+3p-3 = n+2n 7t = 112a+1-a 4p = 3n+3 7 dzieli 1-a p=3t skąd 4t=n+1 a=1 lub a=8(sprz.) podstawiając do I równania 3t+4t-1=111a a=1 => t=16 => p=48 i n=63 7t = 111a+1

ďakujem Zadania pochodzą ze strony: http://skmo.sk Slovenská komisia Matematickej olympiády Katedra matematickej analýzy a numerickej matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Mlynská dolina 842 48 Bratislava Zadania pochodzą ze strony: http://skmo.sk opracowanie: Waldemar Górski ďakujem