Wykład 6. Redukcje odwzorowawcze Pojęcie linii geodezyjnej Redukcje odwzorowawcze figur geodezyjnych

Pojęcie linii geodezyjnej Podstawowe pojęcia Weźmy pod uwagę krzywą L1 położoną na danej powierzchni. Obierzmy na tej krzywej punkt A i bliski punkt B. Graniczne położenie siecznej, gdy B dąży do A nazywamy styczną do krzywej w punkcie A. W punkcie A możemy poprowadzić nieskończenie wiele prostych prostopadłych do stycznej. Proste te nazywamy normalnymi do krzywej L1. Normalne tworzą płaszczyznę normalną do krzywej w punkcie A Przez trzy punkty A, B, C położone blisko siebie na krzywej L1 poprowadźmy płaszczyznę. Zmiana położenia punktów A, B, C powodować będzie zmianę położenia płaszczyzny w przestrzeni. Graniczne położenie tej płaszczyzny, gdy B i C dążą do A nazywamy płaszczyzną ściśle styczną do krzywej w punkcie A.

Pojęcie linii geodezyjnej Wśród nieskończenie wielu normalnych do krzywej, normalna leżąca w płaszczyźnie ściśle stycznej nazywa się normalną główną – linia przecięcia się płaszczyzny ściśle stycznej z płaszczyzną normalną. Normalna prostopadła do stycznej i normalnej głównej nazywa się binormalną. Płaszczyzna wyznaczona przez styczną i binormalną nazywa się płaszczyzną prostującą danej krzywej L1 w punkcie A. Wersory stycznej, normalnej głównej i binormalnej wyznaczone w punkcie A tworzą tzw. trójścian Freneta. Przez dany punkt A na powierzchni możemy poprowadzić nieskończenie wiele krzywych, styczne do tych krzywych utworzą płaszczyznę styczną do powierzchni. Prosta prostopadła do płaszczyzny stycznej w punkcie A nazwa się normalną do powierzchni w tym punkcie.

Pojęcie linii geodezyjnej Jeżeli na danej powierzchni wyznaczymy krzywą, taką że w każdym jej punkcie normalna główna tej krzywej jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkcie to taką krzywą nazywamy linią geodezyjną lub ortodromą. Krzywizna geodezyjna tej linii w każdym jej punkcie jest równa zero. Przebieg linii geodezyjnej na danej powierzchni określa równanie Clairauta

Pojęcie redukcji odwzorowawczych Rozwiązując zadania na różnych powierzchniach (płaszczyźnie, kuli, elipsoidzie) posługujemy się figurami geodezyjnymi, tzn. figurami, których bokami są odcinki linii geodezyjnych. Dla takich tylko figur została opracowana geometria geodezyjna. W odwzorowaniach kartograficznych, obrazem wieloboku geodezyjnego na ogół nie będzie figura geodezyjna lecz wielobok krzywoliniowy, którego boki będą odcinkami pewnych krzywych nie będących liniami geodezyjnymi. Odwzorowania, w których obrazami linii geodezyjnych są linie geodezyjne, nazywamy odwzorowaniami geodezyjnymi.

Pojęcie redukcji odwzorowawczych Każdej figurze geodezyjnej zdefiniowanej na powierzchni oryginału, możemy natomiast przyporządkować na powierzchni obrazu figurę geodezyjną zwaną jej odpowiednikiem redukcyjnym. Odpowiednik redukcyjny jest zbudowany z odcinków linii geodezyjnych właściwych powierzchni obrazu, łączących odpowiedniki obrazowe wierzchołków figury oryginału. Różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiadającymi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowanej na powierzchni oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na powierzchni obrazu, nazywamy redukcjami odwzorowawczymi geodezyjnymi. Redukcje odwzorowawcze geodezyjne dotyczą długości boków, kątów wewnętrznych lub azymutów boków, a także pól figur geodezyjnych.

Redukcje odwzorowawcze – ilustracja graficzna

Redukcje odwzorowawcze – zadania W geodezji i w kartografii formułuje się do rozwiązania dwa zadania w których należy uwzględnić redukcję odwzorowawcze: Zadanie 1: Na elipsoidzie obrotowej spłaszczonej dany jest punkt P1, azymut A1 linii geodezyjnej w punkcie P1 oraz długość s łuku linii geodezyjnej łączącej punkty P1 i P2. Poszukujemy redukcji odwzorowawczych w tzw. aspekcie prostym. Zadanie 2: W płaszczyźnie odwzorowania dane są punkty P1’ i P2’. Poszukujemy redukcji odwzorowawczych w tzw. aspekcie odwrotnym.

Redukcje odwzorowawcze – zadania Rozwiązanie zadanie 1: Obliczenie redukcji odwzorowawczych sprowadza się do wyznaczenia azymutu linii geodezyjnej w punkcie P2 oraz współrzędnych punktu P2, czyli do rozwiązania tzw. zagadnienia przenoszenia współrzędnych wprost na elipsoidzie obrotowej spłaszczonej. Następnie do wyznaczenia współrzędnych prostokątnych płaskich obrazów P’1 i P’2 punktów P1 i P2, kątów pomiędzy odcinkiem P’1 P’2 i obrazami południków w punktach P’1 i P’2 , a także długości odcinka P’1 P’2. Rozwiązanie zadanie 2: Obliczenie redukcji odwzorowawczych polega na przejściu od współrzędnych prostokątnych płaskich x,y punktów P1’, P2’, do współrzędnych geodezyjnych B,L oraz na dwukrotnym rozwiązaniu zagadnienia odwrotnego przenoszenia współrzędnych wzdłuż linii geodezyjnej. Raz odnoszącym się do płaszczyzny obrazu i drugi raz - do powierzchni oryginału.