Przykład I. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci: Ø      m- węzłów, Ø      s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest odpowiednie ciśnienie oraz n łuków, Ø każdy łuk „i” charakteryzuje się przepływem yi: Opis sieci: Ø      spadek ciśnienia xi na łuku „i”: gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku „i” di- różnica wysokości geodezyjnych łuku „i” Ograniczenia wynikające ze struktury sieci:  I prawo Kirchhoff’a: A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej, II prawo Kirchhoff’a: B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej gdzie: przy ograniczeniach: Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład III: Znaleźć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji określonej poprzez tabelę 20 pomiarów. Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b1 , b 2, b 3, b4] formy liniowej : gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości wyjściowych dla następujących kryteriów jakości: minimum sumy wartości bezwzględnych różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie trudne do rozwiązania, ponieważ funkcja celu jest nie-różniczkowalna. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Równoważne zadanie programowania liniowego Ø      Wprowadzono nową zmienną: Ø      Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezależne  przy ograniczeniach: dla i=1,...,20 Zadanie programowania liniowego: Ø      funkcja celu jest wypukła Ø      rozwiązano metodą dwufazową simpleks. Wektor b optymalnych współczynników : Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Drugie kryterium jakości: 2. minimum sumy kwadratów różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych - i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie programowania nieliniowego: Ø      funkcja celu jest wypukła Ø      rozwiązano metodą gradientów sprzężonych w wersji Polak’a-Ribiere’y. Wyniki identyfikacji zależą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej dokładności obliczeń. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Zadanie programowania ilorazowego: przy ograniczeniach: oraz dim A=[mxn] Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 1 Zadanie określenia liczby nadmiarowych kanałów w sieci telekomunikacyjnej przy minimalizacji sumarycznych kosztów inwestycyjnych poniesionych na projektowanie sieci. Dana jest nieliniowa sieć telekomunikacyjna opisana grafem nieskierowanym G=[N,U] w postaci: m węzłów, n krawędzi, każdy może posiadać xi elementów nadmiarowych, przy czym każda krawędź (kanał) charakteryzuje się niezawodnością elementu ri. Sieć telekomunikacyjna posiada n krawędzi obciążonych kosztami inwestycyjnymi uzależnionymi od ilości elementów nadmiarowych w postaci: gdzie: - współczynniki kosztów inwestycyjnych dla poszczególnych linii telekomunikacyjnych. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 R(x)- miara niezawodności lub gotowości sieci w funkcji ilości elementów nadmiarowych do wyboru w postaci: 1. wielokrotny wybór dla kolejnych wartości wektora x 2. równoległa nadmiarowość dla x2 równoległych kanałów w sieci przy czym r2– oznacza prawdopodobieństwo niezawodności dla dowolnego elementu : 3. nadmiarowość typu „k” z „n” dla prawdopodobieństwa elementu rj Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej:przy ograniczeniach na niezawodnośc kanałów: przy ograniczeniach: lub Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej: przy ograniczeniach na koszty inwestycyjne Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Metody numeryczne i optymalizacja Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych x, należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci: takiego, że dla Co jest równoznaczne zapisowi: Punkt - minimum globalne funkcji f (x) na zbiorze X Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2