Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012 Analiza matematyczna V. Szeregi WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu definicja szeregu liczbowego, kryteria zbieżności szeregów, zbieżność bezwzględna szeregów.

Definicja szeregu liczbowego Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie: Szereg taki oznaczamy Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem ciągu, a liczbę Sn n-tą sumą częściową tego szeregu.

Definicja szeregu liczbowego Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicja szeregu liczbowego Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu (Sn). Jeżeli to mówimy, że szereg jest zbieżny odpowiednio do - albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Definicja szeregu liczbowego Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicja szeregu liczbowego Jeżeli szeregi są zbieżne i c jest liczbą rzeczywistą, to: - szereg jest zbieżny, oraz: - szereg jest zbieżny, oraz:

Definicja szeregu liczbowego Szereg geometryczny jest zbieżny w.t.w., gdy Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: Przyjmujemy, że

Definicja szeregu liczbowego Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeżeli szereg jest zbieżny, to UWAGA Szereg jest rozbieżny!

Kryteria zbieżności szeregów Kryterium całkowe Niech funkcja będzie nierosnąca. Wówczas: jest zbieżny jest zbieżna. Reszta szeregu spełnia oszacowanie

Kryteria zbieżności szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Kryteria zbieżności szeregów Szereg: zbieżny dla p>1, rozbieżny dla p1.

Kryteria zbieżności szeregów Kryterium porównawcze Jeżeli: - - szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) to: szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) Prawdziwe są analogiczne twierdzenia dla szeregów o wyrazach niedodatnich.

Kryteria zbieżności szeregów Kryterium ilorazowe Niech an, bn > 0 dla każdego nn0 oraz niech: wtedy: jest zbieżny jest zbieżny. Twierdzenie jest też prawdziwe dla szeregów o wyrazach ujemnych.

Kryteria zbieżności szeregów Kryterium d’Alemberta - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

Kryteria zbieżności szeregów Kryterium Cauchy’ego - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

Zbieżność bezwzględna szeregów Twierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego Jeżeli: - ciąg (bn) jest nierosnący od numeru - to szereg naprzemienny jest zbieżny.

Zbieżność bezwzględna szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg jest zbieżny. Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zapewniające zbieżność szeregu gwarantują jednocześnie jego zbieżność bezwzględną.

Zbieżność bezwzględna szeregów Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Sumy ważniejszych szeregów Szeregi liczbowe Sumy ważniejszych szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.