Analiza matematyczna III. Funkcje Funkcje I – własności podstawowe WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu definicje granic funkcji; twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji.

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: R x0 + r x0 - r x0 S(x0,r)

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem - nazywamy zbiór: Sąsiedztwem  nazywamy zbiór :

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie . Liczba g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie . Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Granice prawostronne definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą  w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą  w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Granice niewłaściwe - funkcji w punkcie definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica funkcji w punkcie Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy w punkcie Funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Granice właściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Funkcja f ma w  granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Funkcja f ma w  granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Odpowiednie granice niewłaściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

Granice funkcji Równoważność definicji granic funkcji Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.

Twierdzenia o granicach właściwych funkcji Granice funkcji Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Granice funkcji Twierdzenie o granicy funkcji złożonej Jeśli funkcje f i g spełniają warunki: to:

Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki: to:

Twierdzenie o trzech funkcjach Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Granice funkcji Twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Jeśli funkcje f, i g spełniają warunki: to:

Twierdzenie o dwóch funkcjach Granice funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Granice funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Granice funkcji Granice funkcji – wyrażenia nieoznaczone Wyrażenia nieoznaczone: Wartości powyższych wyrażeń zależą od postaci funkcji je tworzących.    0   0/0 / 1 0 00

Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych Granice funkcji Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych .