Podstawy analizy matematycznej I Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Ciągi liczbowe Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie przyporządkowana jedna liczba rzeczywista an , to mówimy, że został określony nieskończony ciąg liczbowy. Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci a1 , a2 , … , an , … lub {an}. Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami ciągu {an}, a symbol an – wyrazem ogólnym tego ciągu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Ciąg nieskończony {an} ma granicę g, jeżeli dla każdej liczby  > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność | an  g | < . Zapisujemy an  g, gdy n   lub lim an = g. n   Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność an > M. Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność an < M. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Nie każdy ciąg nieskończony ma granicę. Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi. W szczególności o ciągu dążącym do + mówimy, że jest rozbieżny do plus nieskończoności. Podobnie mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności. Zmiana skończonej liczby wyrazów ciągu nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu i na jej wartość. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (2n 2  3n + 5)/(3 + 7n  6n 2). Dzieląc licznik i mianownik przez n 2, otrzymujemy an = (2n 2/n 2  3n /n 2 + 5/n 2)/(3/n 2 + 7n /n 2  6n 2/n 2) = (2  2/n + 5/n 2)/(3/n 2 + 7/n  6). Zatem lim an = 2/(6) = 1/3 n   Ogólnie, prawdziwe jest poniższe twierdzenie. Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n   równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (n 3 + 2n 2 + 4)1/3  (n 3 + 1)1/3. Bezpośrednie wnioskowanie z postaci wyrazu an jest trudne, bo zarówno odjemna, jak i odjemnik rosną nieograniczenie ze wzrostem n. Przekształćmy dane wyrażenie korzystając z rozkładu różnicy sześcianów a 3  b 3 = (a  b)(a 2 + ab + b 2), skąd a  b = (a 3  b 3)/(a 2 + ab + b 2). Otrzymujemy an = (n 3 + 2n 2 + 4)  (n 3 +1) /[(n 3 + 2n 2 + 4)2/3 + (n 3 + 2n 2 +4)1/3(n 3 + 1)1/3 + (n 3 + 1)2/3]. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Po wykonaniu redukcji licznika i podzieleniu licznika i mianownika przez n 2 mamy an = (2 + 3/n 2) /[(1 + 2/n + 4/n 3)2/3 + (1 + 2/n + 4/n 3)1/3(1 + 1/n 3)1/3 + (1 + 1/n 3)2/3]. Przechodząc do granicy otrzymujemy ostatecznie lim an = 2/(1+1+1) = 2/3. n   Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (3 2n + 1  7)/(9n + 4). Zauważmy, że an = (3 9n  7)/(9n + 4) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe i po podzieleniu licznika i mianownika przez 9n mamy an = (3  7/9n)/(1+4/9n), a więc lim an = 3/1 = 3. n   Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (3n + 5n + 7n)1/n. Ponieważ 7n < 3n + 5n + 7n < 7n + 7n + 7n, więc 7n /n < (3n + 5n + 7n)1/n < (37n)1/n, czyli 7 < (3n + 5n + 7n)1/n < 731/n i możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {bn }, {an } i {cn } spełniają nierówności bn  an  cn i jeżeli ciągi {bn } i {cn } mają wspólną granicę g, to ciąg {an } ma tę samą granicę. W naszym przypadku bn = 7 i cn = 731/n. Ponieważ lim 1/n = 1 dla  > 0, n   więc lim cn = 71. Oczywiście lim bn = 7. Zatem także lim an = 7. n   n   n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Przykład 5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (1 + 4/n)n. Korzystamy z jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim (1 + 1/n)n = e n   lub z wzoru ogólniejszego: lim (1 + bn)1/bn = e, jeśli lim bn = 0 i bn  0. n   n   Jeżeli wyraz ogólny rozważanego ciągu zapiszemy w postaci an = [(1+4/n)n/4]4 i podstawimy w powyższym wzorze bn = 4/n, to otrzymamy, że granicą ciągu {an } jest e 4. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągi liczbowe Przykład 6. Obliczyć lim n 10/2n. n   Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla ciągu {an } istnieje granica lim | an+1 |/| an | = g < 1, to lim an = 0. n   n   Uwaga: gdy dla ciągu {an } istnieje granica lim | an+1 |/| an | = g > 1, to lim | an | = +, n   n   a więc ciąg {an } jest rozbieżny. W rozważanym przykładzie mamy an = n 10/2n oraz an+1 = (n + 1)10/2n+1. Ponieważ lim an+1/an = ½, więc na podstawie podanego n   twierdzenia granicą naszego ciągu jest 0. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi liczbowe Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczany symbolem   an n = 1 rozumiemy ciąg sum: s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , …………………….. sn = a1 + a2 + … + an , ………………………………… Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami szeregu, a symbol sn nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu {sn} nazywamy sumami częściowymi szeregu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi liczbowe Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego. Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest to, by jego wyraz ogólny an dążył do zera. Ważniejsze szeregi: szereg geometryczny   aq n1, a  0 n = 1 jest zbieżny, gdy | q | < 1 i wówczas jego suma wynosi a/(1  q), Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi liczbowe szereg harmoniczny rzędu    1/n , gdzie  > 0, n = 1 jest zbieżny dla  > 1 i rozbieżny, gdy   1. Ze względu na metody badania zbieżności szeregów wyróżnia się dwie grupy: szeregi o wyrazach nieujemnych , szeregi przemienne . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi o wyrazach nieujemnych Kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu   an , gdzie an  0, n = 1 można wskazać taki szereg zbieżny  bn , że począwszy od pewnego miejsca N, czyli dla każdego n  N, zachodzi nierówność an  bn, to pierwszy szereg jest równie zbieżny. Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu   an można wskazać taki szereg rozbieżny  bn , gdzie bn  0, Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi o wyrazach nieujemnych że począwszy od pewnego n  N zachodzi nierówność an  bn, to pierwszy szereg jest również rozbieżny. Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu   an , gdzie an  0, n = 1 począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla n  N, stosunek dowolnego wyrazu an+1 do poprzedzającego wyrazu an jest stale mniejszy od pewnej liczy p mniejszej od 1, tzn. jeżeli an+1/an  p < 1 dla każdego n  N, to szereg jest zbieżny. Gdy an+1/an  1 dla każdego n  N, to szereg jest rozbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi o wyrazach nieujemnych Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu   an , gdzie an  0, n = 1 istnieje taka liczba p < 1, że począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla każdego n  N, zachodzi nierówność (an )1/n < p < 1, to szereg jest zbieżny. Gdy (an )1/n  1, to szereg jest rozbieżny. Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze niż kryterium d’Alemberta. Na przykład w szeregu 1 + 3/2 + 1/22 + 3/23 + … + 1/22n + 3/22n+1 + … kryterium d’Alemeberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, bo stosunek an+1/an jest na przemian większy i mniejszy od 1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego mamy lim (an )1/n = ½ < 1, a więc szereg jest zbieżny. n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi o wyrazach nieujemnych Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu   6n/n!. n = 1 Korzystamy z kryterium d’Alemberta: an = 6n/n!, an+1 = 6n+1/(n+1)!, a więc an+1/an = 6n+1n!/[(n+1)!6n] = 6/(n+1)  0, gdy n  . Szereg jest zatem zbieżny. Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu  n 3/2n. Stosujemy kryterium Cauchy’ego. Mamy (an )1/n = (n 3/2n)1/n = (n 1/n)3/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi o wyrazach nieujemnych Ale n 1/n  1, gdy n  , więc (an )1/n  ½ i szereg jest zbieżny. Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregu   n!/n n. n = 1 Zauważmy, że wyraz ogólny an = n!/n n = 123 … n/(nnn … n) jest, zaczynając od czwartego miejsca, mniejszy od 2/n 2, tzn. jest mniejszy od ogólnego wyrazu szeregu    2/n 2 = 2  1/n 2, n = 1 n = 1 a ten szereg jest zbieżny jako iloczyn liczby 2 przez szereg harmoniczny rzędu wyższego od 1. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi przemienne Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu przemiennym   an (1) n = 1 począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów dążą monotonicznie do zera, tzn. dla każdego n > N spełnione są warunki: | an+1 |  | an |, lim an = 0, n   to szereg jest zbieżny. Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów. Jeżeli szereg  | an |, którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu (1), jest zbieżny, to szereg (1) też jest zbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi przemienne Szereg   an n = 1 nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg  | an | jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi przemienne Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu   (1)n+1/n. n = 1 Jest to szereg przemienny. Bezwzględne wartości jego wyrazów dążą monotonicznie do zera: 1 > ½ > 1/3 > ¼ > … > 1/n > 1/(n+1) > … oraz lim 1/n = 0. Na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny. n   Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu 1  ½ + 1/22  1/22 + 1/32  1/23 + 1/42  1/24 + … + 1/n 2  1/2n. Jest to szereg przemienny. Nie spełnia on kryterium Leibniza, gdyż mamy 1/62 > 1/26, 1/26 < 1/72, 1/72 > 1/27, 1/27 < 1/82, … Szereg jest jednak zbieżny i to bezwzględnie. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi przemienne Oznaczmy przez Sn sumę wartości bezwzględnych jego n wyrazów i weźmy najpierw pod uwagę ciąg sum parzystych S2n. Łącząc w grupy odpowiednie wyrazy otrzymujemy S2n = (1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n 2) + (1/2 + 1/22 + 1/23 + … + 1/2n), czyli n n S2n =  1/k 2 +  1/2k. k = 1 k = 1 Granica pierwszej sumy jest równa sumie szeregu harmonicznego rzędu 2, a więc szeregu zbieżnego. Granica drugiej sumy może być obliczona na podstawie sumy szeregu geometrycznego (jest równa 1). Zatem  lim S2n =  1/n 2 + 1. n   n = 1 Ciąg sum cząstkowych parzystych jest zatem zbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szeregi przemienne Aby dowieść, że ciąg Sn jest zbieżny, należy jeszcze wykazać, że ciąg sum cząstkowych nieparzystych S2n+1 jest zbieżny (i to do tej samej granicy). Wynika to bezpośrednio z równości S2n+1 = S2n + a2n+1, wobec tego, że wyraz ogólny danego szeregu dąży do zera. Udowodniliśmy zatem zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu, a więc tym samym wykazaliśmy bezwzględną zbieżność danego szeregu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego