Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Przekształcenia geometryczne.
Advertisements

Modelowanie i symulacja
Rozwijanie funkcji nieliniowej w szereg Taylora
Teoria maszyn i części maszyn
Funkcja liniowa – - powtórzenie wiadomości
Funkcja liniowa, jej wykres i własności
Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli
Prostokątny układ współrzędnych
Sandra Michalczuk Karolina Kubala Agata Ostrowska Anna Wejkowska
STYCZNA DO KRZYWEJ W DANYM PUNKCIE
Wykład no 11.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
KINEMATYKA Kinematyka zajmuje się związkami między położeniem, prędkością i przyspieszeniem badanej cząstki – nie obchodzi nas, skąd bierze się przyspieszenie.
Konstrukcje wielokątów foremnych
Funkcje trygonometryczne - wiadomości teoretyczne
Liczby zespolone z = a + bi.
Układ równań stopnia I z dwoma niewiadomymi
Wykresy funkcji jednej i dwóch zmiennych
Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii
Kardioida w optyce 1/9 Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca.
Pole koła Violetta Karolczak SP Brzoza.
Podstawy analizy matematycznej III
TYCZENIE TRAS W procesie projektowania i realizacji inwestycji liniowych (autostrad, linii kolejowych, kanałów itp.) materiałem źródłowym jest mapa sytuacyjno-wysokościowa.
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva ( ) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie.
Trysekcja Paskala 1/2 Konchoidy okręgu, a więc krzywe,
Trysekcja hiperboliczna 1/5 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym.
Trysekcja przybliżona Steinhausa – 1/3
Podstawy analizy matematycznej II
Symetrie.
TWORZYMY PARABOLĘ Z PŁASZCZYZNY STOŻKOWEJ TWORZYMY PARABOLĘ
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Rzut cechowany dr Renata Jędryczka
TWORZYMY OKRĄG Z PŁASZCZYZNY STOŻKOWEJ TWORZYMY OKRĄG Z PŁASZCZYZNY STOŻKOWEJ.
MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r.
Figury w układzie współrzędnych.
GEODEZJA INŻYNIERYJNA -MIERNICTWO-2014-
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.
Funkcja liniowa ©M.
Sinusoida - konstrukcja
MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI.
RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R3
Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar.
Projektowanie Inżynierskie
FUNKCJE Pojęcie funkcji
RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY
Prezentacja dla klasy II gimnazjum
Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Kinematyka zajmuje się ilościowym badaniem ruchu ciał z pominięciem czynników fizycznych wywołujących ten ruch. W mechanice technicznej rozważa się zagadnienia.
Informatyka +.
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
podsumowanie wiadomości
Najważniejsze twierdzenia w geometrii
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Wstęp do metod numerycznych
Autor: Marcin Różański
Ruch jednowymiarowy Ruch - zmiana położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy układem odniesienia. Uwaga: to samo ciało może poruszać się względem.
Wykład Rozwinięcie potencjału znanego rozkładu ładunków na szereg momentów multipolowych w układzie sferycznym Rozwinięcia tego można dokonać stosując.
Projektowanie Inżynierskie
Astrometria. Deklinacja – jest to kąt pomiędzy kierunkiem do danej gwiazdy a płaszczyzną równika niebieskiego. Oznaczamy ją literą δ. Dla równika δ.
Obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych.
Figury płaskie Układ współrzędnych.
Podział odcinka na równe części i w danym stosunku.
GEODEZYJNE W PRZETRZENIACH METRYCZNYCH
Figury geometryczne.
Poznajemy układ współrzędnych.
jest najbardziej efektywną i godną zaufania metodą,
Zapis prezentacji:

Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np. w r.1742 w Treatise of Fluxions. Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora, podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa James Gregory ( ), z którym Brook Taylor ( ) współpracował. Colin Maclaurin ( ) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona ( ). W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler ( ) i Daniel Bernoulli ( , syn Johanna, autor Hydrodynamica). Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson ( , redaktor wydania ksiąg 1-6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji. W opublikowanej w r.1719 Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące m.in. stożkowych i krzywych kubicznych. Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował, w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta.

Trysekcja Maclaurina 2/3 Równania krzywej Maclaurina Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych (x,y) wzorem x = 1–4cos 2 (t) y = {1–4cos 2 (t)}·tg(t), t (– /2, /2). Na rysunku obok widzimy tę krzywą i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3). Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (–3/2,0). Ponieważ cos(t) = {1–x} 1/2 /2, więc sin(t) = {1–cos 2 (t)} 1/2 = {3+x} 1/2 /2 i dlatego Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina. Promień r i kąt wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos, y = r·sin. Dlatego równanie (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2 przyjmuje postać Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Or współrzędnych biegunowych. y = {1–4cos 2 (t)}·tg(t) = {1–4·(1–x)/4}·{1–x} 1/2 /{3+x} 1/2, czyli r = 1/cos – 4·cos, (– /2, /2). {1–r·cos }·r 2 sin 2 = (3+r·cos }·r 2 cos 2. Po podzieleniu przez r 2 cos 2 ( ) i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2. Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina nadać postać x = (u 2 –3)/(u 2 +1), y = u·(u 2 –3)/(u 2 +1).

Trysekcja Maclaurina 3/3 Konstrukcja 1/3 kąta k1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (–2, 0). k2. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod danym kątem (0, ). k3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C. k4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez. Jest = /3. Uzasadnienie konstrukcji u1. Prosta BC przechodzi przez punkt B i jest nachylona do Osi Ox pod kątem, ma więc równanie y = tg( )·(x+2). u2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1–4cos 2, {1–4cos 2 }·tg ), ma więc równanie {y–0}/{(1–4cos 2 )·tg –0} ={x–(–2)}/{(1–4cos 2 )–(–2))}, tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1–4cos 2 )/(3–4cos 2 ). u3. Ponieważ 4cos 2 –1 = cos(2 )+2cos 2 oraz 4cos 2 –3 = cos(2 )–2sin 2, więc u4. A że, na mocy u1, k = tg, więc tg = tg(3 ), skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż = /3.