Wykład 22 Modele dyskretne obiektów. Automatyka Wykład 22 Modele dyskretne obiektów. Metody wyznaczania transmitancji dyskretnej G(z) na podstawie znajomości transmitancji operatorowej G(s) (ciąg dalszy)

2. Metoda impulsowo-inwariantna Metoda impulsowo-inwariantna polega na: zastąpieniu odpowiedzi impulsowej g(t) obiektu dyskretną odpowiedzią impulsową g(nTp), określającej transmitancję dyskretną obiektu. wyznaczeniu transformaty Transmitancja dyskretna obiektu inercyjnego I rzędu Odpowiedź impulsowa obiektu inercyjnego I rzędu określona jest wzorem: Dyskretna odpowiedź impulsowa: Transmitancja dyskretna: (1)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego Transmitancja operatorowa: Odpowiedź impulsowa: Dyskretna odpowiedź impulsowa: Transmitancja dyskretna: (2)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego z inercją Transmitancja operatorowa: Odpowiedź impulsowa: Dyskretna odpowiedź impulsowa: Transmitancja dyskretna: (3)

Transmitancja dyskretna obiektu inercyjnego I rzędu z opóźnieniem Transmitancja operatorowa: Odpowiedź impulsowa: Dyskretna odpowiedź impulsowa: Transmitancja dyskretna: (4)

Transmitancja dyskretna obiektu oscylacyjnego Transmitancja operatorowa: Odpowiedź impulsowa: Dyskretna odpowiedź impulsowa: Transmitancja dyskretna: (5)

Przekształcenie delta (δ). 3. Metoda przekształcenia δ [ Feuer, Goodwin: „Sampling in Digital Signal Processing and Control” ] ( Metoda różnicy „w przód”). Definicja operatora delta: (6) Przekształcenie delta (δ). Przekształcenie Laplace’a: Dyskretne przekształcenie Laplace’a: Definicja nowej zmiennej : Przekształcenie delta: (7) (8)

Transmitancja dyskretna (transmitancja Z) obiektu inercyjnego I rzędu. (9) Transmitancja Z: (10) Z porównania (9) i (10) wynika: (11) Transmitancja dyskretna (transmitancja Z) obiektu inercyjnego I rzędu. Transmitancja operatorowa: Równanie obiektu zapisane za pomocą operatora δ: (12) - Impuls Diraca

Równanie (12) poddajemy przekształceniu δ: (13)

(14) Po podstawieniu do równania (13) i przyjęciu zerowych warunków początkowych otrzymujemy (15) Stąd transmitancja δ (16)

Uwzględniając (11) otrzymujemy transmitancję Z: (17)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego Transmitancja operatorowa: Transmitancja δ: Transmitancja dyskretna (Z): (18)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego z inercją Transmitancja operatorowa: Transmitancja δ: Transmitancja dyskretna: (19)

Transmitancja dyskretna obiektu oscylacyjnego II rzędu Transmitancja operatorowa: Transmitancja δ: Transmitancja dyskretna: (20)

4. Metoda przekształcenia δ- (metoda różnicy „wstecz”) Definicja operatora δ-: (21) Transmitancja dyskretna (transmitancja Z) obiektu inercyjnego I rzędu. Po transformacji D- otrzymamy Przy zerowych warunkach początkowych mamy (22)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego Pamiętając, że otrzymamy (23) Transmitancja dyskretna obiektu całkującego Transmitancja operatorowa: Transmitancja dyskretna: (24)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego z inercją Transmitancja operatorowa: Transmitancja dyskretna: (25)

5. Metoda Tustina Wiadomo, że Stąd Rozwijając funkcję logarytmiczną „ln z” w szereg potęgowy mamy (26) Metoda Tustina polega na uwzględnieniu jedynie pierwszego wyrazu z szeregu czyli (27)

Transmitancja dyskretna obiektu inercyjnego I rzędu Transmitancja operatorowa: Transmitancja dyskretna: (28)

Transmitancję dyskretną (28) otrzymamy również biorąc pod uwagę równanie wejścia-wyjścia obiektu inercyjnego I rzędu czyli równanie (29) Po scałkowaniu równania (29) mamy (30) Dysktretna forma równania (30), przy założeniu liniowej aproksymacji między kolejnymi próbkami, jest następująca: (31) Po transformacji otrzymujemy

(32) Z porównania (32) z transmitancją operatorową G(s) wynika, że (33)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego Transmitancja operatorowa: Transmitancja dyskretna: (34)

Transmitancja dyskretna obiektu całkującego z inercją Transmitancja operatorowa: Transmitancja dyskretna: (35)