Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność - osiągalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability)

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x 0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x 0 przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x 1 w pewnym skończonym czasie T Stan x 1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu Sterowalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Systemy ciągłe

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 do stanu zerowego jest sterowalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system z dowolnego stanu System sterowalny System liniowy Sterowalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - testy System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny v i jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny w i Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi A T

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny jednocześnie do wszystkich kolumn macierz B Twierdzenie SSC LS2

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie SSC LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa Dodatek B – przykłady zastosowania testu SSC LS2 – test Popova – Belevitcha-Hautusa

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych Twierdzenie SSC LS4 Dodatek C – przykłady zastosowania testu SSC LS4

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa Przekształcenia podobieństwa - macierz przekształcenia podobieństwa - nieosobliwa

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Możemy tą równoważność wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane wyżej twierdzenia, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego, czyli, że system będzie też posiadał cechę osiągalności System ciągły sterowalny system ciągły osiągalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Systemy dyskretne Dodatek D – przykład systemu dyskretnego posiadającego cechę sterowalności, ale nie posiadającego cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny W ogólności zatem Implikacja ta zachodzi jednak tylko dla przypadków, gdy A D jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Twierdzenie OSD LS1

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B D Twierdzenie OSD LS2

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B D nie ma wierszy zerowych Twierdzenie OSD LS4

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy o wymiarze qxnm jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Dodatek A

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Przykład 1. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Przykład 3. Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Przykład 5. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Dodatek B

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Przykład 6 Test sterowalności Popova – Belevitcha-Hautusa Lewostronne wektory własne dla

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Dodatek C

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Przykład 7. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie,, x 10 i x 20 – warunki początkowe

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Do stanu końcowego można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Dodatek D

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Przykład 8. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

Teoria sterowania 2012/2013Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkichniezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności