Dane INFORMACYJNe Nazwa szkoły: KATOLICKIE GIMNAZJUM IM. ŚW. STANISŁAWA KOSTKI ID grupy: 98/75_MF_G2 Opiekun: KATARZYNA ZAKRZEWSKA Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: „NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA” Semestr/rok szkolny: V/2011-2012

Niedziesiątkowe systemy liczenia

Niedziesiątkowych systemów liczenia nie ma na żadnym programie matematyki i to na żadnym etapie edukacyjnym . A szkoda, bo w dobie szybkiego rozwoju techniki, każdy wykształcony człowiek powinien mieć świadomość, w jakiej postaci są zapisywane dane.

Wszyscy razem postanowiliśmy się zająć konkretnymi niedziesiątkowymi systemami liczbowymi oraz działaniami ,zamianą , zastosowaniem w dzisiejszych czasach i historią związaną z tymi systemami liczbowymi . Spośród wielu systemów wybraliśmy trzy : Systemem dwójkowy Systemem dwunastkowy Systemem szesnastkowy Zajmowaliśmy się również konkretnymi zagadnieniami z historii m.in.: Mnożeniem hinduskim Dodawaniem i mnożeniem na abakusie Dodawanie w systemie babilońskim

Historia … systemu dwójkowego Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu dwójkowego. System dwójkowy znany był w Egipcie, a Egipcjanie wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby. John Napier (1550-1617) Systemu dwójkowego używał John Napier w XVI wieku , przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b

… systemu dwunastkowego Systemu dwunastkowego używano już w starożytnym Rzymie. Jeden as dzielił się na dwanaście uncji. Natomiast monety o mniejszych nominałach był całkowitymi ilorazami liczby 12 (jeden semis to dwie uncje, jeden quadrans to trzy uncje, jeden triens to cztery uncje) Również w dawnej Polsce z powodzeniem wykorzystywano system dwunastkowy, świadczą o tym przestarzałe już dziś słowa : Czasza (12 garncy ) Baryła ( 24 garncy ) Łokieć (24 cale ) Połsztuczek ( 6 łokci płótna ) Płosa (12 zagonów ziemi )

… systemu szesnastkowego W 1863 zaproponowano nowe cyfry oraz standard zapisu i pomiaru czasu (zegar) oraz lokalizacji (kompas) w systemie szesnastkowym. Projekty zegara i kompasu

System dwójkowy W systemie dwójkowym (inaczej zwanym binarnym) korzysta się tylko z dwóch znaków 1 oraz 0 . W systemie dziesiętnym W systemie dwójkowym 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 1010

Zamiana z systemu dziesiętnego na dwójkowy Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym przebiega poprzez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2 . Weźmy na przykład liczbę 30: 30: 2 = 15 reszty 0 15: 2 = 7 reszty 1 7: 2 = 3 reszty 1 3: 2 = 1 reszty 1 1 : 2 = 0 reszty 1 30₁₀ = 11110₂

Zamiana z systemu dwójkowego na dziesiętny Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny: 11110₂ = 1∙2⁴ + 1∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 0∙2⁰= 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30

System dwunastkowy Dwunastkowy system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego:  A (10) i B (11).

Zamiana z systemu dziesiętnego na dwunastkowy By zamienić system dziesiątkowy na system dwunastkowy należy wykonać dzielenie z resztą. Dzielimy daną liczbę przez 12 tyle razy aż wyjdzie nam 0. Reszty z każdego mnożenia (czytane od dołu) dadzą nam wynik 1630 : 12 = 135 reszta A (10) 135 : 12 = 11 reszta 3  11 : 12 = 0 reszta B(11) 1630(X) = B3A(XII)

Zamiana z systemu dwunastkowego na dziesiętny By zamienić liczbę z systemu dwunastkowego na system dziesiętny należy pomnożyć każdy składnik liczby przez kolejne potęgi 12 (zaczynając od jedności). Po wymnożeniu trzeba dodać wszystkie powstałe iloczyny. B3A(XII) = 10·120 + 3·121 + 11·122 = 10 + 36 + 1584 = 1630(X)

System szesnastkowy Wartość dziesiętna Cyfra szesnastkowa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F W systemie szesnastkowym używa się pierwszych 10 cyfr systemu dziesiętnego, a następnie pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego.

Zamiana z systemu dziesiętnego na szesnastkowy Zamiany liczby w systemie dziesiętnym na system szesnastkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej.  268 ÷ 16 = 16 Reszty C (12) 16 ÷ 16 = 1 Reszty 1 ÷ 16 = 0 Reszty 1

Zamiana z systemu szesnastkowego na dziesiętny Zamienianie liczby z szesnastkowego systemu na dziesiątkowy polega na mnożeniu każdego składnika przez kolejne potęgi liczby 16 i zsumowaniu go na końcu.

SPRÓBUJ SAM

Zamień na system : Dwójkowy Dwunastkowy Szesnastkowy

Dodawanie w systemie dwójkowym 62 1 + 50 = 112 1 1 1 1 1 1 1 1

Dodawanie w systemie dwunastkowym 2 + 1 : 12 = 0 reszta 3 11 + 11 : 12 = 1 reszta 10 1 + 10 + 6 : 12 = 1 reszta 5 1: 12 = 0 reszta 1 AB1 +6B2 15A3

Dodawanie w systemie szesnastkowym Proces dodawania występuje podobnie jak w systemie dziesiętnym, gdzie resztę przenosi się do następnej kolumny (tu wynosi ona szesnaście). Dodawanie w systemie szesnastkowym Dla porównania dodawanie w systemie dziesiątkowym 2DF = 735 8BB2 = 35762 8E91 = 36497 1 1 2 D F 7 3 5 8 B B 2 3 5 7 6 2 8 E 9 1 3 6 4 9 7

SPRÓBUJ SAM

Odejmowanie z pożyczeniem jedynki 27 1 - 22 = 5 o 10 1 1 1 1 16 + 15 - 1 = 10 1 10 1 10 1 10 1 1 1

Odejmowanie w systemie dwunastkowym 25 21 9 13 10 1 – 2 11 – 11 10 - 6 23 : 12 = 1 reszta 11 1 + 10 : 12 = 0 reszta 11 3 : 12 = 0 reszta 3 AB1 - 6B2 3BB

Odejmowanie w systemie szesnastkowym Odejmowanie, podobnie jak w systemie dziesiętnym, dokonuje się począwszy od prawej kolumny. Z jedną małą zmianą, że tu całość przy pożyczaniu jest równa szesnaście. Odejmowanie w systemie szesnastkowym Dla sprawdzenia odejmowanie w systemie dziesiątkowym 8E91 = 36497 8BB2 = 35762 2DF = 735 D 16 + 8 8 16 +1 8 D E 9 8 1 3 6 4 9 7 3 5 7 6 2 8 B B 2 2 D F 7 3 5

SPRÓBUJ SAM

Tabliczka mnożenia w systemie dwójkowym A oto cała tabliczka mnożenia w systemie dwójkowym. * 1

Mnożenie w systemie dwójkowym 1 · -1 -0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 = 1 1 1 1 1 13 · 11 = 143

Tabliczka mnożenia w systemie dwunastkowym • 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 12 14 16 18 1A 13 19 20 23 26 29 24 28 30 34 38 21 2B 39 42 47 36 40 46 50 56 41 48 53 5A 65 54 60 68 74 69 76 83 84 92 A1

Mnożenie w systemie dwunastkowym By pomnożyć przez siebie dwie liczby w systemie dwunastkowym należy skorzystać z tabliczki mnożenia systemu dwunastkowego . Zasady mnożenia pozostają te same co w dziesiątkowym, czyli liczba dziesiątek przechodzi dalej. B x 1 = B B x B = A1 ( 1 zostaje A przechodzi) 1 B x A = 92 + A (11) = A1 ( 1 zostaje A przechodzi) 1 = A (10) AB1 x B A11B ?

Tabliczka mnożenia w systemie szesnastkowym • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 12 14 16 18 1A 1C 1e 15 1b 21 24 27 2A 2d 1c 20 28 2c 30 34 38 3c 19 23 32 37 3C 41 46 4b 2a 36 42 48 4E 54 5a 31 3f 4d 5B 62 69 40 50 58 60 68 70 78 51 63 6C 75 7E 87 64 6e 82 8C 96 79 84 8F 9A A5 6c 90 9C A8 B4 1a 4e 5b 8f A9 B6 C3 7e 8c 9a C4 D2 f E1

Mnożenie w systemie szesnastkowym Mnożenie w systemie szesnastkowym jest tak samo proste je w systemie dziesiętnym. Po prostu przenosimy całości do następnej kolumny 3 przenosimy dalej gdyż jest cyfrą całości 456 × A A × 6 = 3C A × 5+3=32+3=35 A × 4+3=28+3=2B 2B5C

SPRÓBUJ SAM

Dzielenie w systemie dwójkowym - = Wynik to 10 reszty 1  1 1 1 1 1 1 1 1

- = 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 10 1 10 1 1 1 1010 : 11 = 11 reszty 1

Cyfr które używamy obecnie to 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 0 Cyfr które używamy obecnie to 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 0. Mówimy na nie „cyfry arabskie”, chociaż 0 arabowie zaczerpnęli od matematyków hinduskich. W większości kalendarzy nie ma roku zerowego. Rok przed 1 rokiem naszej ery nazywany jest 1 rokiem przed naszą erą. Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania jednostek, dziesiątek i tak dalej aż do 10 000. Innych cyfr używano w Babilonii, jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Zero powstało później od innych liczb, ponieważ ludziom żyjącym wtedy trudno było uznać ją za liczbę.

Zmiana cyfr arabskich na przestrzeni wieków

462x67=? Mnożenie Hinduskie Wynik mnożenia Poszczególnych Składników Mnożenie hinduskie jest to mnożenie podobne do mnożenia z kreską z tą różnicą, że w mnożeniu hinduskim nie trzeba przenosić cyfr w pamięci. Czynnik Czynnik Wynik

4 6 2 2 3 1 6 4 6 2 4 1 2 7 8 2 4 3 9 5 4

Egipski system zapisywania liczb Najstarszym znanym dokumentem, zawierającym zapisy liczb w Egipcie jest pomnik pochodzący z początku I dynastii, wystawiony dla uczczenia zwycięstwa; odczytane na nim, hieroglify podają liczby: 120 000 wziętych jeńców, 400 000 zdobytych sztuk bydła rogatego oraz 1 422 000 zdobytych kóz.

Egipskie znaki liczb 1- | 10.000– 10- 100.000- 100– 1.000.000- 1.000- - 10.000.000-

Przykładowe liczby 562= || 439= ||||||||| 290= 1247= |||||||

Grecki system zapisywania liczb Sposób zapisu liczb w Grecji pochodzi z Miletu. Polegał on na oznaczaniu liczb za pomocą cyfr alfabetu greckiego. Wyjątek stanowiły liczby 6, 90, 900. Gdyż były to liczby semickie. Następne dziewięć liter oznaczało pełne dziesiątki. Następne pełne setki. Natomiast do oznaczenia tysięcy przed każdą liczbę stawiano przecinek np. ,α= 1000,β= 2000, γ= 3000 itd. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α β γ δ ε Ϝ ξ η θ

Rzymski system zapisywania liczb Rzymianie początkowo zapisywali liczby za pomocą pionowych kresek, później używali liter. W końcu wszedł w użycie do dziś powszechnie znany system rzymski. Główne znaki: 1=I 5=V 10=X 500=L 100=C 500=D 1000=M. Pomimo skomplikowanego zapisu liczb Rzymianie potrafili sprawnie wykonać działania, ponieważ wykonując choćby tak proste działania, jak dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, najczęściej nie zapisywali rachunków. Jak więc liczyli? Liczyli, używając pierwszej na świecie „maszyny do liczenia”…

Pierwszy abakus Abakus była to początkowo tablica, na której znajdowały się w jednakowych odstępach równoległe rysy. Na tablicach tych, za pomocą kamyków wykonywano rachunki w układzie dziesiątkowym.

5 7 57 Zapis liczb w abakusie 5 ZAPIS LICZBY JEDNOŚCI 100.000 10.000 1.000 100 10 1 VI V IV III II I OZNACZENIE KOLUMN

3089 3 8 9 Zapis liczb w abakusie 5 ZAPIS LICZBY JEDNOŚCI 1.000 100 10 8 9 5 JEDNOŚCI 1.000 100 10 1 VI V IV III II I

(trzydzieści dwa miliony czterysta tysięcy sto dwadzieścia jeden) Mądrzejsi o wiedzę zdobytą na podstawie slajdów 45 i 46 postaramy się odczytać zapisaną poniżej liczbę ze slajdu 7 Tak to jest 32.400.121 (trzydzieści dwa miliony czterysta tysięcy sto dwadzieścia jeden)

Jak liczono na abakusie ? Na czym polegało dodawanie i odejmowanie na abakusie .Łatwo można sobie wyobrazić, gdyż jest podobne do stosowanego obecnie. V IV III II I 57 3089 6 3 1 4 Odczytanie wyniku powinno być proste BRAWO 1.000 100 10 1

MNOŻENIE Dla łatwiejszego przedstawienia działania tworzymy układ linii, który stopniowo będziemy uzupełniać. VII VI V IV III II I Kolorem czerwonym zaznaczono numery kolumn. Jest to niesłychanie ważne.

Mnożenie na abakusie Do przedstawienia na przykładzie posłużą nam znane już wcześnie liczby – 57 i 3089. Dla przypomnienia pokażę ponownie slajd 45 i 46 aby zwrócić uwagę na numery kolumn, w których umieszczono „kamyki”. Mnożenie rozpoczynano od jednostek najwyższych: obliczamy iloczyn 3 * 5 = 15 i tu nasuwa się problem: w której kolumnie umieścić 15 i dalsze częściowe iloczyny? Rozstrzygnięcie znał już Archimedes – częściowy iloczyn umieszczamy w kolumnie, której numer otrzymujemy, sumując numery kolumn, w których znajdują się czynniki i odejmując jeden. Proste, prawda?

57 3089 VI V IV III II I VI V IV III II I Ponieważ 3 znajduje się w kolumnie IV, a 5 w kolumnie II, więc iloczyn 15 umieścić należy w kolumnie opatrzonej numerem 4+2-1=5, tzn. w piątej. Lecz 15 = 5 + 10, a więc 5 umieszczamy w kolumnie piątej, a 10 umieszczamy w kolumnie wyższego rzędu. Dalej postępujemy podobnie. Kolejne działania oznaczamy różnymi znakami.

3*5=15 4+2-1=5 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 3*5=15 4+2-1=5 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

3*7=21 4+1-1=4 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 3*7=21 4+1-1=4 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

0*57=0 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 0*57=0 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

8*5=40 2+2-1=3 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 8*5=40 2+2-1=3 ((Φ)) (Φ) ∞ c X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

c 8*7=56 2+1-1=2 ((Φ)) (Φ) ∞ X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 8*7=56 2+1-1=2 c ((Φ)) (Φ) ∞ X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

c 9*5=45 1+2-1=2 ((Φ)) (Φ) ∞ X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 9*5=45 1+2-1=2 c ((Φ)) (Φ) ∞ X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

c 9*7=63 1+1-1=1 ((Φ)) (Φ) ∞ X I 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 9*7=63 1+1-1=1 c ((Φ)) (Φ) ∞ X I Wartość Symbol 1 I 10 X 100 c 1000 ∞ 10000 (Φ) VII VI V IV III II I 100000 ((Φ))

c Aby otrzymać ostateczny wynik mnożenia musimy dodać symbole oznaczające wyniki częściowych iloczynów. Należy przypomnieć, że Rzymianie wykonywali działania w systemie dziesiątkowym. ((Φ)) (Φ) ∞ X I 1 I VII VI V IV III II I

Teraz wystarczy spisać wartości z kamyków w tabeli dolnej cały czas pamiętając, że „górne” mają wartość „5” a „dolne” jednostkowe. c ((Φ)) (Φ) ∞ X I 176073 (1) (5+2) (5+1) (o) (5+2) (3) VI V IV III II I VII VI V IV III II I

System Babiloński 4000 lat p.n.e. na teren dzisiejszego Iraku zamieszkiwany był przez lud Sumerów. Wynaleźli oni system oparty na liczbach od 1 do 59 .Układ sześćdziesiątkowy używany jest do dzisiaj np: w mierzeniu czasu (godzinę dzielimy 60 minut a minutę na 60 sekund)

Liczby babiloński są właściwie kombinacjami dwóch znaków : jedynki i dziesiątki. Za pomocą tych znaków zapisywano takie liczby jak tysiąc, także każdą inną liczbę Liczbę 1 zapisywano znakiem pionowego klina Liczbę 10 zapisywano znakiem rozwartego (poziomego) klina Pierwszy symbol zera zapoczątkowali Babilończycy . Do tego używali oni znaku podwójnej pochyłej jedynki ( )

Liczby zapisywano przy pomocy odpowiedniej kombinacji znaków jedynki i dziesiątki . Liczbę sto zapisywano w ten sposób natomiast liczbę 1000 zapiszemy poprzez dodanie znak 10 przed ten symbol ( ) tak samo będzie z liczbą 10000 po prostu dodajemy symbol 10 przed znak .

Zapis babiloński jest dość nie dokładny, gdyż jedną cyfrę systemu dziesiątkowego można zapisać na kilka sposobów, a z tego mogą rodzić się błędy. Liczbę 30 można zapisać tak albo tak 10+10+10 3×10 Natomiast liczbę 53 zapiszemy tak 50 + 3

SPRÓBUJ SAM 4 × 100 + 20 + 8 2 × 1000 + 3 × 100 +10 + 6

podsumowanie Dzięki pracy przy tym projekcie poznaliśmy algorytm, który pozwolił nam zrozumieć zasadę zamiany liczb również w innych systemach liczbowych.

Podsumowanie Nad realizacją projektu pracowała cała nasza grupa oraz trzech młodszych kolegów z klasy II, którzy byli bardzo zainteresowani tematem.

bibliografia Czasopismo: Matematyka w szkole Internet S. Kowal : „ Przez rozrywkę do wiedzy” Własne przemyślenia i opracowania.