DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Liceum Ogólnokształcące im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni ID grupy: 97/65_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr piąty, rok szkolny 2011/2012

CELE PROJEKTU Celem projektu „AS KOMPETENCJI” jest umożliwienie uczniom szkół ponadgimnazjalnych rozwoju kompetencji matematyczno-fizycznych.

Nasz zespół

Skład Opiekun: Justyna Rewers Uczestnicy projektu: Robert Kamiński Marta Mielcarek Marta Student Patryk Szymkowiak Jarosław Długosz Weronika Majchrzak Katarzyna Harendarz Patrycja Wojciechowska Kamila Kubasiak Natalia Dewo

LICZBY FIBONACCIEGO

Leonardo Fibonacci (1170-1250) Był to włoski matematyk, znany również jako Leonardo z Pizy. Jego ojciec, w końcu XII wieku, handlował w Algierii, gdzie Leonardo uczył się matematyki u arabskich nauczycieli. Jego prace dotyczące liczb musiały czekać 400 lat na kontynuatorów. W miarę postępów nauki i chęci dalszego studiowania zwiedził Europę i kraje Wschodu. Podczas swych podróży zapoznał się z osiągnięciami arabskich i hinduskich matematyków (m.in. z systemem dziesiętnym). W późniejszych latach Fibonacci zajmował się między innymi arytmetyką handlową, opracowywał metody rozwiązywania zadań z tej dziedziny oparte na proporcjach. Nauczał działań na ułamkach, które sprowadzał do wspólnego mianownika w sposób bardziej racjonalny, niż robili to matematycy krajów islamu – otóż znajdował najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Jego nazwisko weszło do matematyki – głównie dzięki ciągowi liczb, nazwanemu od jego nazwiska ciągiem Fibonacciego – za sprawą XIX-wiecznego francuskiego matematyka Edwarda Lucasa.

Ciąg Fibonacciego Jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Ten ciąg należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie – można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych. Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażanie się królików.

Ciąg Fibonacciego Ciąg liczb naturalnych określonych w taki oto sposób: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n ≥ 2 Pierwsze jego wartości to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... Jakie są własności tego ciągu? Każda z liczb w ciągu Fibonacciego (poza wartościami stałymi 0 i 1) jest sumą dwóch poprzednich, np.: 3 + 5 = 8, 21 + 34 = 55, 144 + 233 = 377...

Tworzenie kolejnych liczby Fibonacciego. Wzór ogólny ciągu Fibonacciego.

Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

A gdy chcemy sprawdzić… Aby sprawdzić n-tą liczbę Fibonacciego należy zastosować wzór: Po zaokrągleniu tej liczby do liczby naturalnej otrzymamy dokładną wartość danej liczby Fibonacciego.

Obliczanie n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego Dane: liczba naturalna n, Wynik: n-ty wyraz ciągu Fibonacciego Fn Krok 1: Jeśli n<=2 to Fn:=1 i zakończ algorytm, w przeciwnym przypadku wykonaj kroki 2 i 3 i zakończ algorytm Krok 2: F1:=1, F2:=1 Krok 3: dla i=3 do n wykonuj:               Fn:=F1+F2               F1:=F2               F2:=Fn

Graficzna reprezentacja dwójkowa Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"). Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

Twierdzenia na temat ciągu Fibonacciego Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb Fibonacciego (liczb występujących w tym ciągu), zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym. Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144. Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.

Ciąg nam bliski Ciąg liczbowy może wydawać się nam pojęciem bardzo dalekim, wręcz abstrakcyjnym, lecz ten konkretny ciąg – ciąg Fibonacciego – występuje powszechnie na świecie w wymiarach obiektów żywych i nieożywionych. Zadziwiające jest, że te liczby, które pojawiły się w powiązaniu z bardzo nienaturalnym, matematycznym modelem zadań z Księgi Abaku, występują jako wymiary obiektów przyrody, które przecież pojawiły się na długo przed ich wprowadzeniem przez Fibonacciego do matematyki. Bardzo ciekawy jest ich związek z doskonałości budowy natury – być może właśnie w tym należy szukać uzasadnienia dla ich występowania jako liczbowych modeli wielu obiektów przyrody. Warto dodać, że człowiek znalazł dla tych liczb zastosowanie w budownictwie, sztuce, a nawet muzyce.

Rozmnażanie królików Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. Widać z tego, że każda para co miesiąc wydaje na świat parkę młodych, które po miesiącu, będąc już zdolne do rozrodu, rozmnażają się w analogiczny sposób, przy czym wciąż rodzą się młode z poprzednich par.

Truteń i pszczoła Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom. Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy powstaje wyłącznie dzięki matce. Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne? samiec ---- samica                samica         samiec ---- samica              I                                  I                         I          samica                         samiec  ----------  samica              I                                               I          samiec  ---------------------------  samica                                     I                                samica                                     I                                samiec Jak widać, przodkowie trutnia – jego matka, jej rodzice i dalej, aż po pradziadków, narastają zgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego – kolejne pokolenia to suma dwóch poprzednich.   

Liście na gałązkach i gałązki na łodygach Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu zauważamy, że nie wszystkie liście leżą jeden nad drugim, podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej, układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden nad drugim, wzdłuż gałęzi lub łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są liczbami Fibonacciego.

Układy liści na gałązkach i gałązek na łodygach.

Szyszki i słoneczniki Najbardziej znanymi przykładami występowania liczb Fibonacciego w naturze są układy łusek na szyszkachi układy pestek w tarczach słoneczników. Na rysunku jest pokazana szyszka, na której zaznaczono spirale tworzone przez jej łuski. Spirale te są prawoskrętne i lewoskrętne (w przypadku tej szyszki jest 8 - lewoskrętnych i 13 - prawoskrętnych). Nie zawsze szyszki nawet tego samego gatunku sosny mają taką samą liczbę spiral, nie zawsze również przeważają lewoskrętne czy prawoskrętne. Podobnie, jak łuski na szyszkach, układają się pestki w tarczy słonecznika - również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego.

Układ łusek na szyszce.

Tarcza słonecznika z zarysowującymi się spiralami pestek.

Muszle Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.

Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego: Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

Ciąg Fibonacciego, a muzyka Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach budowanym przez Antonio Stradivariego. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka. W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii.

Liczby pierwsze w ciągu Fibonacciego Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229.. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia.

Słowa Fibonacciego Ciąg słów Fibonacciego to ciąg słów:

Liczby Fibonacciego na osi czasu Za pomocą liczb Fibonacciego możemy wyznaczać prawdopodobne punkty zwrotne w czasie. Czas w tym przypadku będzie okresem jednostkowym liczonym pomiędzy kolejno występującymi ekstremami. Jedną jednostką może być w tym przypadku świeca dzienna lub godzinowa. Przyjmując za jednostkę świecę dzienną to posiadając wystarczającą ilość danych historycznych dotyczących maksimów i minimów na wykresie możemy próbować określić ilość sesji, po których może nastąpić kolejne ekstremum. W tym przypadku należy zmierzyć odległość na osi czasu pomiędzy, np. kolejnymi szczytami. Następnie wyznaczamy odcinki, których długość stanowi 38,2%, 50,0%, 61,8% długości odcinka bazowego. W ten sposób otrzymujemy trzy punkty, w których może wystąpić kolejny szczyt. Analogicznie postępujemy w przypadku dołków. Jest to dość prosta metoda jednak mało popularna w Polsce. W głównej mierze spowodowane jest to przez ograniczenia programów do analizy technicznej oferowanych przez domy maklerskie w standardowej ofercie.

Pokrewne ciągi do ciągu Fibonacciego ciąg Lucasa ciąg "Tribonacciego" ciąg "Tetranacciego"

Ciąg Lucasa . Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go: zachodzą równości:

  Ciąg "Tribonacciego" Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890.. Stała "Tribonacciego" jest granicą ciągu: (gdzie T(n) jest n-tym wyrazem ciągu 'Tribonacciego') czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu x³ − x² − x − 1 oraz równania x + x−3 = 2 i wynosi ok. 1.83929.

Ciąg "Tetranacciego" Różni się od ciągu Fibonacciego tym, każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich czterech wyrazów zamiast dwóch. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569.. Stała "Tetranacciego" jest granicą ciągu: (gdzie T(n) jest n-tym wyrazem ciągu 'Tetranacciego'). Jest ona pierwiastkiem wielomianu x4 − x³ − x² − x − 1 oraz równania x + x−4 = 2 i wynosi ok. 1.92756.

Złoty podział φ = (a+b) : a = a : b Jest to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ. Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu. φ = (a+b) : a = a : b

Partenon na Akropolu. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się złotą liczbą.

Złotą proporcję znajdujemy w wielu wymiarach człowieka (dwie części całego ciała oddzielone linią pępka w boskiej proporcji, podobnie wysokość głowy od górnej części tłowia, a także kolana względem dolnej części tłowia).

Złoty podział, a pentagram Liczbę φ znajdujemy w pentagramie. Gdyby spojrzeć na ten symbol jak na zbiór odcinków i podzielić dowolny odcinek przez bezpośrednio krótszy, wynik okaże się liczbą φ. Pentagram, jeden z najstarszych symboli religijnych, którego rysunki datowano na okres neolitu jest figurą geometryczną w kształcie gwiazdy o pięciu wierzchołkach. Działania matematyczne dokonane na odcinkach tworzących figurę pokazują, że i w niej kryje się złota proporcja.

Złoty podział, a ciąg Fibonacciego Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego: 1,1,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… co daje kolejno: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55… Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Zadania związane z ciągiem Fibonacciego Zapisz 10 początkowych wyrazów ciągu Fibonacciego. Jeśli krowa rodzi swoje pierwsze cielę-jałówkę w wieku dwóch lat a potem nową jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach - przy założeniu, że żadna nie padnie To zadanie podał znany twórca łamigłówek H.Dudeney. Przyjął on, że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta-jałówki. Sprawdź że liczby krów w kolejnych latach tworzą ciąg Fibonacciego.

Bibliografia: www.math.edu.pl www.research.att.com/~njas/sequences/index.html www.supermatma.pl www.matematyka.pl www.edukator.pl www.wikipedia.pl www.portalwiedzy.onet.pl www.mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html