Dane INFORMACYJNE Nazwy szkół: ZESPÓŁ SZKÓŁ IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGO PUBLICZNE GIMNAZJUM W CZŁOPIE ID grup: 98_33_MF_G1 98_7_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: LICZBY WYMIERNE SĄ OK. Semestr/rok szkolny: 2/ 2010/2011

SPIS TREŚCI WSTĘP TEORETYCZNY. RACHUNKI Z UŁAMKAMI. ZAOKRĄGLENIA. SYSTEM RZYMSKI. ZAMIANA UŁAMKÓW ZWYKŁYCH NA DZIESIĘTNE. SZACOWANIE WARTOŚCI. OBLICZENIA W PRAKTYCE. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY. BIBLIOGRAFIA.

1. Wstęp teoretyczny Zbiór liczb naturalnych tworzą liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Zbiór ten oznaczamy literą N. Liczby przeciwne to dwie takie liczby, których suma jest równa 0. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C. C = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego p/q, gdzie p, q єC i q ≠ 0. Zbiór licz wymiernych oznaczamy literą W.

2. Rachunki z ułamkami Ułamek zwykły to każde wyrażenie postaci p/q, gdzie p jest w liczniku (nad kreską ułamkową), q jest w mianowniku (pod kreską ułamkową), liczby p, q muszą być całkowite oraz różne od zera. Np.: kreska ułamkowa Mianownik ułamka zwykłego określa, na ile równych części podzieliliśmy całość. Licznik ułamka zwykłego określa o ilu równych częściach całości mówimy.

2. Rachunki z ułamkami Iloraz dwóch liczb całkowitych można zapisać w postaci ułamka. Licznikiem tego ułamka jest dzielna, mianownikiem dzielnik, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Np.: 3 : 4 = 3/4, 2 : 8 = 2/8 Każdą liczbę całkowitą możemy przedstawić w postaci ułamka zwykłego o dowolnym mianowniku różnym od zera. Np.: 7 = 14/2, 10 = 20/2, 15 = 45/3

2. Rachunki z ułamkami Ułamek zwykły można rozszerzyć mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę całkowitą różną od zera, lub skrócić dzieląc licznik i mianownik ułamka przez ich wspólny dzielnik dodatni. Wzory mnożenia i dzielenia: Przedstawienie liczby k w postaci ułamka k/1 prowadzi do wzorów:

2. Rachunki z ułamkami Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać ze wzorów: Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się.

2. Rachunki z ułamkami Ułamek dziesiętny - zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, której mianownik jest potęgą liczby 10. Np. = 0,2 Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny, który oddziela część całkowitą liczby od części ułamkowej. Wszystkie działania na ułamkach dziesiętnych można wykonywać sposobem pisemnym, bardzo podobnie jak działania pisemne na liczbach naturalnych.

2. Rachunki z ułamkami Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych - wykonuje się podobnie jak dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych. Trzeba tylko podpisać ułamki jeden pod drugim tak, by przecinek jednego był pod przecinkiem drugiego. Np. 0,635 + 0,28 = 0,915 0,791 – 0,4832 = 0,3078  

2. Rachunki z ułamkami Mnożenie ułamków dziesiętnych Mnożąc ułamki podpisujemy je w ten sposób, aby ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnią cyfrą drugiego ułamka. Mnożąc je każdą pojedynczo. 1,84 ∙ 2,38 = 4,3792

2. Rachunki z ułamkami Dzielenie ułamków dziesiętnych Dzieląc ułamek dziesiętny wykonujemy działania tak jak na liczbach naturalnych, a w wyniku w odpowiednim miejscu (nad przecinkiem) dopisujemy przecinek.

2. Rachunki z ułamkami Zadanie 1:

2. Rachunki z ułamkami Zadanie 2. Suma liczb 0,4 i -3/5 wynosi: 0,4 + (-3/5) = 0,4 – 0,6 = - 0,2 Zadanie 3. Różnica liczb 2,4 i -4/5 wynosi: 2,4 – (4/5) = 2,4 + 0,8 = 3,2 Zadanie 4. Iloczyn liczb 1/3 i -2,7 wynosi: 1/3 * (-27/10) = -27/30 = - 0,9

2. Rachunki z ułamkami Zadanie 5. Zbyszek oszczędza na rower, który kosztuje 1200zł. Zebrał już 2/3 tej kwoty. Ile pieniędzy jeszcze mu brakuje? Rozwiązanie 1200 * 2/3 = 800 (zł) 1200 – 800 = 400 (zł) Odp. Zbyszkowi brakuje jeszcze 400 zł.

3. zaokrąglenia Głównie liczby niewymierne, ale także inne często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami). Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. W tych i wielu innych przypadkach stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1.

3. zaokrąglenia Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia „≈”. Przykłady 482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ 500 12,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10 (pogrubioną czcionką zaznaczyłem przypadek, gdy ostatnią zachowaną cyfrą jest 9. Wówczas zachowana cyfra staje się zerem, a zwiększamy o jeden przedostatnią pozostałą cyfrę) 19,99 ≈ 20 178,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ 200 9.999 ≈ 10 Jak widać w powyższych przykładach zaokrąglania nie stosujemy, kiedy liczba posiada już tylko jedną cyfrę znaczącą. Cyfra znacząca jest to cyfra 1,2,3,...,9 i 0 w przypadku, gdy znajduje się pomiędzy wymienionymi wcześniej cyframi.

3. zaokrąglenia Przykłady Liczba 534,21 ma 5 cyfr znaczących. Liczba 5000 ma 1 cyfrę znaczącą. Liczba 5001 ma 2 cyfry znaczące. Liczba 0,231 ma 3 cyfry znaczące. Liczba 0,001 ma 1 cyfrę znaczącą. Zaokrąglenie do n cyfr znaczących polega na takim zaokrągleniu liczby, aby w efekcie miała n cyfr znaczących. Dla przykładu podaję zaokrąglenie do 5 cyfr znaczących: 4005,826 ≈ 4005,8.

3. zaokrąglenia Często chcemy zaokrąglić liczbę określając jej rząd. Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części dziesiątych, pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu), setnych części - 2 cyfry po przecinku, tysięcznych części - 3 i tak dalej. Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum o 1, 2, 3, ... zerach "na końcu" po zaokrągleniu.

3. zaokrąglenia Zaokrąglenia do tysięcy: 1234 ≈ 1000 8999 ≈ 9000 127635 ≈ 128000 78896 ≈ 79000 Zaokrąglenia do setnych części: 246,445 ≈ 246,45 0,(64) = 0,646464 ... ≈ 0,65 154,0005 ≈ 154 0,0191 ≈ 0,02

3. Zaokrąglenia Zaokrąglenia są bardzo istotne w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych. Zaokrąglanie polegające na określeniu liczb po przecinku, szczególnie bardzo małych wielkości może generować względnie duży błąd. Stosuje się tutaj zaokrąglanie do liczby cyfr znaczących ( w zależności od mierzonej wielkości liczby te są różne). Ponadto liczbę z reguły zaokrąglamy do tylu miejsc po przecinku (znaczących), aby ostatnia cyfra była pewna. Dla przykładu wynik ważenia 0,274 g na wadze o dokładności 0,001 g trzeba będzie zaokrąglić do dwóch miejsc znaczących (bo ostatnia tzn. trzecia, jest już niepewna).

3. Zaokrąglenia Zaokrąglenie liczby 374,043 do : a) do części setnych : 374,04 b) do części dziesiętnych : 374,0 c) do jedności : 374 d) do dziesiątek : 370 e) do setek : 400

3. Zaokrąglenia ZADANIE 1. Sprawdź czy w akwarium o wymiarach 5 dm x 9,8 dm x 4,7 dm zmieści się 250 l wody. 1 dm3 = 1 l 9,8 dm ≈ 10 dm 4,7 dm ≈ 5 dm Objętość prostopadłościanu liczy się mnożąc przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. 5 dm ∙ 10 dm ∙ 5 dm =250 dm3 Zaokrąglaliśmy w górę, więc wynik jest większy niż w rzeczywistości, a z tego wynika, że 250 l wody nie zmieści się w takim akwarium.

4. System rzymski System rzymski wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym, który występuje miedzy innymi w systemie arabskim. System rzymski stosowany był w łacińskiej części Europy do końca średniowiecza. Do dziś jest jednak używany zwyczajowo do zapisywania liczb w pewnych szczególnych przypadkach. Na przykład w Polsce pisze się liczbami rzymskimi: numery liceów (szkół podstawowych i gimnazjów nie), wieki, tomy dzieł. Zwyczajowo pisze się czasami również: miesiące, daty powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach).

4. System rzymski W systemie rzymskim do zapisu liczb używa się 7 liter, z których każda oznacza liczbę według podanej tabeli: Znak Wartość I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000, choć można zapisywać większe liczby poprzez zapisanie liczby mniejszej 100 razy i umieszczenie jej między '|' np.: |MD| = 150 000 (1500 * 100) |XL| = 4000 (zamiast MMMM) .

Cyfry rzymskie używamy np.: do zegarków. 4. System rzymski Cyfry rzymskie używamy np.: do zegarków.

4. System rzymski Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane. MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + (5(V) - 1(I)) = 1164 Można spotkać się ze sposobem zapisu, w którym minimalizuje się (ogranicza) ilość znaków. Np. 1999 to normalnie MCMXCIX, ale można również napisać MIM, choć to drugie jest już jednak modyfikacją, by nie rzec udziwnieniem oryginalnego systemu.

4. System rzymski PRZYKŁADY : IV = 4 VII = 7 XL = 40 CM = 900 MXXV = 1025 MCMXCV = 1995 MM = 2000

5. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Ilorazy liczb można zapisywać, używając kreski ułamkowej. Każdy ułamek zwykły można także zinterpretować jako iloraz dwóch liczb. Tę własność można wykorzystać gdy zamieniamy ułamki zwykłe na dziesiętne – wystarczy podzielić licznik przez mianownik. Przykłady ¼ = 0,25 ½ = 0,5 ¾ = 0,75 1/8 = 0,125

5. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne 1/10=0,1 Gdy w mianowniku mamy liczbę 10 lub jej rozwinięcie wystarczy napisać po przecinku licznik, odpowiednio do ilości liczby zer z mianownika. Jeżeli w mianowniku jest inna liczba, sprowadzamy mianownik do liczby 10 lub jej rozwinięcia, np. 4/5=0,8, bo 4/5=8/10. Czasami mianownika nie da się sprowadzić do 10 lub rozwinięcia, np. 4/6.

5. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Czasami dzieląc licznik przez mianownik, otrzymamy ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku. Mówimy wtedy, że ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Niekiedy jednak dzielenie nigdy się nie kończy. Wówczas mówimy, że ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Przykłady 7/16 = 0,375 rozwinięcie dziesiętne skończone 47/90 = 0,5222.... rozwinięcie dziesiętne nieskończone

5. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Można zauważyć, że dzieląc sposobem pisemnym licznik przez mianownik ułamka, albo otrzymamy resztę 0, albo reszta się powtórzy, i od pewnego momentu dalsze czynności będą się powtarzać. Zatem otrzymamy albo rozwinięcie dziesiętne skończone, albo nieskończone, w którym powtarza się pewien układ cyfr. Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciach nieskończonych nazywamy okresem, a takie rozwinięcia nazywamy okresowymi.

5. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Można je zapisać w skróconej postaci. Przykłady 17/40 = 0,1888888... = 0,1(8) 4 3/11 = 4, 27272727... = 4,(27) 71/150 = 0,4733333... = 0,47(3) Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie (także: szacunek, wycena) - przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych, występowania zakłóceń lub stosowaniu uproszczonego modelu opisującego parametry, cechy lub charakter tej wielkości (lub zjawiska wpływające na jej zachowanie).

6. SZACOWANIE wartości Szacujemy praktycznie wszystko i co dzień, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy. Szacujemy np. koszt remontu pokoju, koszt wycieczki, czas potrzebny na naukę, ile pieniędzy wydamy na zakupy, czy wystarczy nam na zapłacenie rachunków, jak jest odległość między dwoma miejscami itd. Umiejętność szacowania należy kształtować od najmłodszych lat, gdyż jest bardzo przydatna w życiu. Pokażemy wam na konkretnych przykładach, jak potrzebne jest szacowanie.

6. SZACOWANIE wartości Szacowanie pozwala oswoić się z liczbami, długościami, powierzchniami itp. Oceniając np. odległość wyrabiamy sobie poczucie odległości. Zadanie: Milion kroków – jaka to odległość? Rozwiązanie: Sprawdzamy jaką długość ma jeden krok – np. 80 cm i mnożymy razy milion. 80 cm * 1 000 000 = 80 000 000 cm = 800 000 m = 800 km Odpowiedź: Milion kroków ma około 800 kilometrów.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie pozwala sprawdzać wyniki. Jeśli potrafimy oszacować wynik działania, to możemy wykryć istotne błędy popełnione w rozwiązaniu. Zadanie: Oszacuj, która z liczb jest większa: 4,8*30, czy 150? Rozwiązanie: Ponieważ 4,8 < 5, a 5*30 = 150, więc na pewno większa jest liczba 150. Odpowiedź: Większa jest liczba 150. Ewentualne błędne rozwiązanie: Zapominamy o przecinku w mnożeniu: 48*30 = 1440 > 150.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie trenuje sprawność rachunkową, gdyż szacowanie to nic innego, jak wykonywanie w pamięci uproszczonych obliczeń. Zadanie: Jeden litr cukru waży 1,59 kg. Oszacuj, czy 19,8 litra cukru jest cięższe od chłopca ważącego 32 kg. Rozwiązanie: Weźmy 1,59 kg ≈ 1,6 kg, a 19,8 l ≈ 20 l, więc 1,6 kg * 20 = 32 kg. Pamiętamy, że zaokrąglaliśmy „w górę”. Odpowiedź: Chłopiec jest cięższy od cukru.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie pokazuje istnienie różnych sposobów rozwiązania tego samego problemu. Zadanie: Układamy kilka stosów z klockami i prosimy, aby uczniowie oszacowali ile jest klocków w każdym stosie? Rozwiązanie: Uczniowie wykorzystują różne sposoby rozwiązania tego problemu. Niektórzy maja tendencję do przeszacowania, a inni do niedoszacowania. Oto przykłady: a) 30, 25, 28 b) 36, 38, 40 c) 30, 35, 40. Odpowiedź: W każdym stosie jest 36 klocków.

6. SZACOWANIE WARTOŚCI Szacowanie pokazuje związek matematyki z życiem codziennym Zadanie: Mama dała ci 10 zł na zakupy. Masz kupić: 1 mleko, 2 jogurty, 2 śmietany, kostkę masła, chleb i 1 ketchup. Czy wystarczy pieniędzy na te zakupy? Mleko - 1,65 zł, Jogurt - 0,89 zł, Śmietana - 0,99 zł, Ketchup - 1,95 zł, Majonez - 3,89 zł, Masło - 3,15 zł, Chleb - 1,40 zł Rozwiązanie: Należy oszacować koszt zakupów, np. 1,5 + 2 + 2 + 2 + 4 + 3 + 1,5 ≈ 16 zł Odpowiedź: Na zakupy nie wystarczy 10 zł.  

6. SZACOWANIE WARTOŚCI Szacowanie pozwala szybko porównać i lepiej rozumieć informacje. Zadanie: Islandia ma 272500 mieszkańców. W jej stolicy żyje 103000 osób. Oszacuj, jaka część wszystkich mieszkańców mieszka w stolicy. Rozwiązanie: Mamy 272500, czyli około 300000. Ponieważ 103000 osób żyje w stolicy, stąd wniosek, że ponad 1/3 mieszkańców Islandii żyje w jej stolicy. Odpowiedź: Ponad 1/3 mieszkańców mieszka w stolicy.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie ułatwia i przyspiesza rozwiązywanie zadań tekstowych. Zadanie: Działka rekreacyjna państwa Wrońskich ma kształt prostokąta o wymiarach 39,7 m х 19,9 m, a państwa Krukowskich ma kształt kwadratu o boku długości 30,3 m. Oszacuj, która z tych działek jest większa. Rozwiązanie: Niech 30,3 ≈ 30, 39,7 ≈ 40, a 19,9 ≈ 20. Zatem mamy: 30 * 30 = 900, a 40 * 20 = 800. Odpowiedź: Działka państwa Wrońskich jest mniejsza niż działka państwa Krukowskich.

6. Szacowanie WARTOŚCI Szacowanie ułatwia podawanie prawidłowych odpowiedzi, szczególnie w zadaniach tekstowych. Zadanie: Ile skrzynek 18 kilogramowych potrzeba, aby przechować w nich 4 tony jabłek? Rozwiązanie: Mamy 18 kg ≈ 20 kg. Stąd 4000 kg : 20 kg = 200 skrzynek. lub dokładniej: 4000 kg : 18 kg = 222,222 Odpowiedź: Potrzeba ponad 200 skrzynek lub potrzeba 223 skrzynek. Błędna odpowiedź: Potrzeba 222,222 skrzynek.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Rozlewamy 42l soku do butelek o pojemności 3/4 litra, wypełniając 7/8 objętości każdej butelki. Ile butelek musimy przygotować? Rozwiązanie: 42 : 3/4 = 42 * 4/3 = 56, 56 : 7/8 = 56 * 8/7 = 64 Odpowiedź: Musimy przygotować 64 butelki.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Pan Izydor za swoje zakupy zapłacił banknotem stuzłotowym i jako resztę otrzymał banknot dwudziestozłotowy, dwie dwuzłotówki i trzy dwudziestogroszówki. Ile kosztowały zakupy pana Izydora? Rozwiązanie: 100 zł – 20 zł – 2*2 zł – 3*0,20 zł = 75,40 zł. Odpowiedź: Zakupy pana Izydora kosztowały 75 zł i 40 gr.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Przedstaw liczbę (–2,5) w postaci: a) sumy dwóch liczb ujemnych, b) sumy liczby dodatniej i ujemnej, c) różnicy dwóch liczb ujemnych, d) różnicy liczby ujemnej i dodatniej. Rozwiązanie: a) (–1,5) + (–1) = (–2,5) b) 3 + (–5,5) = (–2,5) c) (–9) – (–6,5) = (–2,5) d) (–1) – 1,5 = (–2,5).

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Pani Ewa przejechała 45 km w czasie 3 godzin, a pani Ola przejechała tę samą drogę ze średnią prędkością 4 m/s. Która z pań jechała szybciej? Rozwiązanie: 45 km : 3 h = 15 km/h 4 m/s = 4 * 3600/1000 = 14,4 km/h Odpowiedź: Pani Ewa jechała szybciej niż pani Ola.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: W Ameryce Północnej znajduje się Kanada, USA, Meksyk oraz wiele innych krajów. Kanada i USA zajmują po około 2/5, a Meksyk około 2/25 powierzchni całego kontynentu. Jaką część powierzchni zajmują pozostałe kraje? Rozwiązanie: 2/5 + 2/25 = 10/25 + 2/25 = 12/25 25/25 – 12/25 = 13/25 Odpowiedź: Pozostałe kraje zajmują 13/25 powierzchni Ameryki Północnej.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Na mapie w skali 1:10000 odcinek łączący dwa punkty ma długość 13,5cm. Podaj, jaka jest odległość w terenie między tymi punktami – w centymetrach, w metrach oraz w kilometrach. Rozwiązanie: 1 cm na mapie to 10000 cm w terenie, zatem 13,5 cm * 10000 = 135000cm 135000cm : 100 = 1350m : 1000 = 1,35km Odpowiedź: Odległość między tymi punktami w terenie wynosi 135000 cm = 1350 m = 1,35km.

7. OBLICZENIA W PRAKTYCE Zadanie: Za 400 g pewnej wędliny zapłacono 8,40 zł. Ile kosztuje 1 kg tej wędliny? Rozwiązanie: 400 g – 8,40 zł 200 g – 4,20 zł 400 g + 400 g + 200 g = 1000 g = 1 kg 8,40 zł + 8,40 zł + 4,20 zł = 21 zł Odpowiedź: Za kilogram tej wędliny zapłacono 21 zł.

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy. Punkt zerowy nazywany jest punktem początkowym osi, gdyż dzieli narysowaną prostą na dwie półproste i jest początkiem każdej z nich. Półprostą, do której należy punkt jednostkowy nazywamy półosią dodatnią, a drugą - półosią ujemną.

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Każdą liczbę wymierną można przedstawić na osi liczbowej. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt na osi. Punkt ten oznaczamy dużą literą i u dołu osi piszemy odpowiadającą mu liczbę, o tej liczbie mówimy, że jest współrzędną punktu. Np. Aby zaznaczyć punkt K = 3 na osi, trzeba odliczyć w prawo trzy jednostki od zera. Aby zaznaczyć punkt L = (–3) należy odliczyć trzy jednostki w lewo od zera. L K –3 0 1 3

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Nie zawsze zaznaczamy na osi punkt jednostkowy. Jeśli mamy zaznaczyć na osi liczby -200, -100, 100, 200, 300, wtedy zamiast jednostki zaznaczamy liczbę np. 100. -200 -100 0 100 200 300 Jeśli chcemy zaznaczyć punkty odpowiadające liczbom: -½ , -¼ , ½, ¼, wtedy zaznaczamy liczbę ¼ zamiast jednostki (1/2 = 2/4). -½ -¼ 0 ¼ ½

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Na osi liczbowej łatwo obliczyć odległość dwóch punktów tej osi. Wystarczy od liczby większej odjąć mniejszą. Jeśli chcemy obliczyć odległość między punktami 2 i (–4), należy od liczby 2 odjąć (–4) i mamy: 2 – (–4) = 2 + 4 = 6. -4 0 2 Odległość punktu 2 od punktu (–4) wynosi 6 jednostek.

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Liczby przeciwne leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od punktu 0. M N -4 0 4 Punktom M i N na osi odpowiadają liczby -4 i 4, jedna dodatnia a druga ujemna, ale mówimy, że obie te liczby mają taką samą wartość bezwzględną co zapisujemy: │-4 │= 4 i │4│= 4. Wartość bezwzględna liczby to odległość na osi liczbowej tej liczby od zera.

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Na osi liczbowej można zaznaczyć zbiór liczb spełniających określone warunki. Zadanie: Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb x spełniających warunek x + 2 < 3. Rozwiązanie: x < 3 – 2 x < 1 -1 0 1

8. OŚ LICZBOWA I JEJ MIESZKAŃCY Zadanie: Znajdź takie liczby x, dla których │x – 4│≤ 2. Rozwiązanie: Musimy wyznaczyć takie liczby, dla których odległość od liczby 4 jest mniejsza lub równa 2. Nierówność interpretujemy graficznie. 0 1 2 3 4 5 6 Odpowiedź: Odczytujemy, że nierówność │x – 4│≤ 2 jest prawdziwa dla liczb należących do przedziału ˂2, 6>.

9. BIBLIOGRAFIA Strony internetowe: file:///C:/Users/Bo%C5%BCenka/Desktop/combidata/semestr% 20II/Szacowanie5.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/liczby- wymierne-dodatnie/liczby-wymierne http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/liczby- wymierne-dowolne/liczby-na-osi-liczbowej-i-odleglosci- miedzy-nimi http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/liczby- wymierne-dodatnie/ulamki-zwykle-rozszerzanie-skracanie Matematyka z plusem – podręcznik dla klasy 1 gimnazjum