POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH DANE INFORMACYJNE : Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ W BACZYNIE, GIMNAZJUM NR 5 W POZNANIU ID grupy: 98/9_MF_G2; 98/30_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA. Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011.

GIMNAZJUM NR 5 w ZESPOLE SZKÓŁ z ODDZIAŁAMI SPORTOWYMI nr 1 SZKÓŁ w BACZYNIE ul. Szkolna 1 66-432 Baczyna GIMNAZJUM NR 5 w ZESPOLE SZKÓŁ z ODDZIAŁAMI SPORTOWYMI nr 1 Poznań ul. Oś. Pod Lipami 106

„POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH”

Systemy liczbowe możemy podzielić na: pozycyjne niepozycyjne (addytywne).   Przykładami systemów pozycyjnych są m.in. systemy: dziesiętny, jedynkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Przykładami systemów niepozycyjnych są m.in. system arabski, system rzymski.

POZYCYJNY SYSTEM LICZBOWY System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. System pozycyjny umożliwia zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe.

Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby n + 1, gdzie n jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia Ci-1·pi-1+ci-2·pi-2+ Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia Ci-1·pi-1+ci-2·pi-2+...+c2·p2+ c1·p1+c0·p0 gdzie p jest podstawą systemu liczenia, zaś liczby oznaczone literą c z indeksami, nazywamy cyframi. Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują.

Liczbę daną powyższym wyrażeniem zapisujemy w postaci: ( ci-1ci-2 ... c2 c1 c0 )g Jeżeli g = 10, to piszemy ci-1ci-2 ...c2 c1 c0

Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb jest potrzebna duża liczba cyfr.

OLBRZYMY – CZYLI BARDZO DUŻE LICZBY

Duże liczby często używane są do opisywania obiektów znajdujących się we wszechświecie: Masa Księżyca 73 480 000 000 000 000 000 000 kg Masa Ziemi 5 974 000 000 000 000 000 000 000 kg Masa Słońca 1 998 910 000 000 000 000 000 000 000 000 kg

LILIPUTY – CZYLI BARDZO MAŁE LICZBY

BARDZO MAŁE LICZBY Masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000 000 00003 kg Masa protonu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 2 6 kg Masa elekronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 0 910 95 kg

Przebyte odległości w czasie 0,001 sekundy Głos przebywa w tym czasie 33 centymetry Ziemia przebiega 30 metrów Samolot pokonuje 10 centymetrów Pociąg przejeżdża 1 centymetr torów

CZY WIESZ, ŻE ? Włos ludzki powiększony na grubość milion razy będzie miał średnicę 70 metrów ! A jaką wielkość osiągnie komar powiększony milion razy? Będzie miał 5 kilometrów długości!!!

ZAPIS WYKŁADNICZY LICZB Postać wykładnicza to zapis liczby bezpośrednio w formie iloczynu postaci: gdzie: - M jest mantysą znormalizowaną do przedziału [1,10) - E jest wykładnikiem całkowitym. Notacja wykładnicza , to uproszczony zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb.

ZASTOSOWANIE NOTACJI WYKŁADNICZEJ DO ZAPISU BARDZO MAŁYCH LICZB: Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi 2•10-3 kg masa atomu wodoru 1,67•10-27 kg

PRZYKŁADY: 0,000 000 000 1=10-10 0,000 000 000 3=3* 0,000 000 000 1= =3*10-10 Masa protonu w kilogramach: 16 726*10-31=1672,6*10-30 = =16,726*1028=1,6726*10-27

NAZWY BARDZO MAŁYCH LICZB Oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest     Nazwa potoczna       d decy 10-1 jedna dziesiąta c centy 10-2 jedna setna m mili 10-3 jedna tysiączna u mikro 10-6 jedna milionowa n nano 10-9 jedna miliardowa p piko 10-12 jedna bilionowa f femto 10-15 jedna biliardowa a atto 10-18 jedna trylionowa

LILIPUTY MAJĄ SWOJE ZASTOSOWANIE W NANOTECHNOLOGII Nanotechnologia – to ogólna nazwa całego zestawu technik i sposobów tworzenia rozmaitych struktur o rozmiarach nanometrycznych (od 0,1 do 100 nanometrów), czyli na poziomie pojedynczych atomów i cząsteczek.

ZASTOSOWANIE NOTACJI WYKŁADNICZEJ DO ZAPISU BARDZO DUŻYCH LICZB: Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się bardzo duże liczby, np:   - masa Ziemi wynosi 5,976•1024 kg, - największa ryba świata - płetwal błękitny waży 1,2•105 kg,

Zapis wykładniczy bardzo dużych liczb Liczba słownie Liczba w postaci notacji wykładniczej Miliard 109 Bilion 1012 Biliard 1015 Trylion 1018 Sekstylion 1036 Septylion 1042 Oktylion 1048 Nonilion 1054 Decylion 1060

1. SYSTEM DZIESIETNY Jest to podstawowy system prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie. Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10. W praktyce wygląda to tak :   - o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 100 , - cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 101, - cyfrę na 3 pozycji razy 102 , itd.  

Przykład: 4123 = 3*100 + 2*101+ 1*102 + 4*103 = 3 + 20 + 100 + 4000 = =4123

2. SYSTEM JEDYNKOWY Jest to najprostszy system zapisu liczb, gdyż wykorzystuje tylko jedna cyfrę 1. Podstawą pozycji też jest liczba 1. W praktyce wygląda to tak : - jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy 10 . - cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 11, - cyfrę na 3 pozycji razy 12 itd. Jednakże jak wiadomo liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi daje jeden. Wynika z tego że w tym systemie na każdej pozycji cyfra 1 ma wartość 1.

Przykład: 111 = 1*10 + 1*11+ 1*12 = 1 + 1 + 1 = 3 Liczba 111 w systemie jedynkowym równa jest liczbie 3 w systemie dziesiętnym.

NIEPRAKTYCZNOŚĆ SYSTEMU System ten jest wiec bardzo niewygodny w praktyce: Zapis liczby 10 wygląda tak:     1111111111 - Na zapisanie większych liczb np. 1 000 000 mogło by nie starczyć nam chęci i miejsca na kartce

3. SYSTEM DWÓJKOWY (BINARNY) Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się zaledwie 2 cyfr: 0 i1. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 2. W praktyce wygląda to tak : jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 20 , a cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 21 , cyfrę na 3 pozycji  mnożymy razy 22 , itd.  

Przykład: 1100101 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 + 1*26 = 1+ 0+ 4+ 0+ 0+ 32+ 64 = 101 Tak wiec liczba 1100101 w systemie dwójkowym jest równa liczbie 101 w systemie dziesiętnym.

ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA DWÓJKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na dwójkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę też dzielimy)  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.   Przykład:     41/2 = 20    reszta1   20/2 = 10    reszta0   10/2 = 5      reszta0   5/2 = 2        reszta1   2/2 = 1        reszta0   1/2 = 0        reszta1 Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 101001 tak wiec liczba 41 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 101001 w systemie dwójkowym.

4. SYSTEM ÓSEMKOWY Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 8. W praktyce wygląda to tak : jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy 80 , cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 81, cyfrę na 3 pozycji mnożymy razy 82 itd. Przykład: 174 = 4*80 + 7*81 + 1*82 = 4+ 56+ 64 = 124 Tak wiec liczba 174 w systemie ósemkowym jest równa liczbie 124 w systemie dziesiętnym.

ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA ÓSEMKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 8 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 8 (tą liczbę też dzielimy tez dzielimy) i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 albo 7 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr. Przykład: 167/8 = 20 r.7 20/8 = 2 r.4 2/8 = 0 r.2 Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 247 tak wiec liczba 167 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 247 w systemie ósemkowym

5. SYSTEM SZESNASTKOWY Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się 16 znaków ( 10 cyfr i 6 liter ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.  Podstawą  pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 16. W praktyce wygląda to tak :   jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc znak stojący na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 160 ,  znak  na 2 pozycji  mnożymy razy 161, znak na 3 pozycji  mnożymy razy 162   itd.   UWAGA ! Litery w tym systemie traktowane są jako następujące liczby:                   A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15   Przykład:   D3A = 10*160 + 3*161 + 13*162  = 10 + 48 + 3328 = 3386 Tak wiec liczba D3A w systemie dwójkowym jest równa liczbie 3386 w systemie dziesiętnym.  

ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA SZESNASTKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na szesnastkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 16 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 16 (tą liczbę też dzielimy )  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( w przypadku liczby większej niż 9 stosujemy litery ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.   Przykład:     3738/16 = 233    reszta A   233/16 = 14        reszta 9   14/16 = 0            reszta E Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba E9A tak wiec liczba 3738 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie E9A w systemie szesnastkowym.

POTĘGI W INFORMATYCE Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą BITÓW, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmują tylko jedną z tych dwóch wartości. Osiem bitów to jeden bajt. Ustawienie ośmiu bitów decyduje o numerze, który może przyjąć maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki komputer ma wykorzystać.

JEDNOSTKI PAMIĘCI: Bajt 23 bitów = 8 bitów Kilobajt 210 bajtów = 1 024 bajty Megabajt 220 bajtów = 1 048 576 bajty Gigabajt 230 bajtów = 1 073 741 824 bajty Terabajt 240 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty

ZARYS HISTORYCZNY: W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.

Przykład: 216 = 6553610 = 1000016 232 = 429496729610 = 10000000016 1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

NIEPOZYCYJNE SYSTEMY LICZBOWE (ADDYTYWNE)

Systemy niepozycyjne (addytywne) to takie w których wartość danej liczby jest suma wartości znaków cyfrowych z których się ona składa. Najpopularniejszym systemem addytywnym jest system arabski którego używamy na codzień i wykorzystuje on symbole 1,2,3,4,5,... Innym popularnym systemem jest system rzymski .

WADY I ZALETY Zaletą systemów addycyjnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są "okrągłe") za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność i kłopoty interpretacyjne przy "mało okrągłych" liczbach i bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

LICZBY RZYMSKIE I ICH ZASTOSOWANIE

Historia liczb rzymskich… System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym.

Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? I = 1 L = 50 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000

C pochodzi od słowa centum = 100 M pochodzi od słowa mille = 1000

Liczby powstają z dodawania znaków. 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

Liczby powstają również z odejmowania znaków. 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

Jakie są inne zasady obowiązujące przy tworzeniu liczb systemem rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.

Spróbuj zapisać liczby znakami rzymskimi: 78=LXXVIII 94=XCIV 116=CXVI 465=CDLXV 999=CMXCIX

Spróbuj odczytać liczby zapisane znakami rzymskimi: XLV = 45 LXXIX=79 CCXLVI=246 CDXCIV=494 MMM=3000

Jak zapisać systemem rzymskim większe liczby? ICI = 10 000 IXLVII = 4 600 IDCIVI = 60 400 Liczby w pionowych kreskach zwiększają swoją wartość stukrotnie.

Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie. Jak zapisać jeszcze większe liczby systemem rzymskim? XXX = 30 000 DV = 505000 MM = 2 000 000 Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie.

XV Konkurs Chopinowski Gdzie dzisiaj używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Przy zapisywaniu dat i wieków 11 XI 1918 Przy numeracji ważnych rocznic XV Konkurs Chopinowski Przy imionach kolejnych królów Zygmunt III Waza

Gdzie jeszcze używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej Przy numeracji rozdziałów Na tablicach pamiątkowych W inskrypcjach

POTĘGOWE CZARY MARY  WYKONUJ KOLEJNE KROKI A ODGADNĘ, JAKA LICZBE POMYŚLAŁEŚ  Pomyśl dowolną liczbę naturalną (ale nie za wielką, byś nie miał kłopotów z wykonywaniem na niej działań w głowie). A teraz: 1. Podnieś tę liczbę do kwadratu 2. Dodaj wynik do pomyślanej liczby 3. Podziel rezultat przez liczbę pomyślaną 4. Dodaj do wyniku – powiedzmy – 17 5. Odejmij pomyślaną przez siebie na początku liczbę 6. Wynik podziel przez 6

ROZWIĄZANIE: Otrzymałeś 3 

Bibliografia Podręczniki do matematyki do gimnazjum i szkoły podstawowej ,,Matematyka z plusem’’ GWO Podręcznik do matematyki do gimnazjum ,,Matematyka wokół nas’’ WSIP Zasoby Internetu m.in. http://pl.wikipedia.org