i Rachunek Prawdopodobieństwa Fraktale i Rachunek Prawdopodobieństwa

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi, przedstawiającemu coś, co kształtem przypomina drzewo o bardzo regularnej strukturze

W jaki sposób najłatwiej narysować takie „drzewo”?

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny, tzn. taki, którego części są podobne do całości albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Krzywa Kocha

W otaczającym nas świecie możemy spotkać bardzo wiele przedmiotów i zjawisk posiadających charakter fraktalny Przykłady?

Płatek śniegu

rośliny

Kalafior Romanesco

Fraktale w grafice komputerowej

Benoit Mandelbrot Pojecie fraktala zostało wprowadzone do matematyki w latach siedemdziesiątych XX wieku przez francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia, Benoita Mandelbrota

Pierwsze konstrukcje fraktali Pierwsze matematyczne konstrukcje fraktali podano na przełomie XIX i XX wieku. Ich twórcami byli słynni dziś matematycy: Georg Cantor, David Hilbert, Helge von Koch oraz Wacław Sierpiński.

Jednym z najprostszych, a zarazem najciekawszych przykładów jest trójkąt Sierpińskiego, skonstruowany przez słynnego polskiego matematyka, Wacława Sierpińskiego, w 1915 roku.

Prześledźmy konstrukcję Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości 1. Podzielmy go na cztery mniejsze trójkąty o boku długości ½. Usuńmy środkowy.

Prześledźmy konstrukcję W oczywisty sposób otrzymujemy zbiór, jak na rysunku. Wykonując te same czynności dla każdego z trzech mniejszych trójkątów, otrzymujemy nowy zbiór…

Prześledźmy konstrukcję Wykonując tę samą czynność dla coraz mniejszych trójkątów otrzymujemy coraz subtelniejszą strukturę.

Prześledźmy konstrukcję Wykonując tę samą czynność dla coraz mniejszych trójkątów otrzymujemy coraz subtelniejszą strukturę.

Prześledźmy konstrukcję Wykonując tę samą operację „wycinania” dla coraz mniejszych trójkątów nieskończenie wiele razy, otrzymujemy trójkąt Sierpińskiego.

Popatrzmy na wycinek trójkąta w powiększeniu Każdy „trójkątny” fragment skonstruowanego zbioru, przypominający swoim kształtem jego pomniejszoną wersję, nazywamy komórką (czarny zbiór na rysunku).

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Wyobraźmy sobie cząstkę poruszającą się po sąsiednich wierzchołkach małych trójkątów, z których składa się duży „podziurawiony trójkąt” otrzymany w wyniku operacji wycinania trójkątów (na rysunku widzimy przykład dla 5 iteracji wycinania).

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 1

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 2

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 3

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 4

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa 12 kroków

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Zakładamy, że w każdym kroku cząstka może przemieścić się do jednego z czterech sąsiednich wierzchołków z jednakowym prawdopodobieństwem ¼. Nie dotyczy to sytuacji, gdy znajdzie się w jednym z trzech wierzchołków brzegowych. Wówczas kończy swój ruch.

Wybór wierzchołka w każdym następnym kroku, nie zależy od poprzednich. Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Wybór wierzchołka w każdym następnym kroku, nie zależy od poprzednich. Dla przykładu: nietrudno policzyć, że prawdopodobieństwo wyboru trajektorii o długości 12 wierzchołków takiej jak na rysunku wynosi 1/16777216 (1/4 do potęgi 12).

Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Taki ruch cząstki nazywamy błądzeniem przypadkowym lub spacerem losowym. Możemy tez rozważać błądzenie po wierzchołkach dowolnie małych trójkątów powstających w kolejnych iteracjach wycinania.

W bardzo podobny sposób rozważać możemy ruch cząstki po wierzchołkach dwuwymiarowej kraty, która stanowi tło naszej prezentacji, albo jej trójwymiarowego odpowiednika. Takie błądzenia losowe prowadzą do klasycznych zagadnień fizycznych, choćby takich, jak transport ciepła.

Błądzenie losowe na fraktalach daje szanse na badanie głębokich zagadnień analitycznych, probabilistycznych i geometrycznych!

Badanie procesów losowych (procesów stochastycznych), których przykładami są błądzenia przypadkowe, jest jednym z przedmiotów zainteresowań współczesnego Rachunku Prawdopodobieństwa. Modelują one wiele zjawisk fizycznych i ekonomicznych, mają istotne zastosowania w elektronice i telekomunikacji.

TEORIĄ POTENCJAŁU PROCESÓW MARKOWA. Tego typu problemy naukowe należą do obszaru zainteresowań zespołu badawczego skupiającego pracowników, doktorantów i studentów Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej, zajmującego się TEORIĄ POTENCJAŁU PROCESÓW MARKOWA. W każdy piątek odbywają się seminaria zespołu, w czasie których prezentowane są aktualne problemy i wyniki badań w tej dziedzinie. Ty również możesz zostać zaproszony (-a) do uczestnictwa w naszych badaniach, jeśli wybierzesz studia matematyczne na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej!

Zachęcam do kontaktu mailowego i zadawania pytań! Kamil Kaleta kamil.kaleta@pwr.wroc.pl