MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 13 18.06.2008 r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum są położone na symetralnej odcinka łączącego masy m1 i m2. Stąd, że siła dośrodkowa może być w całości kompensowana przez siłę o tym samym kierunku (przeciwnym zwrocie) dostaliśmy a=d. W związku z tym punkt równowagi leży w wierzchołku trójkąta równobocznego, którego podstawą jest linia łącząca obie masy. Ze względu na symetrię w układzie istnieje drugi punkt trójkątny. Poza tym istnieją jeszcze trzy punkty leżące na linii łączącej obie masy. m1 m2 P a b O d α β γ g

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Punkty równowagi to punkty osobliwe powierzchni zerowej prędkości: które są zdefiniowane poprzez: gdzie U jest wprowadzonym wcześniej pseudo potencjałem:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Z równania oraz z równań ruchu: Wynika, że w każdym punkcie osobliwym mamy: czyli, punkty osobliwe są jednocześnie punktami równowagi

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Co więcej pamiętając, że oraz otrzymujemy, że z=0. W takim razie zagadnienie sprowadza się do zagadnienia płaskiego, które rozpatrujemy w płaszczyźnie x-y Oprócz z=0, przyjmujemy taki układ jednostek, w którym odległość mas jest równa 1 oraz n=1.

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Ruch cząstki opisujemy w układzie (x,y) rotującym ze stałą prędkością Korzystając z wcześniejszych definicji mamy: korzystając z powyższych równań oraz z faktu, że μ1+μ2=1 otrzymujemy: co pozwala na przekształcenie U do postaci: nt ξ η x μ2 μ1 y r1 r r2 O (ξ2,η2,ζ2) (ξ1,η1,ζ1)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Otrzymana postać potencjału jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnych cząstkowych ze względu na brak zależności od x i y Dla znalezienia punktów równowagi musimy rozwiązać układ równań:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych dostajemy: (13.1) Rozwiązanie trywialne tego układu: daje r1=r2=1 (w przyjętym układzie jednostek). Ponieważ jednocześnie odległość między masami jest równa 1, więc otrzymaliśmy wprowadzone wcześniej punkty trójkątne

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Można zauważyć, że innym rozwiązaniem drugiego z równań 13.1 jest y=0 co oznacza, że pozostałe punkty równowagi leżą na osi x i spełniają pierwsze z równań 13.1 Są trzy takie punkty. L1 leżący pomiędzy masami, L2 położony na prawo od μ2 oraz L3 znajdujący się na lewo od masy μ1. Wykorzystując te informacje możemy rozwiązywać kolejno pierwsze z równań 13.1 dla poszczególnych przypadków μ2 μ1 L3 L1 L2

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a W przypadku punktu L1 mamy: Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy: a po przekształceniu: (13.2)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Zdefiniujmy: wtedy: W przypadku małych r2 przybliżonym rozwiązaniem tego równania jest r2=α Po rozwinięciu równania 13.2 w szereg otrzymujemy: Aby otrzymać zależność r2(α) możemy odwrócić powyższy szereg wykorzystując metodę podaną przez Lagrange’a (wykład 8)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Porównując równania: możemy napisać: gdzie nowa funkcja φ jest zdefiniowana jako:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a W takim razie mamy: pamiętając, że: otrzymujemy ostatecznie:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a W przypadku punktu L2 mamy: Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy: a po przekształceniu: Postępując podobnie jak w przypadku L1 dostajemy:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Dla L3 mamy: Tym razem w równaniu 13.1a podstawiamy za r2: a po przekształceniu: Jeśli dokonamy podstawienia r1=1+β (czyli r2=2+β) to otrzymamy:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a Położenia krzywych zerowej prędkości i punktów osobliwych w przypadku stosunku mas μ2=0.2

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a CJ Położenia punktów osobliwych (μ2=0.2) w funkcji wartości stałej Jacobiego. Najmniejszą wartość CJ mają punkty L4 i L5 Dla cząstki, której CJ<CJ4,5, nie ma obszarów wzbronionych Przyjmiemy, że punkty równowagi są numerowane według malejącej wartości stałej Jacobiego

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrange’a W Układzie Słonecznym największą wartość μ2 ma układ Pluton-Charon, gdzie μ2=10-1, a dla układu Ziemia-Księżyc μ2=10-2. Wszystkie inne układy planeta-księżyc i Słońce-planeta mają μ2 o co najmniej rząd mniejsze, co sprawia, że kształt krzywych zerowej prędkości i położenia punktów równowagi badamy w przybliżeniu małych μ2 (na rys. =0.01)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Załóżmy, że punkt równowagi ma współrzędne (x0,y0). Rozpatrzymy małe wychylenie (X,Y) z położenia równowagi takie, że: Podstawiamy do równań ruchu: i po rozwinięciu w szereg Taylora dostajemy:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Pamiętając, że n=1 i oznaczając stałe wielkości jako: możemy przepisać otrzymane równania jako: (13.3) a następnie w postaci macierzowej: co pozwala zmienić problem rozwiązania układu dwóch równań drugiego rzędu w cztery układ czterech równań rzędu pierwszego

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Układ równań ma teraz postać: gdzie: Jego równanie charakterystyczne:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Otrzymane równanie charakterystyczne redukuje się do wielomianu: Takie równanie łatwo przekształcić do równania kwadratowego i wyznaczyć wszystkie cztery pierwiastki:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Możemy napisać teraz ogólne rozwiązania (αj są stałymi): (13.4a) oraz (βj są stałymi): (13.4b) Stałe βj są zależne od αj ponieważ w ogólnym rozwiązaniu mogą być tylko cztery stałe. Zależność między nimi można znaleźć podstawiając powyższe równania do dowolnego z równań 13.3. Otrzymamy wtedy:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Trywialne rozwiązanie tego równania pozwala uzyskać zależność pomiędzy stałymi: Co oznacza, że jeżeli w momencie czasu t=0 znamy warunki początkowe to możemy wyznaczyć stałe αj (a więc także βj) rozwiązując układ czterech równań liniowych: (13.5)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a Pełne rozwiązanie jest dane równaniami 13.4, dla których stałe można wyznaczyć z równań 13.5. Jednak aby zbadać stabilność punktów równowagi wystarczy rozpatrzenie tylko wartości własnych. W tym celu zdefiniujemy następujące wielkości:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a W takim razie mamy: Ogólnie wartości własne możemy zapisać jako liczby zespolone postaci: gdzie j1,k1,j2,k2 są liczbami rzeczywistymi. Wartości własne decydują o stabilności ponieważ ogólne rozwiązanie układu zlinearyzowanego jest superpozycją wyrazów typu:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a - dla j0 co najmniej jeden czynnik w równaniach 13.4 będzie rozbieżny i ruch jest niestabilny - gdy j=0 mamy rozwiązanie oscylujące (punkt liniowo stabilny) Wynika stąd, że punkt równowagi jest stabilny jeżeli wszystkie wartości własne są liczbami urojonymi. Badanie liniowej stabilności wskazuje, że: - punkty L1, L2, L3 są liniowo niestabilne - punkty L4, L5 są stabilne dla szczególnych wartości μ2, które można wyznaczyć następująco

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L4, L5) Uzyskane wcześniej: podstawiamy do równań:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L4, L5) W efekcie dostajemy: a więc wartości własne będą liczbami urojonymi wtedy gdy: Otrzymujemy stąd warunek stabilności (liniowej):

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L4, L5) W przypadku stabilności liniowej punktów trójkątnych są dwa wyjątki dla: μ2=0.0243 μ2=0.0135 Dla takich wartości punkty trójkątne są niestabilne pomimo, że spełniony jest warunek stabilności. Punkty współliniowe są niestabilne, ale tylko w przypadku liniowej analizy stabilności. Okazuje się, że przy uwzględnieniu wyrazów wyższych rzędów możemy otrzymać orbity stabilne.

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L1) http://sohowww.nascom.nasa.gov

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L1) http://sohowww.nascom.nasa.gov

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrange’a (L2) WMAP James Webb Space Telescope (JWST)