Ćwiczenia 8. Kwadraty magiczne
Znany kwadrat magiczny Albrecht Durer, Melancholia I, 1514
Kwadrat magiczny Kwadratowa tablica liczb, taka że Suma liczb w każdym wierszu jest taka sama Suma liczb w każdej kolumnie jest taka sama Suma liczb leżących na każdej przekątnej jest taka sama Suma liczb w kolumnie jest równa sumie liczb w wierszu i sumie liczb z przekątnej
Kwadrat magiczny - przykład 4 9 2 3 5 7 8 1 6
Algebra kwadratów magicznych Na kwadratach magicznych tego samego rozmiaru można wykonywać operacje, które nie zmieniają własności „magiczności” kwadratu
Operacje - przestawienia Przestawienie wierszy lub kolumn położonych symetrycznie względem środka nie zmienia „magiczności” kwadratu. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2
= + Operacje - dodawanie 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2 12 10 8 6 Dodawanie (komórka po komórce) dwóch kwadratów magicznych daje kwadrat magiczny. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2 12 10 8 6 14 = +
Operacje – mnożenie Pomnożenie każdej liczby kwadratu magicznego przez stałą daje w wyniku kwadrat magiczny. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 12 27 6 9 15 21 24 3 18 x 3
Operacje – zastąpienie Zwykle kwadrat magiczny wypełnia się kolejnymi liczbami (ogólniej: kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego). Zastąpienie ciągu arytmetycznego wypełniającego kwadrat magiczny innym ciągiem arytmetycznym daje w wyniku kwadrat magiczny.
Operacje – zastąpienie 4 9 2 3 5 7 8 1 6 33 19 39 36 30 24 21 42 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42 39 36 33 30 27 24 21 19
Algorytmy tworzenia Algorytmy tworzenia kwadratów magicznych zależą od parzystości wymiaru kwadratu. Dla kwadratów nieparzystych algorytmy: Hinduski, Synajski, Bacheta. Dla kwadratów parzystych algorytm symetrii obrotowej
Algorytm hinduski 3 4 5 1 6 2 7 start środek
Algorytm hinduski 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 16
Algorytm syjamski 2 9 1 8 5 7 4 6 3 Start: środek górnego wiersza
Algorytm syjamski 18 25 2 9 16 17 24 1 8 15 23 5 7 14 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11
Algorytm Bacheta 1 6 2 7 3 8 4 5
Algorytm Bacheta 1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 21 17 5 13 9 22 10 18 14 23 19 15
Algorytm La Louber’a 5 4 3 2 1
Algorytm La Louber’a 5 4 3 2 1
Algorytm La Louber’a 5 4 3 10 2 9 1 8 7 6
Algorytm La Louber’a 5 4 3 10 2 9 1 8 7 6
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 3 10 12 2 9 11 1 8 7 6
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 3 10 12 2 9 11 1 8 7 6
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 3 10 12 19 2 9 11 18 1 8 17 7 16 6
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 3 10 12 2 9 11 18 1 8 17 7 16 6
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 3 10 12 2 9 11 18 25 1 8 17 24 7 16 23 22 6 21
Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 21 3 10 12 25 2 9 11 18 1 8 17 24 7 16 23 22 6
Algorytm La Louber’a 19 21 3 10 12 25 2 9 11 18 1 8 15 17 24 7 14 16 23 5 13 20 22 4 6
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne 1 2 7 8 9 10 15 16 19 20 21 22 27 28
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne 1 2 7 8 9 10 15 16 19 20 21 22 27 28 12 11 6 5 4 3
Dwu-Parzyste kwadraty magiczne 1 2 62 61 60 59 7 8 9 10 54 53 52 51 15 16 48 47 19 20 21 22 42 41 40 39 27 28 29 30 34 33 32 31 35 36 37 38 26 25 24 23 43 44 45 46 18 17 49 50 14 13 12 11 55 56 57 58 6 5 4 3 63 64