ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka +

Algorytm, algorytmika algorytm od Muhammad informatyka + Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w. Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami informatyka +

Algorytmy a informatyka Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego – kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera. Ralf Gomory (IBM): Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) informatyka +

Grafy i algorytmy informatyka + Plan: Przykłady pojawiania się grafów siatki wielościanów mosty królewieckie – figury jednobieżne malowanie map drzewa w informatyce sieci dróg cykle Hamilton Przykłady trudnych problemów szukanie trasy objazdu Problemy, które mają efektywne algorytmy szukanie najniższych drzew – krótkich kodów komputerowe reprezentacje grafów problemy najkrótszych dróg problem najkrótszego drzewa informatyka +

Grafy – przykłady występowania – wielościany Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów: Podał zależność między liczbą wierzchołków. krawędzi i ścian w wielościanach Sześcian Spłaszczony sześcian Wierzchołki Krawędzie Ściany Wzór Eulera: Liczba wierzchołków + liczba ścian = 2 + liczba krawędzi n + f = 2 + m dla sześcianu: 8 + 6 = 2 + 12 informatyka +

Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 1 Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów: 1736: Problem mostów Królewieckich Czy istnieje droga, która zawiera każdy most (każdą krawędź) dokładnie raz? Do każdego wierzchołka, z wyjątkiem dwóch, tyle samo razy musimy wyjść, ile razy wchodzimy informatyka +

Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 2 Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów: 1736: Problem mostów Królewieckich Figury unikursalne, jednobieżne informatyka +

Kolorowanie map informatyka + Problem czterech kolorów (1852): Czy każdą mapę można pomalować 4 kolorami? Mapa województw Graf województw Pomalowany graf 1976: K. Appel. W. Haken i J. Koch (programista) Pierwszy dowód – z wykorzystaniem komputera informatyka +

Drzewa w informatyce informatyka + Drzewo algorytmu Drzewa – grafy spójne bez cykli Drzewa obliczeń Zastosowanie: ONP Odwrotna Notacja Polska Jan Łukasiewicz (1920) (6 + 3)*(5 – 3*4) (x2+ y2)/(a – b) informatyka +

Drzewa w algorytmice – wyłanianie zwycięzcy Porównania – mecze Tomek Ośmiu zawodników: 7 meczy n zawodników: n – 1 meczy Bartek Tomek Bartek Witek Tomek Tolek Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek informatyka +

A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju? Tomek Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z Tomkiem? Ale Bartek nie grał z drugą połową! Bartek Tomek ??? Tylko dwa dodatkowe mecze! Bartek Witek ??? Tomek Tolek Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek informatyka +

Sieci dróg samochodowych, kolejowych, lotniczych … informatyka +

Grafy Hamiltona informatyka + William R. Hamilton (1805-1865): 1859: cykl Hamiltona – przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz Dwunastościan foremny Siatka (graf) dwunastościanu Cykl Hamiltona informatyka +

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 1 Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie. Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest: 15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia) W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia) informatyka +

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 2 Wartości funkcji n! Rosną BARDZO SZYBKO Prezydent Stanów Zjednoczonych ma problem ze znalezieniem najkrótszej trasy objazdu Stanów. Na superkomputerze o mocy 1 PFlops – ile trwa obliczanie n! 15! = 1307674368000/1015 sek. = ok. 0.01 sek. 48! = 1,2413915592536072670862289047373*1061/1015 = 3*1038 lat 25! = 15511210043330985984000000/1015 sek. = 15511210043 sek. = = 179528 dni = 491 lat informatyka +

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 3 Trudno sprawdzić, jak dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy. Zły wybór Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań: Metoda zachłanna – najbliższy sąsiad – mogą być bardzo złe Meta-heurystyki: algorytmy genetyczne – krzyżowanie i mutowanie rozwiązań algorytmy mrówkowe – modelowanie feromonów informatyka +

Krótkie kody – kompresja Kody: ASCII a: 01100001 b: 01100010 d: 01101100 k: 01101011 r: 01110010 Huffman 0 1110 110 1111 10 abrakadabra 01110100111101100111010 88 znaków 24 znaki

Krótkie kody – kompresja Drzewo Huffmana Litery i ich częstości Kody Krótsze dla często występujących liter Algorytm Huffmana: Powtarzaj, aż zostanie jedna liczba: Wybierz dwie najmniejsze częstości i dodaj ich sumę do ciągu M.M. Sysło

Reprezentacje grafów w komputerze M.M. Sysło

Najkrótsze drogi M.M. Sysło

Najkrótsze drzewa M.M. Sysło

Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów Konkluzja Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) [Ralf Gomory, IBM]

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna): Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera. Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): Czy wszystko można policzyć na komputerze? Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu informacji. Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw informatyka +

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach: Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje  Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów: Przegląd podstawowych algorytmów Struktury danych i ich wykorzystanie Zaawansowane algorytmy Tendencje – Wykłady  Algorytmy w Internecie, K. Diks Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło informatyka +