FRAKTALE   „Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma. W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo. Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat. Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry, wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy. I już nigdy nie będą te same."    Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal? Fraktal, według definicji encyklopedycznej to obiekt, dla którego wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od wymiaru topologicznego. Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu).

Co to jest fraktal? Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie Struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane w przyrodzie. Przykładem mogą być :

Krystaliczne dendryty (np. płatki śniegu)

System naczyń krwionośnych

Systemy wodne rzek

Błyskawica

Kwiat kalafiora

Generowanie fraktali   Fraktale generuje się za pomocą komputera. Owszem można je tworzyć przy pomocy ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne i dosyć trudne.  

Zastosowanie fraktali Fraktale nie służą jedynie generowaniu złożonych kolorowych obrazów po to, by zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne. Za ich pomocą modeluje się różnorakie zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie brzegowe lądów, chmur czy systemy komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali Bada się też ewolucję wszechświata, galaktyk i systemów słonecznych. Teoria fraktali wykorzystywana jest również do tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się chaotyczne procesy w dynamicznych nieliniowych układach fizycznych. Pomaga ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Przykłady fraktali w matematyce

Zbiór Cantora Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883 roku.

Konstrukcja zbioru Cantora Georg Cantor zaproponował prostą konstrukcję, w wyniku której otrzymuje się zbiór nazwany jego imieniem. Odcinek [0,1] dzielimy na trzy równe części i usuwamy środkową. Z pozostałymi dwoma odcinkami postępujemy analogicznie. W konsekwencji takiego działania w granicy nieskończonej ilości kroków powstaje zbiór punktów Cantora.

Trójkat Sierpinskiego , ‘ Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego Krok po kroku; budowa trójkąta.

Trójkąt Sierpińskiego 1. Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np.1. Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne. Usuwamy środkowy trójkąt.

Trójkąt Sierpińskiego 2. Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty.

Trójkąt Sierpińskiego 3. W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po kolejnych krokach, trójkąt będzie miał coraz więcej dziur, którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

z pozostałych ośmiu kwadratów. Dywan Sierpinskiego , Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Dywan Sierpińskiego Krok po kroku; budowa dywanu.

Dywan Sierpińskiego 1. Najpierw rysujemy kwadrat, który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy kwadrat.

Dywan Sierpińskiego 2. Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy środkowe kwadraciki.

Dywan Sierpińskiego 3. W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur, którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

_ Krzywa i platek Kocha Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha.

Krzywa Kocha

Krzywa Kocha Krok po kroku; budowa krzywej

Krzywa Kocha 1. Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem. Następnie dzieli się ją na trzy równe części. Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny i usuwa jego podstawę. To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

Krzywa Kocha 2. Ten sam algorytm wykonuje się na każdym z powstałych odcinków.

Krzywa Kocha 3. Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone, otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie Drzewo pitagorejskie to konstrukcja geometryczna, która składa się z trójkątów prostokątnych i kwadratów, zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego.

Drzewo Pitagorejskie

Drzewo Pitagorejskie 1. W pierwszym kroku rysujemy kwadrat. Następnie trójkąt prostokątny równoramienny, którego przeciwprostokątna jest jednym z boków kwadratu.

Drzewo Pitagorejskie 2. W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta konstruujemy kwadrat, z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

Drzewo Pitagorejskie 3. Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem. Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego – w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos": "Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest to, że niektóre fraktale są bardzo ładne i sprawiają wiele radości tym, którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna _______________________ -> fraktale -> gra w chaos paproć Barnsleya dywan Sierpińskiego układ nieliniowy trójkąt Sierpińskiego punkt stały system funkcji iterowanych generowanie gra w chaos drzewo Pitagorasa Atraktor układ deterministyczny fraktal

Prezentacja multimedialna __________ Joanna Swatek Andżelika Hołubek Karolina Radomska

KONIEC