Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół numer 2 w Stargardzie Szczecińskim ID grupy: 97/34_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Matematyka w testach IQ Semestr IV /rok szkolny: 2011/2012

Matematyka w testach IQ

Testy inteligencji

Co to jest test inteligencji? test w założeniach mierzący poziom inteligencji. Rozkład wyników testu jest w przybliżeniu opisywany krzywą Gaussa (tzw. "krzywa dzwonowa"). Test jest tak konstruowany, aby średni dla danej populacji (kraj, grupa wiekowa) wynik testu wynosił 100 jednostek, natomiast średni rozrzut (σ) statystyczny wyników wynosił 15 (w innych skalach 12). Oznacza to, że wynik od 85 do 115 wskazuje na przeciętną inteligencję (ok. 68% wszystkich wyników w populacji); wynik powyżej 115 wskazuje na inteligencję wyższą niż przeciętna, zaś poniżej 85 na inteligencję niższą niż przeciętna. Testy mierzące IQ (II - Iloraz Inteligencji) muszą być od czasu do czasu kalibrowane od nowa, ponieważ wykonanie różnych zadań zmienia się ze zmianami kulturowymi (np. zmianie ulega znajomość różnych słów), a nadto w krajach rozwiniętych istnieje stała tendencja do wzrastania średniego ilorazu inteligencji całej populacji (tzw. efekt Flynna).

Współczesne testy inteligencji Współczesne testy IQ zazwyczaj dobrze potrafią ustalić poziom wykonania zdefiniowanych umiejętności kognitywnych (sprawność językowa, arytmetyczna, skojarzeniowa, analityczna i przestrzenna) w formie krótkich zadań, przy czym zadania badające określone umiejętności są przemieszane tak, aby nie nużyć badanych osób. Testy pozwalają zazwyczaj zmierzyć poziom umiejętności w każdym z tych bloków sprawności osobno — zaś wartość IQ jest obliczana jako ich wypadkowa. Często stawia się zarzut, że testy IQ mierzą właściwie to, co ich twórcy uznają za inteligencję i że inaczej skonstruowany test może dać odmienny wynik. Jednakże liczne badania wykazały, że pomiary wykonywane przy pomocy różnych testów dają zaskakująco zbieżne rezultaty. Testy, w których występują zadania, które nie są nastawione na ściśle określone sprawności, lecz starają się badać ich kombinacje, dają podobne wartości IQ do testów tradycyjnych. Przeciwnicy testów IQ bardzo często podnoszą argument, że z praktycznego punktu widzenia dużo ważniejsze są konkretne zdolności umysłowe ludzi, których pomiar mogłyby dawać ich „profil intelektualnych zdolności” przydatny przy np. wyborze szkoły, zawodu. Jednakże badania testami IQ wskazują, że poza nielicznymi przypadkami, zwykle dotyczącymi osób o szczególnie wysokim lub niskim ilorazie ogólnym, wynik pomiaru wszystkich poszczególnych sprawności jest bardzo zbliżony do średniego IQ.

Kiedy zaczęto używać testów Skąd się wzięła ta mania mierzenia inteligencji? W ostatniej dekadzie XIX wieku uczeni zaczęli się zastanawiać, czy ludzki intelekt można określić liczbami, czy może jest on cechą nie podlegającą pomiarom, tak jak poczucie humoru, umiejętność nawiązywania kontaktów z innymi ludźmi, czy umiejętność pisania ciekawych artykułów. Wtedy to powstały pierwsze znane nauce testy IQ. W dzisiejszych czasach powiedzielibyśmy, że badały one raczej wiedzę ogólną i umiejętności matematyczne, a nie inteligencję, ale jak na XIX wieczne standardy były one niezwykle nowatorskie. Niestety, możliwość ich wykonania i sprawdzenia własnego ilorazu inteligencji miała tylko niewielka grupa badanych osób. 

Skala Inteligencji Bineta-Simona Prawzorem współczesnych testów IQ jest Skala Inteligencji Bineta-Simona (którego późniejszą wersją jest test Stanford-Bineta) stworzona przez twórcę pojęcia wieku umysłowego — Alfreda Bineta w 1905. Pierwotnym celem tego testu było wyszukiwanie uczniów w szkołach podstawowych, którzy wymagają szczególnej pomocy w nauczaniu. Założenie Bineta było takie, że słaby wynik IQ nie wskazuje na niemożność osiągnięcia dobrych wyników w nauce, lecz osoby takie wymagają dodatkowej, specjalistycznej pomocy i wsparcia w procesie edukacji.

Krytyka testów IQ Wielu psychologów uważa, że wszelkie testy psychometryczne dają zafałszowany i nadmiernie uproszczony obraz umiejętności umysłowych i emocjonalnych ludzi, sztucznie ich selekcjonując na „lepszych” i „gorszych”. Np.: w książce The Mismeasure of Man profesor Stephen Jay Gould poddał druzgocącej krytyce podstawy naukowe testów psychometrycznych i dowodził, że są one wręcz rodzajem „rasizmu naukowego”, zwłaszcza, jeśli są stosowane, aby udowodnić „wyższość” jakiejś grupy społecznej nad innymi (np.: wyższość mężczyzn nad kobietami, czy „rasy żółtej” nad „białą”). (zob. norma (psychologia)). Z podobnych powodów w ZSRR od 1936 stosowanie testów było zakazane. Jakkolwiek same testy IQ są ciągle zagadnieniem bardzo kontrowersyjnym z naukowego i społecznego punktu widzenia, są one wciąż dość szeroko stosowane w badaniach psychologicznych i socjologicznych, głównie z braku innych, lepszych narzędzi pomiarowych. Naukowcy stosujący je do badań mają zwykle świadomość ich braków, natomiast inni ludzie mają często tendencję do przeceniania uzyskiwanych dzięki nim wyników.

Ciąg dalszy krytyki Zwolennicy stosowania testów IQ wykazują, że istnieje wiele badań wskazujących na interesujące korelacje między ilorazem inteligencji mierzonym tymi testami a rozmaitymi danymi statystycznymi, które to korelacje inaczej nie zostałyby nigdy odkryte. Np.: Badania przeprowadzone w Szkocji dowiodły, że ludzie z IQ niższym niż 85 mają o 37% mniejszą szansę dożycia do 76 roku życia niż ludzie o IQ wyższym niż 115. Badania przeprowadzone przez Charlesa Murraya w USA dowiodły silnej, pozytywnej korelacji między wysokością rocznych dochodów i poziomem IQ. Kontrowersyjne badania zatytułowane IQ i zamożność narodów zdają się potwierdzać, że istnieje ogólna pozytywna zależność między dochodem narodowym na osobę a średnim IQ ludności danego kraju. Może to jednak wynikać zarówno z faktu, że „inteligentniejsze” narody lepiej sobie radzą, jak i z faktu, że w bogatszych krajach istnieje więcej impulsów (lepsza edukacja, łatwiejszy dostęp do źródeł informacji, więcej wolnego czasu) generujących wyższe IQ ludności.

Testy IQ w Internecie Istnieje wiele stron WWW z testami IQ w Internecie i są one dość popularne, jednak ich faktyczna użyteczność i wiarygodność jest bardzo kontrowersyjna. W przypadku tych quasi-testów można mówić wyłącznie o ich tzw. trafności fasadowej - treść pozycji testowych (pytań) wskazuje na to co jest "badane". W rzeczywistości takie testy mają nikłą wartość psychometryczną, zatem nie uprawniają do wyciągania poprawnych wniosków. Prawdziwe, aktualnie dobrze skalibrowane dla badanej populacji testy IQ nigdy nie są publikowane w ogólnodostępnych mediach, ze względu na to, że ich poznanie przez ogół społeczeństwa zakłócałoby uzyskiwane w niektórych zadaniach wyniki. Możliwość „ćwiczenia” testu przed przystąpieniem do niego zwiększa bowiem szansę na uzyskanie sztucznie lepszego wyniku. Stąd testy dostępne w internecie (a także w formie ogólnie dostępnych programów, lub drukowane w ogólnie dostępnych czasopismach) są albo przestarzałymi testami nieuwzględniającymi efektu Flynna, które rozmaitymi „kanałami” przedostały się do opinii publicznej, albo są wymyślone przez mniej lub bardziej domorosłych psychologów-amatorów, którzy chcą na nich po prostu zarobić – np. poprzez oferowanie płatnych certyfikatów poziomu inteligencji, czy produkowanie atrakcyjnych programów telewizyjnych przyciągających dużo reklamodawców.

Kraje o najwyższym IQ

IQ znanych osób Bobby Fischer Isaac Newton Albert Einstein Szachista IQ: 190 Fizyk-teoretyk IQ: 187 IQ: 160 Stephen Hawking Bill Gates Mikołaj Kopernik IQ: 160 IQ: 160 IQ: 160

Zagadki logiczne Najpierw pomyśl o kimś, kto żegna cię czule, Potem się zastanów, czego ci brakuje, Gdy mówisz o chłopcu, że kogoś całuje. Wreszcie dodaj do tego sam końca początek, Albo koniec początku. Już złapałeś wątek. Bo gdy to połączysz _ już spokojna głowa, Wyjdzie ci stworzenie, chociaż nie osoba, Którego byś nigdy nie chciał pocałować.

Odpowiedzią jest pająk ale czy wszyscy wiedzą dlaczego? gdy się żegnasz mówisz PA gdy mówisz o chłopcu gdy kogoś całuje brakuje JĄ bo ją powinien całować Koniec - początek końca to K lub począteK - koniec początku to również K no i PAJĄK a to mało kto chciałby pocałować :D

Wstaw w każdą kratkę poniżej jedną z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Mianowniki traktuj jak liczby dwucyfrowe. W każdej kratce ma znajdować się jedna i tylko jedna cyfra. Każdej cyfry można użyć tylko jeden raz                                                                                                           

Odpowiedź: 5/34 + 9/12 + 7/68 Bo: 5/34 + 9/12 + 7/68=10/68+51/68+7/68=68/68=1

Łamigłówki rysunkowe Przełóż jedną i tylko jedną zapałkę aby równanie stało się prawdziwe. Przekreślenie znaku równości nie jest poprawnym rozwiązaniem. Nie wolno dokładać, łamać ani zabierać zapałek.

Odpowiedź: Zabieram pionową zapałkę tworzącą znak + i dokładam ją do 6, tworząc 8 8-4=4 Zrobić z 6 liczbę 0. 0+4=4

Ile trójkątów znajduje się na obrazku?

Odpowiedź: 39

Jaka liczba powinna znaleźć się w miejscu znaku zapytania: Zagadki liczbowe Jaka liczba powinna znaleźć się w miejscu znaku zapytania: 7    4    5    3 1    6    3    7 3    8    1    7 6    1    8    ?

Odpowiedź: 2 ,bo co drugi rząd i kolumna daje sumę 19 i 17.

Pewna grupa wędrowców podróżuje przez krainę Logiki&Absurdu Pewna grupa wędrowców podróżuje przez krainę Logiki&Absurdu. Od jakiegoś czasu wiedzą, ze powinni porzucić trasę na północ wzdłóż wybrzeża i zapuścić się w głąb lądu. Nie znajdują jednak żadnej wskazówki. Do czasu, gdy nagle dostrzegają na plaży muszlę:                                                                                           a na niej wyryty tajemniczy napis: vademecum011235813213455∅ Wiedzą, ze każda zagadka jest rozwiązywalna. Nawet ta.  W którą stronę świata po krótkim namyśle wyruszyli wędrowcy?

Na muszli zapisano ciąg Fibonacciego Na muszli zapisano ciąg Fibonacciego. Sama muszka jest doskonałym przykładem takiego ciągu występującego w przyrodzie a grecka litera phi użyta do określenia kąta - ostatniego elementu ciągu jest przy okazji używana do kreślenia "złotej proporcji" czyli mnożnika do tworzenia kolejnych elementów ciągu Fibonacciego. Ostatnie dwa elementy ciągu zapisanego na muszli to 34 i 55 ich suma - kolejny element ciągu to oczywiście 89. Wędrowcy zatem wyruszyli na wschód.

ZADANIE PIERWSZE

Zasadź 10 drzew, w pięciu rzędach po 4 drzewa. Rozwiązaniem jest następujący układ doniczek (doniczką jest żółte kółko z czarnym okręgiem):

Jest to pentagram, co ilustruje poniższy rysunek:

ZADANIE DRUGIE

Jak dysponując dwoma naczyniami o pojemności 5 litrów i 3 litry odmierzyć dokładnie 4 litry wody? Sposób I Nalewamy do naczynia 5-litrowego do pełna. Przelewamy z naczynia 5-litrowego do naczynia 3-litrowego tak, że w 5-litrowym zostaje nam dokładnie 2 litry. Wylewamy wodę z naczynia 3-litrowego. 2 litry będące w naczyniu 5-litrowym przelewamy do naczynia 3-litrowego. Do naczynia 5-litrowego nalewamy pełno wody i przelewamy ile się da wody do naczynia 3-litrowego - a da się 1 litr, czyli w naczyniu 5-litrowym zostaje 1 litr wody. Sposób II Nalewamy 3 litry do naczynia 3-litrowego. Przelewamy całość do naczynia 5-litrowego. Znowu napełniamy naczynie 3-litrowe. Przelewamy ile się da do naczynia 5-litrowego. Da się 2 litry więc w 3 litrowym zostanie litr a 5-litrowy jest pełny. Opróżniamy 5-litrowy, przelewamy litr z naczynia 3-ltriowego do naczynia 5-litrowego. Nalewamy do naczynia 3-litrowego pełno i przelewamy do naczynia 5-litrowego (gdzie jest litr). Otrzymujemy 4 litry.

ZADANIE TRZECIE

Stary baca miał 3 synów. Gdy czuł, że zbliża się jego śmierć, rzekł do synów: "Jestem biedny, zostało mi tylko tych 19 owiec. Ty Andrzeju weź połowę owiec, Ty Bartłomieju czwartą część, zaś Tobie Czarku - mój najmłodszy, daruję piątą część moich owiec." Stary baca zmarł. Jego synowie głowili się zaś jak podzielić spadek po ojcu. Nie chcieli przecież zabijać owieczek i dzielić je na kawałeczki. Udali się więc do sąsiada po radę. Następnego dnia przyszedł sąsiad do trzech braci i szybko rozwiązał ich problem. Potrafisz się wcielić w rolę sąsiada i rozwiązać problem trzech braci?

ROZWIĄZANIE

Ile owieczek otrzymał Andrzej (1/2) * 20 = 10 (owieczek) Co zrobił sąsiad? Sąsiad przyprowadził ze sobą jeszcze jedną owieczkę i podarował ją braciom. Wówczas dysponowali oni 20 owieczkami, zaś 20 dzieli się przez 2 oraz 4 i 5. Ile owieczek otrzymał Andrzej (1/2) * 20 = 10 (owieczek) Ile owieczek otrzymał Bartłomiej (1/4) * 20 = 5 (owieczek) Ile owieczek otrzymał Czarek (1/5) * 20 = 4 (owieczek) Sąsiad nie traci swojej owieczki Łącznie więc bracia rozdzielili między siebie 10 + 5 + 4 = 19 owieczek. Została jeszcze jedna owieczka, którą sąsiad mógł odebrać - zabrał ze sobą i wyszedł bez straty.

Ojciec nie dzieli całego majątku Gdzie tkwi tajemnica? Ojciec nie dzieli całego majątku Przed wszystkim zauważmy, że ojciec nie rozdysponował całego majątku. Rozdzielił on tylko (1/2) + (1/4) + (1/5) = 0,95 swojego majątku. Zatem oryginalnie - przyjmując 19 owieczek i przyjmując możliwość krajania owieczek - bracia nie mogli podzielić wszystkich 19 owieczek tylko między siebie. Cos musiało zostać. Nie krójmy owieczek! Drugi problem to fakt, że 19 nie dzieli się przez 2, 4 oraz 5. Natomiast liczba 20 dzieli się przez wszystkie te liczby (2, 4, 5) i ten fakt wykorzystał sąsiad. 0,05 z 20 daje 1 Ponieważ synowie otrzymali w sumie (1/2) + (1/4) + (1/5) = 0,95 z 20 owieczek, więc pozostałe 0,05 z 20 (równe jeden) zostało dla sąsiada - mógł on odebrać swoją jedną owieczka. Kto zyskuje, kto traci? Przy nowym podziale ktoś mógł zyskać, ktoś mógł stracić: Andrzej Oryginalnie otrzymywał 1/2 z 19 owieczek czyli 9,5 owieczki W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/2 z 20 owieczek czyli 10 owieczek Zyskał 0,5 owieczki Bartłomiej Oryginalnie otrzymywał 1/4 z 19 owieczek czyli 4,75 owieczki W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/4 z 20 owieczek czyli 5 owieczek Zyskał 0,25 owieczki Czarek Oryginalnie otrzymywał 1/5 z 19 owieczek czyli 3,8 owieczki W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/5 z 20 owieczek czyli 4 owieczki Zyskał 0,2 owieczki

Czy możliwe by wszyscy zyskali? Jak więc to możliwe, że każdy z synów zyskał na podziale według pomysłu sąsiada i podzielono tylko 19 owieczek? Ojciec nie podzielił całego swojego majątku Pamiętajmy, że baca nie rozdysponował całego majątku. Baca rozdysponował tylko 0,95 swoich 19 owieczek. 0,05 z 19 owieczek zostało nie rozdysponowane. Sąsiad dzieli to, czego nie podzielił ojciec Sąsiad rozdzielił niedopowiedziane przez ojca 0,05 z 19 owieczek między synów, tak aby wszystkie owieczki zostały w całości. Stąd każdy z synów dostał trochę więcej - tyle ile brakowało mu do pełnej owieczki. Sąsiad nie rozdaje ze swojego Sąsiad dawał nie ze swojego - tylko z tego czego nie rozdał ojciec - z 0,05 majątku. Genialny psycholog-dobrodziej czy matematyczny szarlatan? Tak więc dodatkowa owieczka nie była darem dla synów - była tylko trikiem który pozwalał mu uniknąć powyższych skomplikowanych rachunków i być może rodzinnej kłótni. Dzięki temu, wszyscy rozstali się w pięknej przyjacielskiej atmosferze, zaś sąsiad wyszedł na tego, który bezinteresownie podarował trzem braciom owieczkę...

ZADANIE CZWARTE

Po wielu latach spotkało w pewnej kawiarni dwóch studentów matematyki Po wielu latach spotkało w pewnej kawiarni dwóch studentów matematyki. Gdy rozmowa zeszła na temat dzieci, jeden z nich pochwalił się, że ma trzy córki. Wieku nie podał wprost, lecz jak przystało na matematyka z poczuciem humoru rzekł: - Iloczyn wieku moich córek wynosi 36. - Za mało danych bym odgadł wiek Twoich córek - odrzekł kolega. - Suma wieku moich córek jest równa liczbie stolików w tej kawiarni - dodał tata matematyk. - Ciągle za mało danych - odpowiedział kolega; - Masz rację. Wiedz zatem, że najstarsza nie jest blondynką - dopowiedział ojciec trzech córek. I wówczas jego kolega bezbłędnie wymienił wiek 3 córek swojego przyjaciela ze studenckiej ławy. Ile lat mają córki matematyka?

ROZWIĄZANIE

L.P. Wiek I córki Wiek II córki Wiek III córki Iloczyn lat córek Czy dyskusja była bezsensowna? Dyskusja wydaje się na pierwszy rzut oka bezsensowna. Jednak jest pewien konkret, od którego możemy zacząć. Iloczyn lat córek wynosi 36. Ile lat mogą mieć córki? Trójek liczb, które pomnożone przez siebie dają 36 jest niebyt dużo. Możemy je wypisać. Ponieważ w dalszej części rozmowy przyjaciół występuje również suma wieku córek, więc wypiszemy również dla każdej trójki liczb ich sumę. Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że córka I jest najmłodsza, zaś córka III najstarsza. Wówczas córki mogą mieć następującą liczbę lat: L.P. Wiek I córki Wiek II córki Wiek III córki Iloczyn lat córek Suma lat córek 1) 1 36 38 2) 2 18 21 3) 3 12 16 4) 4 9 14 5) 6 13 6) 7) 11 8) 10

Czy iloczyn liczby lat córek jest wystarczającą informacją ? Oczywiste jest, że iloczyn wieku córek nie wystarcza do zgadnięcia ile lat ma każda z nich. Różnych kombinacji wieku córek jest 8, dlatego też kolega stwierdził oczywistą rzecz: "Za mało danych!". Czy dodatkowa informacja w postaci sumy liczby lat córek wystarcza? Ojciec córek wymienił wówczas nie-wprost sumę wieku swoich córek (dowcipnie wskazał na liczbę stolików w kawiarni). Nie zmienia to postaci rzeczy - my nie znamy sumy wieku córek. Jednak na szczęście dla nas ta informacja jest również niewystarczająca dla kolegi ojca córek. Dlaczego kolega nie może odgadnąć wieku córek znając także sumę lat córek? Zauważmy, że informacja o sumie lat córek byłaby wystarczająca w każdym przypadku oprócz sumy wieku dziewczynek równej 13. Dzieje się tak dlatego, że mamy dwie kombinacje wieku dziewczynek dające sumę 13: 1 6 6 (wiersz 5) oraz 2 2 9 (wiersz 6). Skoro kolega powiedział do ojca dziewczynek "Ciągle za mało danych" to oznacza, że musiał to być ten przypadek - tylko wówczas kolega mógł mieć za mało danych by odgadnąć wiek córek. Ile lat mają córki? Tata-matematyk wyznaje wówczas, że najstarsza córka nie jest blondynką. Oznacza to, że wyklucza sytuację, gdy dwie córki są najstarsze (są bliźniaczkami), a więc wyklucza sytuację, gdy wiek córek wynosi 1 6 6 (wiersz 5). Zostaje nam juz tylko jedna kombinacja wieku córek z wiersza 6): 2 2 9. Tak więc, córki dowcipnego taty-matematyka mają 2 latka, 2 latka i 9 lat.

ZADANIE PIĄTE

Staszek, Tadek i Wiktor postanowili wspólnie kupić prezent urodzinowy dla swojego kolegi Zenka. Wybrali klocki, które kosztowały w sklepie 55 złotych. Każdy z nich dał Pani ekspedientce banknot 20-złotowy. Pani miała bardzo mało monet - dysponowała tylko trzema monetami 1-złotowymi. Chłopcy zrezygnowali z pozostałych 2 złotych reszty i każdy z nich wziął złotówkę reszty. Jednak po wyjściu ze sklepu chłopcy się zreflektowali, że coś jest nie tak: Każdy z nich miał banknot 20-złotowy, czyli razem wszystkich pieniążków powinno być 60 złotych. Licząc te 60 złotych chłopcy stwierdzili, że każdy z nich zapłacił 19 złotych za prezent (dał banknot 20 złotowy i otrzymał złotówkę reszty) - czyli razem trzej chłopcy wyłożyli 57 złotych na prezent. Pani ekspedientka zatrzymała sobie 2 złote, co daje 59 złotych. Gdzie więc podziała się ostatnia złotówka z 60 złotych?

ROZWIĄZANIE

Jak rozkłada się 60 złotych? Policzmy jeszcze raz Każdy z chłopców wyłożył 19 złotych, czyli razem prezent kosztował ich 57 złotych. Z tych 57 złotych, 55 złotych to prezent, zaś 2 złote to darowana reszta Pani ekspedientce. Jak rozkłada się 60 złotych? 55 złotych - prezent 2 złote - darowana reszta dla Pani ekspedientki 3 złote - reszta wydana chłopcom Gdzie jest błąd w rozumowaniu chłopców? Prześledźmy jeszcze raz rozumowanie chłopców. W treści zadania jest powiedziane: ------------------- Każdy z nich miał banknot 20-złotowy, czyli razem wszystkich pieniążków powinno być 60 złotych. Licząc te 60 złotych chłopcy stwierdzili, że każdy z nich zapłacił 19 złotych za prezent (dał banknot 20 złotowy i otrzymał złotówkę reszty) - czyli razem trzej chłopcy wyłożyli 57 złotych na prezent. Pani ekspedientka zatrzymała sobie 2 złote, co daje 59 złotych. //Tu jest błąd.// ------------------- Dodawali zamiast odejmować Błędem jest dodanie 2 złotych do 57 złotych, bo to nie ma żadnego sensu. 57 złotych to kwota wydana na prezent (55 złotych) i darowana reszta Pani ekspedientce (2 złote). Sens mogłoby mieć odjęcie 2 złotych (darowanej reszty) od 57 złotych (wyłożonych pieniążków) by obliczyć cenę prezentu. Gdzie jest 60 złotych? Jeśli chcemy dodać coś do wyłożonych pieniążków (57 złotych) to, możemy dodać resztę, jaką otrzymali chłopcy (3 złote) i wówczas otrzymamy 60 złotych - całość kwoty, jaką dysponowali początkowo chłopcy i jakiej to kwoty próbowali się doliczyć.

ZADANIE SZÓSTE

Pewien matematyk siedząc na ławce w parku, mimowolnie był świadkiem rozmowy dwóch mężczyzn: - Ile masz dzieci - pyta pierwszy rozmówca? - Trójkę - odpowiada drugi rozmówca. - Ładna liczba. Powiedz mi, ile maja lat? - dopytuje się pierwszy mężczyzna? - Najmłodsze dziecko to śliczna Ania. W sumie mają... Niestety, matematyk nie usłyszał ile lat łącznie mają dzieci drugiego mężczyzny. Słowa zagłuszył krzyk jednego z bawiących się dzieci. Gdy nastała cisza, pierwszy mężczyzna przemyślawszy sprawę stwierdził: - Za mało danych by odgadnąć wiek Twoich dzieci. - A rzeczywiście, masz rację - ze skruchą przyznał ojciec. - Powiem Ci zatem, że mój najstarszy syn uwielbia grejpfruty. I w tym momencie rozległ się niemiłosierny wrzask kolejnego dziecka zagłuszając kompletnie dalszą rozmowę. Matematyk wstał z ławki i wolnym krokiem skierował się w głąb parku. Wiedział już, ile lat ma każde z dzieci drugiego mężczyzny. Czy Ty również potrafisz wymienić ich wiek?

ROZWIĄZANIE

Zwariowana rozmowa Rozmowa jest zwariowana i nie ma na pozór sensu. Przynajmniej dla nas. Nie znamy żadnej liczby, nie mamy żadnej danej od której moglibyśmy zacząć. Sprawdzamy wszystkie przypadki Skoro nic nie wiemy, spróbujmy sprawdzić wszystkie możliwe przypadki począwszy do najmniejszej sumy. Będziemy sprawdzać, czy kolejne liczby oznaczające sumę lat dzieci spełniają warunki zadania. Dodatkowo, wiek dzieci musi być liczbą całkowitą i każde z dzieci musi mieć przynajmniej rok (jest już na świecie). Z tego wynika, że najmniejsza sensowna suma lat trójki dzieci to 3 (mniejsze suma lat oznaczałyby wiek któregoś z dzieci równy 0) Suma lat dzieci równa 3 Możliwe kombinacje:     1+1+1 = 3 Odrzucamy gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania) więc nie mogą to być trojaczki. Suma lat dzieci równa 4 Możliwe kombinacje:     1+1+2 = 4 Odrzucamy gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania), więc dwójka młodszych dzieci nie może być bliźniakami w wieku 1 rok.

Suma lat dzieci równa 5 Możliwe kombinacje:     1+2+2 = 4     1+1+3 = 4 Kombinację wieku dzieci 1 rok, 1rok, 2 lata odrzucamy od razu gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania), więc dwójka młodszych dzieci nie może być bliźniakami w wieku 1 rok. Zostaje nam kombinacja 1 rok, 2 lata, 2 lata. Ta kombinacja wieku dzieci na pierwszy rzut oka pasuje. Jednak jest to jedna jedyna możliwość. Więc gdyby drugi rozmówca wymienił sumę swoich lat równą 5 to wówczas pierwszy mężczyzna nie zadawałby dodatkowego pytania, tylko od razu podał ile lat ma każde z dzieci. Tak więc możliwości rozkładu wieku trójki dzieci dla podanej sumy (po wyeliminowaniu młodszych bliźniaków) musi być więcej niż jedna. Suma lat dzieci równa 6 Możliwe kombinacje:     1+1+4 = 6 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)     1+2+3 = 6     2+2+2 = 6 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być trojaczków - najmłodsza jest jedna Ania) Znów zostaje nam tylko jedna kombinacja (rok, dwa lata, trzy lata). Gdyby to był szukany wiek dzieci, to wówczas nie było powodów by pierwszy rozmówca stwierdzał, że za mało danych. Skoro nie mógł zgadnąć wieku dzieci, to musi być więcej niż jedna kombinacja wieku dzieci o danej sumie lat i najmłodszym dziecku nie będącym bliźniakiem.

Suma lat dzieci równa 7 Możliwe kombinacje:     1+1+5 = 7 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)     1+2+4 = 7     1+3+3 = 7     2+2+3 = 7 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania) Ta sytuacja pasuje do zadania. Po wyeliminowaniu wieku dzieci 1,1,5 oraz 2,2,3 (nie pasują do faktu, że najmłodszym dzieckiem jest Ania) zostają nam 2 kombinacje: 1,2,4 oraz 1,3,3. Pierwszy rozmówca stwierdza "Za mało danych by odgadnąć wiek Twoich dzieci." co oznacza, że nie wie którą z dwóch możliwości wybrać. I tu drugi mężczyzna dopowiada, że najstarszy syn uwielbia grejpfruty, a więc dwójka najstarszych dzieci nie jest bliźniakami czyli odrzucamy kombinacje wieku dzieci 1,3,3. Zostaje nam następująca kombinacja wieku dzieci: rok (śliczna Ania), dwa lata, cztery lata (wielbiciel grejpfrutów) - co stanowi rozwiązanie zadania. Czy suma lat dzieci może być 8? Wówczas otrzymamy następujące kombinacje wieku dzieci:     1+1+6 = 8 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)     1+2+5 = 8     1+3+4 = 8     2+2+4 = 8 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)     2+3+3 = 8 Jak widać, po eliminacji najmłodszych (1,1,6 oraz 2,2,4) i najstarszych (2,3,3) bliźniaków zostają nam 2 pary spełniające wszystkie warunki zadania: 1,2,5 oraz 1,3,4. W tej sytuacji pierwszy rozmówca nie mógłby wskazać wieku dzieci drugiego mężczyzny.

Czy suma lat dzieci może być 9 lub więcej? Podobnie otrzymujemy, gdyby podana przez drugiego rozmówcę suma lat dzieci była 9 lub więcej. wówczas kombinacji wieku dzieci spełniających warunki zadania byłoby jeszcze więcej i pierwszy rozmówca nie podałby wieku dzieci. Wiek dzieci drugiego rozmówcy Tak więc drugi rozmówca musiał wymienić jako sumę wieku swoich dzieci liczbę 7, zaś wiek dzieci wynosi rok, 2 lata i 4 lata.

ZADANIE SIÓDME

Masz dwa sznurki. Każdy sznurek spala się w ciągu godziny choć nierównomiernie - niektóre części sznurka palą się szybciej inne wolniej. Jak odmierzyć przy ich pomocy 15 minut? Rozwiązanie zadania Nazwijmy pierwszy sznurek sznurkiem A, zaś drugi sznurek sznurkiem B. Zapalamy obydwa końce sznurka A oraz jeden koniec sznurka B Sznurek A wypali się po 30 minutach gdyż palą się oba końce sznurka A na raz W tym czasie wypali się 30 minut sznurka B W chwili gdy sznurek A wypali się do końca, zapalamy drugi koniec sznurka B. Sznurkowi B zostało 30 minut palenia. Jednak ponieważ palą się oba końce sznurka B na raz, więc będą się palić nie 30 minut tylko 15 minut. Właśnie te 15 minut które odmierzamy.

Wybrane łamigłówki rysunkowe

TRÓJKĄT Z MONET Poniższy trójkąt jest ułożony z 10 monet. Ile co najmniej monet trzeba przesunąć, żeby powstał trójkąt skierowany W dół?

Odpowiedź

PODZIAŁ Trzema liniami równej długości podziel koło na 4 części o równych polach.

Odpowiedź

PODZIAŁ Poniższa figura to ośmiokąt z wyciętym ośmiokątnym otworem. Rozetnij ją na 8 części, z których można ułożyć ośmioramienną gwiazdę z ośmiokątnym otworem.

Odpowiedź

DWÓJKI Przesadź te 25 kwiatów w taki sposób, by dostać 12 rzędów po 5 kwiatów w rzędzie.

Odpowiedź

Wybrane łamigłówki logiczne

URLOP Podczas mego ostatniego urlopu padało dziewięć dni, lecz kiedy padało przed południem, to po południu nie padało, a każde deszczowe popołudnie było poprzedzone pięknym przedpołudniem. W sumie miałem siedem pięknych przedpołudni i osiem pięknych popołudni. Ile dni trwał urlop?

Odpowiedź Padało - 9 dni Piękne przed południe – 7 dni Piękne po południe – 8dni W sumie dni mogło by być 15, ale w ciągu 9 dni padało. Czyli zostaje nam razem 6 przed południ i po południ, w których nie padało. Dzień składa się z obu tych pór więc mamy 3 dni w których nie padało. 9+3=12. Urlop trwał 12 dni.

URLOP Oto informacje o trzech przyjaciołach: Każdy z nich ma dorosłego syna, lecz wśród ich sześciorga dzieci jest tylko jedna córka. Pan Babacki ma o jedno dziecko mniej niż pan Czesław. Pan Bolesław ma tyle dzieci, ile mają łącznie pan Adam i pan Czesław. Pan Cabacki ma tylu synów, ilu ma pan Babacki. jak ma na imię pan Abacki i ilu ma synów?

Odpowiedź Pan Bolesław Abacki ma 3 synów, Pan Adam Babacki ma syna, a pan Czesław Cabacki ma syna i córkę.

CHOINKA Oto Choinka ułożona z kompletu pentomina. Czy można ułożyć taką choinkę (ten sam kształt) w inny sposób?

Odpowiedź O to jedno z wielu rozwiązań.

DWÓJKI Przy użyciu trzech trójek oraz znaków działań matematycznych mogę wyrazić różne liczby naturalne, np. 4 = 3 + 3 : 3, 12 = 3 * 3 + 3. Proszę podać WSZYSTKIE liczby naturalne, które można wyrazić za pomocą trzech dwójek, używając następujących znaków działań: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania.

Odpowiedź 1=2-2:2 2=2+2-2 3=2-2:2 4=2*pierwiastek z (2+2) 6-2+2+2 8=2*2*2 11 = 22 : 2 16=(2+2) 2 20=22-2 22=pierwiastek z 222 24=22+2 44=22*2 222 248= 222 2048=pierwiastek z 222 4194304= 222

Wybrane łamigłówki liczbowe

SZEREG I Jaka jest następna liczba tego szeregu? 4, 8, 15, 30, 37, 74, ?

Odpowiedź Kolejne wyrazy powstają z poprzednich przez (na przemian) pomnożenie przez 2 albo dodanie 7. Tak więc: 4 x 2 = 8; 8+7 = 15; 15x2 = 30; 30+7 = 37; 37x2 = 74; 74+7=81

KSZTAŁTY Podziel poniższy czworokąt na 4 jednakowe części.

Odpowiedź

DODAWANIE I W poniższym dodawaniu ułamków dziesiętnych tylko jeden przecinek jest na właściwym miejscu. Zmień położenie pozostałych czterech przecinków tak, aby działanie się zgadzało. 47,5 38,627 125,6 +1583,1 --------------------------- 4508,57

Odpowiedź 47,5 386,27 1,256 + 15,831 --------------------------- 450,857

UŁAMEK Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 utwórz ułamek równy 1/5.

Odpowiedź 5832 ------------------------------ 17496

Wybrane łamigłówki zapałczane

ZAPAŁKI Zmień położenie czterech zapałek w taki sposób żeby powstało pięć kwadratów.

Odpowiedź

ZAPAŁKI Zmień położenie pięciu zapałek w tak sposób, żeby otrzymać sześć kwadratów.

Odpowiedź

ZAPAŁKI Zmień położenie sześciu zapałek w tak sposób, żeby otrzymać trzynaście trójkątów równobocznych.

Odpowiedź

ZAPAŁKI Zmień położenie jednej zapałki w tak sposób, żeby wynik się zgadzał.

Odpowiedź