1

Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 im. Tadeusza Kościuszki w Pile ID grupy: 98/27_MF_G1 Opiekun: Alicja Marcinek Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny: lll semestr 2010/2011

w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

Spis treści Definicja potęgowania Własności potęg Porównywanie potęg Notacja wykładnicza Liczby „olbrzymy” i „liliputy” Zadanie problemowe Systemy liczbowe Ciekawostki Bibliografia

Co to jest potęgowanie? Potęgowanie jest to działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, a liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika.  wykładnik podstawa

a 0 = 1, dla dowolnej liczby a Przyjmujemy, że: Symbolu 0 0 nie definiujemy. a 1 = a, dla każdej liczby a a 0 = 1, dla dowolnej liczby a różnej od liczby 0

Symbol 00 Symbolu 00 nie definiujemy. Powodem, dla którego nie określamy tej potęgi, jest następujący, trudny do rozstrzygnięcia konflikt: z jednej strony liczba zero podniesiona do jakiejkolwiek potęgi n > 0 daje zero, z drugiej strony przyjęliśmy, że każda liczba (z wyjątkiem zera) podniesiona do potęgi zero daje 1.

1. Własności potęg

Mnożenie potęg o takich samych podstawach Iloczyn potęg o takich samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an.am=an+m

Dzielenie potęg o takich samych podstawach Iloraz potęg o tych samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym różnicy wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an:am=an-m

Mnożenie potęg o takich samych wykładnikach Potęga iloczynu liczb różnych od zera, jest równa iloczynowi potęg tych liczb z zachowaniem wykładników. (a.b)n = an.bn

Dzielenie potęg o takich samych podstawach Potęga ilorazu dwóch liczb różnych od zera jest równa ilorazowi potęg tych liczb przy zachowaniu wykładnika. (a:b)n = an:bn

(an)m = anm Potęgowanie potęgi Potęga potęgi liczby różnej od zera jest równa potędze o tej samej podstawie i iloczynie wykładników. (an)m = anm

Potęga o wykładniku ujemnym Potęga o wykładniku ujemnym liczby różnej od zera jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku. a –n = 1/an

zadania

Zadanie 1.1. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi: 1) 2) 3) 4)

Zadanie 1.1. – c.d. 5) 6) 7)

Zadanie 1.1. – c.d. 8)

Zadanie 1.2. Oblicz korzystając z własności potęg: 1) 2)

Zadanie 1.2. – c.d. 3) 4)

Zadanie 1.3. Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3n+3 + 3n jest podzielna przez 28. Rozwiązanie: Jeśli liczba naturalna A dzieli się przez 28, to można ją zapisać w postaci A = 28B, gdzie B także jest liczbą naturalną i na odwrót – liczba postaci 28B, gdzie B jest liczbą naturalną, jest podzielna przez 28. Po tej uwadze przystępujemy do rozwiązania zadania:

Zadanie 1.3. – c.d. zatem okazuje się, że liczba A = 3n+3 + 3n jest postaci 28B, więc jest podzielna przez 28.

2. porównywanie potęg

Porównywanie potęg Aby ustalić, która z podanych potęg jest większa porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach lub porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach.

Porównywanie potęg o takich samych podstawach Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od 1 to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik. Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

Porównywanie potęg o takich samych wykładnikach Jeżeli dwie potęgi o dodatnich podstawach mają jednakowe wykładniki to większa jest ta potęga, która ma większą podstawę.

zadania

Zadanie 2.1. Uporządkuj podane liczby rosnąco: 1) Rozwiązanie: 2)

Zadanie 2.2. Która z liczb jest większa 3111 czy 1714? Rozwiązanie: Liczby 31 i 17 kojarzymy z potęgami liczby 2: i ,stąd pomysł na oszacowania: zatem 3111 jest mniejsze niż 1714.

Zadanie 2.3. Co jest większe 2520 czy 2025? Rozwiązanie: Potęgi można rozpisać następująco: czyli 45 > 53, więc 2025 > 2520.

Zadanie 2.4. Wykaż, że liczba 2100 ma co najmniej 31 cyfr. Rozwiązanie: Wiemy, że , stąd otrzymujemy, że: Liczba 1030 ma 31 cyfr, zatem liczba 2100 jako większa od niej ma ich co najmniej tyle samo.

3. Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza Każdą liczbę dodatnią można przedstawić w postaci iloczynu k.10n, gdzie 1 ≤ k < 10, a n jest liczbą całkowitą. Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą lub naukową. Taką postać przedstawienia liczby stosujemy do zapisu liczb bardzo dużych i bardzo małych.

Zastosowanie notacji wykładniczej - Planety Masa Objętość Powierzchnia Merkury 3,3302.1023 kg 6,1.1010 km³ 75.106 km² Wenus 4,8685.1024 kg 9,28.1011 km3 4,60.108 km² Ziemia 5,9736.1024 kg 1,08321.1012 km³ 510 072 000 km² Mars 6,4185.1023 kg 1,638.1011 km³ 1,448.108 km² Jowisz 1,8986.1027 kg 142,55.1013 km³ 62,1796.109 km² Saturn 5,68460.1026 kg 7,46.1014 km³ 4,27.1010 km² Uran 8,6832.1025 kg 6,834.1013 km3 8,084.109 km2 Neptun 1,0244.1026 kg 6,2526.1013 km³ 7,6408.109 km²

zadania

Zadanie 3.1. Masa Słońca wynosi około 2  1030 kg, a masa Ziemi około 6  1024 kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? Rozwiązanie: Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3  105 razy większa od masy Ziemi.

Zadanie 3.2. Prędkość obniżenia terenu w okolicach Elbląga wynosi 8  10-11 m/s. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? Rozwiązanie: Zamieniamy 100 lat na sekundy: 1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny, 1 godzina = 3600 sekund 100 lat = 100  365  24  3600 s = = 315360 s  Odp.

Zadanie 3.2. – c.d. Obliczamy, o ile obniżył się teren w ciągu : Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elblaga obniżył się o ok. 25 cm.

Zadanie 3.3. Na głowie jest około 105 włosów. Włos rośnie z prędkością 12 . 10-2 metra w ciągu roku. Zsumuj przyrosty wszystkich włosów w ciągu roku. Ile to metrów? Rozwiązanie: ilość włosów – 105 = 100000 sztuk roczny przyrost – 12 cm 100000 . 12 = 1200000 cm = 12000 m Odp. W ciągu roku razem włosy wydłużą się o 12000 m.

Zadanie 3.4. Odległość Ziemi od Słońca zmienia się w ciągu roku od 1,471  108 km (w peryhelium, ok. 3 stycznia) do 1,521  108 km (w aphelium, ok. 6 lipca). Jaka jest różnica odległości Ziemi od Słońca w aphelium i w peryhelium? Rozwiązanie: 1,521  108 - 1,471  108 = 108  (1,521 - 1,471) = = 0,05  108 = 5  106 [km] Odp. Różnica odległości Ziemi od Słońca w podanym okresie wynosi 5 000 000 km.

Liczby „olbrzymy” i „liliputy”

Liczby „olbrzymy” Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania pewnej wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

Liczby „olbrzymy” W pogodną noc możemy zobaczyć gołym okiem najbliższą galaktykę: Wielką Mgławicę w Andromedzie, podobną do naszej Galaktyki. Natomiast w bezchmurny dzień widzimy Słońce, najbliższą naszą gwiazdę. Jeśli uświadomimy sobie, że Wielka Mgławica w Andromedzie jest oddalona od Ziemi o około 220 000 000 000 000 000 000 km, a masa Słońca jest równa około 1989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 g, to mamy wyobrażenie o liczbach olbrzymach.

Liczby „olbrzymy” Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu stosowanego w Polsce). jeden 100 kwintyliard 1033 tysiąc 103 sekstylion 1036 milion 106 septylion 1042 miliard 109 oktylion 1048 bilion 1012 oktyliard 1051 biliard 1015 nonilion 1054 trylion 1018 noniliard 1057 tryliard 1021 decylion 1060 kwadrylion 1024 decyliard 1063 kwadryliard 1027 googol 10100 kwintylion 1030 centylion 10600

Przykłady liczb dużych odległość Księżyca od Ziemi = 3,8  105 km odległość Ziemi od Słońca = 1,5  108 km odległość Ziemi od Marsa = 7,83  107 km odległość Słońca od Gwiazdy Porannej = 9,5  1018 km odległość Słońca od Alfa Centauri = 4,02  1016 km

Przykłady liczb dużych odległość od najbliższej gwiazdy 4,1·1016 km płetwal błękitny waży 1,3∙105 kg słoń indyjski = 3,9 ∙103 kg goryl = 1,9 ∙10-2 t

Przykłady liczb dużych Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. (20 1054 g) Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. Widocznych gwiazd jest około 1087.

Liczby „liliputy” oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest Nazwa potoczna d decy 10-1 jedna dziesiąta c centy 10-2 jedna setna m mili 10-3 jedna tysiączna  mikro 10-6 jedna milionowa n nano 10-9 jedna miliardowa p piko 10-12 jedna bilionowa f femto 10-15 jedna biliardowa a atto 10-18 jedna trylionowa

Przykłady liczb bardzo małych średnica tułowia ameby = 6,2  10-4 m masa wirusa ospy = 7  10-12 g masa ziarenka maku = 5  10-4 g masa atomu wodoru = 1,67  10-24 g prędkość, z jaką rośnie bambus = 1,210-5 m/s

Przykłady liczb bardzo małych Masa cząsteczki wody – 0,000 000 000 000 000 000 000 00003 kg Masa protonu – 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg Masa elektronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 kg

Przykłady liczb małych średnica tułowia ameby = 6,2  10-4 m masa wirusa ospy = 7  10-12 g masa ziarenka maku = 5  10-4 g masa atomu wodoru = 1,67  10-24 g prędkość, z jaką rośnie bambus = 1,210-5 m/s masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi 2∙10-3 kg

Zadanie problemowe

Grubość składanej bibułki Wyobraźmy sobie ogromny arkusz bibułki o grubości 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół i jeszcze raz na pół itd. Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby: 2  0,01 mm. Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułki byłaby 2 razy większa i wynosiłaby: 2  2  0,01 mm = 22  0,01 mm.

Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby znowu 2 razy większa i wynosiłaby: 2  2  2  0,01 mm = 23  0,01 mm. Przypuśćmy, że moglibyśmy złożyć bibułkę 50 razy. Wtedy jej grubość wynosiłaby: 250  0,01 mm. Z czym można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki? Wiemy, że 2500,01mm = (210)50,01 mm   (103)510-2 mm = 1013 mm

Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około 400000 km: 400000 km = 4105 km = 4105106 mm = = 41011 mm Porównajmy otrzymane wyniki: grubość bibułki 1013 102 odległość Księżyca od Ziemi 41011 4 Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad 25 razy większa niż odległość z Ziemi do Księżyca.  = 25 =

systemy liczbowe

System liczbowy System liczbowy – to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Systemy addytywne System addytywny dziesiątkowy to: system egipski, Addytywne systemy liczbowe, to systemy w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa. System addytywny dziesiątkowy to: system egipski, rzymski system zapisywania liczb.

Systemy addytywne Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność, kłopoty interpretacyjne i zbyt wielka liczba cyfr przy mało okrągłych liczbach, oraz bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

Systemy pozycyjne Pozycyjne systemy liczbowe to systemy, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., g − 1, gdzie g to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę g.

Systemy pozycyjne W sytuacji, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol. Współcześnie jest to cyfra 0. Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb (nawet okrągłych) jest potrzebna duża liczba cyfr.

System rzymski Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował.  System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania.

System rzymski W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1,    V = 5,    X = 10, L = 50,    C = 100,   D = 500,    M = 1000.

System rzymski Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejszej bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

System rzymski - przykłady VI = 5 + 1 = 6 IV = 5 – 1 = 4 LX = 50 + 10 = 60 XL = 50 – 10 = 40 12 – XII XCV - 95 29 – XXIX CDLII - 452 756 – DCCLVI CMX - 910 1250 – MCCL MCV - 1105 1999 – MCMXCIX MDCL - 1650

Hieroglify egipskie Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify. Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu.

Hieroglify egipskie Zapisując liczbę za pomocą tych znaków, powtarzano je odpowiednią ilość razy. Dodawanie w tym systemie polegało na liczeniu poszczególnych znaków. Pełne dziesiątki jednakowych znaków zastępowało się znakiem wyższego rzędu.

Hieroglify egipskie Przykłady: 4622 276

Hieroglify egipskie 12540 16018 3413025 6244 52434 113 1230000

Babiloński system pozycyjny Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków.

Babiloński system pozycyjny Babilończycy jako pierwsi stosowali pozycyjny system liczenia. W systemie pozycyjnym wartość zapisana za pomocą cyfry zależy od miejsca zajmowanego w zapisie liczby. Podstawą babilońskiego systemu pozycyjnego była liczba 60. Do zapisu liczby Babilończycy używali 59 znaków, jeśli zachodziła potrzeba wykorzystania zera – pozostawiali w zapisie puste miejsce.

Babiloński system pozycyjny

Babiloński system pozycyjny Przykłady liczb zapisanych w za pomocą cyfr babilońskich. 16018 7954030 874921 37230

Dwudziestkowy system pozycyjny Majów Starożytni Majowie jako pierwsi na Ziemi odkryli dwie fundamentalne dla matematyki idee - system pozycyjny oraz koncepcję zera. Wynalezienie systemu pozycyjnego przypisuje się kulturze hinduskiej, lecz z badań historycznych wynika jasno, iż Majowie znali i stosowali system pozycyjny przynajmniej 300 lat wcześniej niż Hindusi. Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Dlaczego? Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia.

Dwudziestkowy system pozycyjny Majów U Majów podstawą systemu zapisu liczb mniejszych od 360 była liczba 20. Do zapisu wszystkich dwudziestu cyfr używali tylko 3 znaków: kropka  oznaczała jednostkę, pozioma kreseczka  oznaczała 5, a znak zera symbolizowała pusta miska.

Dwudziestkowy system pozycyjny Majów Liczby w tym systemie podaje się, mnożąc cyfry przez kolejne potęgi 20, a następnie wyznacza się iloczyny częściowe. Majowie pisali cyfry od góry do dołu. 385 351 254 100

System dziesiątkowy Pozycyjny, dziesiątkowy system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.

System dziesiątkowy Mamy dziesięć znaków (cyfr) do zapisywania liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Wartość cyfry zależy od miejsca, czyli pozycji zajmowanej liczby. Podstawą systemu jest liczba 10. Wartość liczby jest sumą iloczynów cyfr przez kolejne potęgi liczby 10.

System dziesiątkowy Przykład: 24 306 = = 2104 + 4103 + 3102 + 0101 + 6100 1 357 295 = = 1106 + 3105 + 5104 + 7103 + 2102 + 9101 + 5100

Pozycyjny system dwójowy Dwójkowy system numeracji – jest najprostszym układem, zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

Pozycyjny system dwójowy Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym zapisz w systemie dwójkowym: 3510 = 32+2+1=25+21+20 = = 1∙25+0∙24+0∙23+0∙22+1∙21+1∙20 = 1000112 10010 = 64+32+4 = 26+25+23+22+21 = = 1∙26+1∙25+0∙24+0∙23+1∙22+0∙21+0∙20 = 11001002

Pozycyjny system dwójowy Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dwójkowym zapisz w systemie dziesiątkowym: (101011)2 = 1·25+0·24+1·23+0·22+121+1·20 = = 25+23+21+20 = 32+8+2+1 = 4310 (1111)2 =1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=8+4+2+1=1510

Pozycyjny system dwójowy Zastosowanie: Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

System szesnastkowy System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

System szesnastkowy Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym przestaw w systemie szesnastkowym: 21210 = 13·16+4 = D·16+4 = D·161+4·160 = = D·161+4·16 = D416 33710 = 256+516+1 = 1·162+5·161+1·160 = = 15116

Zastosowanie systemów liczbowych Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych.

Zastosowanie systemów liczbowych W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

Zastosowanie systemów liczbowych Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.

Zastosowanie systemów liczbowych System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

ciekawostki

Największa liczba Archimedesa Od dawien dawna istniały trudności z nazywaniem dużych liczb. W Grecji największą liczbą mającą własną nazwę była miriada, oznaczająca dziesięć tysięcy (104). Dopiero Archimedes stworzył specjalny system oznaczania liczb większych od miriady. Liczby podzielił na okresy i rzędy. Do liczb pierwszego rzędu pierwszego okresu zaliczył liczby aż do miriady miriad (według dzisiejszego zapisu 108). Największą z rozważanych przez Archimedesa liczb była 1080 000 000 000 000 000!

Miriada miriad Wielkimi liczbami posługiwał się już Archimedes (287 p.n.e. – 212 p.n.e.). Oprócz znanej Grekom liczby miriada (10 000) wprowadził liczbę miriada miriad. W swoim dziele „Rachmistrz piasku” szacował, ile ziaren piasku jest na plaży. Obliczał także, ile ziaren piasku wypełniłoby wszechświat. Wynik, jaki otrzymał Archimedes, dzisiaj zapisalibyśmy jako 10 52.

Największa liczba trzycyfrowa Największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr to Zapisanie jej w systemie dziesiątkowym zapełniłoby 33 książki po 800 stron i 14000 cyfr na stronie.

Wiersz „POTĘGI” Gdy podstawy równe wszędzie Wykładniki miej na względzie. Przy mnożeniu - dodajemy, Przy dzieleniu - odejmiemy, Do potęgi - pomnożymy I wynikiem się cieszymy. Gdy są równe wykładniki Też jest łatwo o wyniki. Mnożąc potęgi - podstawy mnożymy, Gdy chcemy podzielić - podstawy dzielimy

BIBLIOGRAFIA

„Matematyka 2001. Podręcznik dla klasy 2 gimnazjum. ”, A. Bazyluk, A „Matematyka 2001. Podręcznik dla klasy 2 gimnazjum.”, A. Bazyluk, A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, H. Sienkiewicz, A. Ziemińczuk „Matematyka 2001. Podręcznik dla klasy 3 gimnazjum.”, A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, W. ZawadowskiA. Ziemińczuk „MATEMATYKA KROK PO KROKU. Podręcznik dla klasy pierwszej gimnazjum.”, J. M. Jędrzejewski, K. Gałązka, E. Lesiak, Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONIA Sp. z o.o., Łódź, 1999, „Matematyka 2. Podręcznik dla gimnazjum.”, A. Urbańczyk, W. Urbańczyk, Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON, Gdynia, 2007, „Matematyka 2. Podręcznik dla klasy drugiej gimnazjum.”, Praca zbiorowa pod redakcją M. Dobrowolskiej, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, 2001, http://www.matma.net.pl/potegi.php, http://www.wckp.lodz.pl/leonardo/elektro/techcyfr/dziesiatkowy.html, http://www.math.edu.pl, http://edu.i-lo.tarnow.pl/inf/prg/005_pmc1/0003.php#babilonski, http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/potegi/porownywanie-poteg, http://edudu.pl/sciaga-porownywanie-poteg, http://pl.wikipedia.org http://www.gimn4.bedzin.pl/gimn4/strony/bogusia/liczby.html#ol

autorzy pracy – 98/27_MF_G1

98