Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Publiczne Gimnazjum w Tomaszowie ID grupy: 98_21 GM2 Opiekun: Ewa Wołczek-Bury Kompetencja: mat - fiz Temat projektowy: Liczby wymierne są ok.. Semestr/rok szkolny: drugi 2010/2011

„Liczby wymierne są OK.”

Liczby wymierne Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego: Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne. Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności (a,b)˜(c,d) wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc. W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania [(a,b)] + [(c,d)] = [(ad + bc,bd)], Parę (a,b) zapisuje się zwykle w postaci ułamka , bądź jeśli b = 1, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą a.  

. ). Własności - Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało. - Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się )

Zadania cząstkowe 1. Rachunki z ułamkami. 2. Zaokrąglenia. 3. System rzymski. 4. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. 5. Szacowanie wartości. 6. Obliczenia w praktyce. 7. Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”.

1.Rachunki z ułamkami Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać ze wzorów: Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się.

2.Zaokrąglenia Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. W tych i wielu innych przypadkach stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się.  Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1.

Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia "≈"  482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ 500  12,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10  (pogrubioną czcionką zaznaczyliśmy przypadek, gdy ostatnią zachowaną cyfrą jest 9. Wówczas zachowana cyfra staje się zerem, a zwiększamy o jeden przedostatnią pozostałą cyfrę) 19,99 ≈ 20  178,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ 200 9.999 ≈ 10 

3.System rzymski Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania.

Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

4.Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, można podzielić jego licznik przez mianownik lub jeśli to możliwe rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z liczb 10, 100, 1000 itd., a następnie zapisać go bez kreski ułamkowej. Np.: 5/4= 1,25

5.Szacowanie wartości Szacujemy praktycznie wszystko i co dzień, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy. Szacujemy np. koszt remontu pokoju, koszt wycieczki, czas potrzebny na naukę, ile pieniędzy wydamy na zakupy, czy wystarczy nam na zapłacenie rachunków, jak jest odległość między dwoma miejscami itd. Umiejętność szacowania należy kształtować od najmłodszych lat, gdyż jest bardzo przydatna w życiu. Pokażemy wam na konkretnych przykładach, jak potrzebne jest szacowanie.

Szacowanie- zadanie Szacowanie pozwala oswoić się z liczbami, długościami, powierzchniami itp. Oceniając np. odległość wyrabiamy sobie poczucie odległości. Milion kroków – jaka to odległość? Rozwiązanie: Sprawdzamy jaką długość ma jeden krok – np. 80 cm i mnożymy razy milion. 80 cm * 1 000 000 = 80 000 000 cm = 800 000 m = 800 km Odpowiedź: Milion kroków ma około 800 kilometrów.

6.Obliczenia w praktyce Dźwięk rozchodzi się z prędkością 330 m/s. Hania stoi 110 m od lasu. Krzyknęła i jej krzyk odbił się od ściany drzew i powrócił do niej w postaci echa. Hania usłyszała głos po: 3s 3/2s 2/3s 1/3s

7.Oś liczbowa i jej mieszkańcy Każdą liczbę wymierną można przedstawić na osi liczbowej. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt na osi. Punkt ten oznaczamy dużą literą i u dołu osi piszemy odpowiadającą mu liczbę, o tej liczbie mówimy, że jest współrzędną punktu.

„Liber abaci” Liber abaci lub Liber abbaci - księga matematyczna z 1202, dotycząca arytmetyki, autorstwa Leonarda z Pizy, znanego później pod pseudonimem Fibonacci. Jej tytuł tłumaczony jest współcześnie jako Księga liczydła lub Księga rachunków. W pracy tej Fibonacci wprowadził w Europie cyfry arabskie, ważny element systemu dziesiętnego, który Fibonnaci poznał uprzednio podczas pobytu w północnej Afryce. Liber abaci nie była pierwszą księgą w świecie zachodu opisującą cyfry arabskie.

Zadania 1. Ile soli zjada człowiek w ciągu swojego życia? Czy to to więcej niż beczka? Założenia: Pojemność beczki- 100l Dzienne przeciętne spożycie soli- 5ml (1 łyżeczka) Średnia długość życia człowieka- 50 lat Zamieniam 50 lat na dni aby łatwiej było liczyć: 50lat×365=18250dni Obliczam ile człowiek zje soli, jedząc dziennie 5ml soli (1 łyżeczkę) przez 18250dni: 18250×5=91250ml Zamieniam tę wartość na litry: 91250ml=91,25l Porównuję z pojemnością beczki: 100l>91,25l Odp.: Przy powyższych założeniach, człowiek zjada w ciągu swojego życia 91,25l soli. Nie jest to pełna beczka.

2. Najszybsze strusie mogą przebiec 100 metrów przez 3 sekundy 2. Najszybsze strusie mogą przebiec 100 metrów przez 3 sekundy. Prędkość, jaką mogą rozwinąć, wynosi: v= s/t s -droga t- czas v = 100m : 3s / x3 3v = 100m\s /:3 v = 33,3 m\s [w przybliżeniu] Odp.: Prędkość ta wynosi 33 1/3.

3. Z cieknącego kranu co sekundę spada jedna kropla wody 3. Z cieknącego kranu co sekundę spada jedna kropla wody. Czy woda, która wycieknie z tego kranu w ciągu miesiąca, wypęłni wannę o pojemności 150 litrów ? Przeciętna kropla ma objetość 50 mm sześciennych. 50mm³*60=3000mm³=3cm³ w ciągu godziny: 3cm³*60=180cm³ w ciągu doby: 180cm³*24=4320cm³ w ciągu miesiąca (przyjmując, że miesiąc ma 30 dni): 4320cm³*30=129600cm³=129,6dm³=129,6l 129,6l<150l Odp.: Woda nie wypełni wanny.

SPOTKANIA Z MATEMATYKĄ I FIZYKĄ

Uczniowie należący do projektu: -Zofia Chabiniak -Bartłomiej Ciżmiński -Kinga Wygowska -Łukasz Rzymiański -Kinga Stróż -Tomasz Hałapup -Joanna Łabuda -Monika Czerniecka -Adrian Haniszewki -Dagmara Wolak -Magda Ochmańska -Edyta Kothe