Tales i Pitagoras

Tales Tales z Miletu, gr. Θαλης (ok. 620 – 540 p.n.e.) był greckim filozofem i matematykiem, astronomem, inżynierem, politykiem, podróżnikiem i kupcem, zaliczanym do siedmiu mędrców starożytnej Grecji. Uznawany jest za twórcę podstaw nauki i filozofii europejskiej.

Osiągnięcia Talesa Tales prowadził badania nad udowodnieniem swoich twierdzeń oraz twierdzeń wcześniej postawionych przez matematyków egipskich, dając podstawy nauce przez zapoczątkowanie systematycznej rozbudowy pojęć i twierdzeń geometrycznych. Talesowi z Miletu przypisuje się wiele twierdzeń z geometrii: Średnica dzieli okrąg na połowy. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Jeśli dwie linie przecinają się, to dwa kąty przeciwległe są równe. Kąt wpisany na półokręgu jest kątem prostym. Trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego podstawa i kąty przy podstawie.

Twierdzenie Talesa Wniosek Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to stosunki długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta, są równe stosunkom długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. Wniosek

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi i stosunki długości odcinków na jednym ramieniu kąta równe są stosunkom długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to dane proste są równoległe.

Zastosowania twierdzenia Talesa Twierdzenie Talesa ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Przedstawię trzy z nich: Pomiar wysokości piramidy Pomiar odległości statku od brzegu Podział odcinka w danym stosunku

Pomiar wysokości piramidy Według legendy Tales wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak tego dokonał: Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesa zachodzi proporcja |OA|:|OB| = |AA′|:|BB′| skąd |BB′|=|AA′|·|OB|:|OA|. Znając |AA′| – długość kija, mierząc |OA| – długość jego cienia i |OB| – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość. Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Pomiar odległości statku od brzegu Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na morzu. Z wniosku z twierdzenia Talesa mamy: (|A′A|+x):|B′A′| = x:|BA| skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A′|-|BA|). Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.

Podział odcinka w danym stosunku Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku: Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, które Grecy utożsamiali z liczbami.

Pitagoras PITAGORAS z SAMOS (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). Urodził się na wyspie Samos, a zmarł w Metaponcie. Znany jest głównie z słynnego twierdzenia  o trójkącie prostokątnym, powszechnie znanego jako twierdzenie Pitagorasa. Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej Szkoły Pitagorejskiej, był także twórcą kierunku filozoficzno-religijnego zwanego pitagoreizmem. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do Boga.  Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związek pitagorejski. Tam też rozwinął żywą działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci.

Twierdzenie Pitagorasa Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Dowód twierdzenia Pitagorasa Założenie: Teza: Trójkąt ABC jest prostokątny Dowód: Długość boku kwadratu ABCD wynosi Zatem pole tego kwadratu wynosi Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:  Porównując ze sobą oba pola otrzymamy: Ostatecznie otrzymamy: Jest to teza naszego twierdzenia.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

Pitagorejczycy Pitagorejczycy byli uczniami Pitagorasa. Oto ich najważniejsze osiągnięcia: Udowodnili twierdzenie Pitagorasa. Spośród wszystkich liczb naturalnych, wyróżniali pewne nieskończone ciągi liczb zwane ogólnie liczbami wielokątnymi, a więc trójkątne, czworokątne, pięciokątne. Zajmowali się także liczbami doskonałymi. Liczba doskonała, to taka liczba, której suma dzielników od niej mniejszych jest równa tej liczbie. Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, 8128. Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej, np. 220 i 284. Zajmowali się proporcjami, lecz szczególnie dla dalszego rozwoju matematyki miało stwierdzenie istnienia odcinków niewspółmiernych.

Przy tworzeniu prezentacji korzystano ze stron: http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/tales.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Tales_z_Miletu http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Talesa http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/pitag.htm http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/niezbed/tw_pit.html Aneta Rogalska Publiczne Gimnazjum nr 2 w Łodzi