Wykład bez rysunków Ruch jednostajny po okręgu Punkt materialny obiega okrąg ze stałą prędkością (co do wartości bezwzględnej). Zmiana prędkości przy przejściu od P do P’ wynosi v  zmiana kierunku, nie wartości prędkości!

Ruch niejednostajny po okręgu Wektor prędkości zmienia swoją wartość bezwzględną Zmiana prędkości v przy przejściu z P do P’ v składa się z vr oraz vt

a = at + an Ruch niejednostajny po okręgu W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia się zarówno wartość (vt), jak i kierunek prędkości (vr) a = at + an Całkowite przyspieszenie, jak w dowolnym ruchu krzywoliniowym, jest sumą przyspieszenia stycznego at i prostopadłego do niego przyspieszenia normalnego an

Zasady dynamiki Newtona Dynamika zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał Ciała materialne mają zdolność do oddziaływania ze sobą Ruch punktu materialnego zależy od rodzaju i sposobu rozmieszczenia ciał stanowiących otoczenie tego punktu

Szukamy praw rządzących oddziaływaniami Siła jest wielkością pozwalającą powiązać ruch ciała (punktu materialnego) z jego otoczeniem Siła – wpływ otoczenia na ciało Każda siła musi być wywierana przez jakieś ciało Masa – opór, jaki stawia przyspieszane ciało sile, która na nie działa I zasada dynamiki (zasada bezwładności): „Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie zmuszone, za pomocą wywierania odpowiednich sił, do zmiany tego stanu” (cytat) Bezwładność – własność ciała objawiająca się tym, że ciało nie zmienia ani kierunku, ani wartości swej prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje

F = ma Druga zasada dynamiki Jeśli ruch ciała nie jest prostoliniowym ruchem jednostajnym, to znaczy, że ciało podlega jakiemuś oddziaływaniu. Miarą oddziaływania będzie pojawienie się przyspieszenia zmieniającego wartość prędkości lub powodującego zakrzywienie toru ciała Druga zasada dynamiki: Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała: F = ma Siła F jest wektorem, tak jak przyspieszenie a – mają te same kierunki i zwroty Jeżeli na ciało działa jednocześnie kilka sił: F = F1 + F2 + .... to ciało porusza się pod wpływem wypadkowej siły F

Druga zasada dynamiki – zapis Newtona Pęd ciała p – iloczyn masy ciała i jego prędkości p= mv Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z wektorem prędkości F = ma = m = dv d(mv) dt dt F = dp dt Siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu względem czasu dp dt F = 0  = 0  v = const I zasada dynamiki Newtona I zasada dynamiki określa ruch ciała, na które nic nie działa II zasada dynamiki określa ruch pod wpływem oddziaływania innych ciał III zasada dynamiki dotyczy właściwości samych oddziaływań

III zasada inaczej: akcja równa się reakcji III zasada dynamiki: Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB, to ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną FAB =  FBA Jednakowe wskazania dynamometrów III zasada inaczej: akcja równa się reakcji Niemożliwe jest istnienie jednej tylko siły Siły akcji i reakcji, które zawsze występują parami, działają na różne ciała. Gdyby działały na to samo ciało – to wypadkowa siła byłaby równa 0

Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu I zasada dynamiki: tylko ruch jednostajny prostoliniowy może zachodzić bez działania sił Ruch ciała po okręgu wymaga istnienia siły! Dotyczy również ruchu jednostajnego po okręgu Przyspieszenie normalne (dośrodkowe): an = 2r = v2 r Na ciało poruszające się jednostajnie po okręgu działa siła: Fn = man = m2r = m v2 r skierowana do środka okręgu – siła dośrodkowa III zasada dynamiki: Siła dośrodkowa Fn działa na ciało w ruchu, a siła odśrodkowa Fr działa na więzy utrzymujące ciało na okręgu Gdy na ciało poruszające się po okręgu przestaje działać siła dośrodkowa, to ruch ciała nie ustaje, lecz trwa dalej jako ruch jednostajny i prostoliniowy wzdłuż stycznej do toru kołowego (I zasada dynamiki)

Praca pod działaniem stałej siły Pod działaniem stałej siły F punkt materialny ulega prostoliniowemu przesunięciu s Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem (skalarnym) siły F i wektora przesunięcia s , czyli W = F • s Praca W jest wielkością skalarną W = Fs cos (z def. iloczynu skalarnego) gdzie  - kąt między kierunkami siły i przesunięcia Praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne  cos Praca jest dodatnia, gdy  < 90°, a ujemna, gdy  > 90° Praca jest równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia (=90°) Rzut siły na kierunek przesunięcia Ft = F cos  W = Ft s Pracę wykonuje tylko składowa styczna Ft do przesunięcia s

 Praca pod działaniem zmiennej siły W = Ft s dW = Ft ds W = Ft ds Wartość siły zależy od położenia ciała: Ft(s) W = Ft s dW = Ft ds  W = Ft ds s Praca na drodze ds W przypadku zmiennej siły praca wyraża się całką oznaczoną:

Moc Pśr = W t P = = = Ft v dW dt Ft ds Moc – wielkość wskazująca, jaką pracę może wykonać dany układ w jednostce czasu Pśr = W t Średnia moc: P = lim = W t dW dt t 0 Moc chwilowa: jest pochodną pracy względem czasu P = = = Ft v dW dt Ft ds W zapisie wektorowym (iloczyn skalarny): P = F • v Moc danej siły jest proporcjonalna do prędkości

{ Energia W = Ft s = mas v22 – v12 s = 2a mv2 Ek = 2 W mechanice rozróżniamy energię kinetyczną – określoną przez masy ciał i prędkości oraz energię potencjalną – określoną przez masy ciał i ich wzajemne położenia Energia kinetyczna Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego zachodzący pod wpływem działania stałej siły F Praca siły F na drodze s zwiększa prędkość punktu z v1 do v2 W = Ft s = mas Z kinematyki ruchu jednostajnie przyspieszonego: s = v1t + ½ at2 = v1((v2 – v1)/a) + ½ a((v2 – v1)/a)2 v2 = v1 + at t = (v2 – v1)/a s = v22 – v12 2a W = ma = – = Ek2 – Ek1 mv22 2 mv12 { Energię kinetyczną punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określamy wzorem: mv2 2 Ek = Przyrost energii kinetycznej jest ujemny, gdy siła jest skierowana przeciwnie do prędkości, np. siła tarcia, czy siła oporu powietrza

 Siły zachowawcze F • ds = 0 W polu ciężkości przesuwa się punkt materialny po torze zamkniętym ABCDA Stała siła F=mg h h Droga s=AB+BC+CD+DA Praca W=Fs Praca siły ciężkości F po torze zamkniętym ABCDA: WAB = —mgh WBC = 0 WCD = mgh WDA = 0 WABCDA = WAB+WBC+WCD+WDA= –mgh+0+mgh+0 = 0 Siłę nazywamy zachowawczą albo potencjalną, jeżeli jej praca po dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru  F • ds = 0

 Siły zachowawcze F • ds = 0 Praca po zamkniętym torze O1P2O dla siły zachowawczej jest równa zeru  F • ds = 0 WO1P2O = WO1P + WP2O = 0 Praca przy przeciwnym kierunku przesunięcia różni się tylko znakiem: WP2O = –WO2P 1 WO1P – WO2P = 0 czyli 2 WO1P = WO2P Praca siły zachowawczej nie zależy od kształtu drogi, a tylko od wyboru punktu początkowego i końcowego (czyli punktu O i P) Przykłady sił zachowawczych: siła ciężkości, siła sprężystości Siły nie zachowawcze: siła tarcia, siły oporu powietrza i cieczy

   Energia potencjalna Ep = W = F·s = mgh Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała od punktu O do punktu P Wartość energii potencjalnej zależy od wyboru punktu odniesienia O! Grawitacyjna energia potencjalna: jest to praca siły ciężkości mg na pionowym torze o wysokości h Stała siła Ep = W = F·s = mgh Energia potencjalna sprężystości Ep rozciągniętej sprężyny jest równa pracy, jaką wykonuje siła sprężystości przywracająca sprężynę do początkowej długości (położenia równowagi x = 0) Zmienna siła  s  x  x W = F ds = (–kx)dx = k xdx = ½ kx2 Energia potencjalna sprężystości Ep = ½ kx2

Plan wykładu INFORMATYKA ELEMENTY MECHANIKI KLASYCZNEJ Dynamika układu punktów materialnych Twierdzenie o ruchu środka masy Dynamika bryły sztywnej Analogia między ruchem postępowym i ruchem obrotowym Zasady zachowania w mechanice Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia

Układ punktów materialnych Układ punktów materialnych = układ ciał (np. planetarny), które można rozważać jako punkty zaniedbując ich rozmiary Zał: układ jest złożony z n punktów materialnych o masach m1, m2, ...mn Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt S, którego współrzędne x, y, z są wyrażone przez: i – wskaźnik sumowania; i = 1, 2,..., n Środek masy w zapisie wektorowym: r1, r2, ...., rn – wektory wodzące punktów materialnych; rs – promień wodzący środka masy Przykład: Środek masy dwóch mas m1 i m2 leży na prostej łączącej masy w punkcie C w odległości xśr.m. od początku układu

Środek masy ciała rozciągłego Położenie środka masy ciała rozciągłego – „dzielimy” ciało na n małych części o masach m1, m2, ..., mn; stosujemy wzór dla układu punktów materialnych: m gdy liczba n części zmierza do  m – całkowita masa ciała Dla brył o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem symetrii

Siły wewnętrzne i zewnętrzne Na punkty materialne w układzie działają siły wewnętrzne i zewnętrzne Siły wewnętrzne – siły oddziaływania wzajemnego punktów materialnych należących do jednego układu; działają między każdą parą punktów i zgodnie z III zasadą dynamiki są równe co do wartości i przeciwnie skierowane j-ty punkt działa na i-ty punkt siłą Fij: Siły zewnętrzne działające na układ – pochodzą od ciał spoza układu siły wewnętrzne siły zewnętrzne III zasada dynamiki Newtona Układ trzech punktów materialnych

Ruch środka masy II zasada dynamiki dla układu n punktów materialnych: mi – masa i-tego punktu ri – promień wodzący i-tego punktu Fi – wypadkowa siła działająca na i-ty punkt ai – przyspieszenie i-tego punktu Wstawiamy wzór na przyspieszenie: Równanie to jest słuszne dla każdego punktu układu Dla układu punktów materialnych mamy: Siły wewnętrzne znoszą się parami i wypadkowa = 0 Wypadkowa wszystkich sił działających na układ punktów materialnych jest równa wypadkowej sił zewnętrznych oraz

Twierdzenie o ruchu środka masy Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jak punkt materialny o masie m równej całkowitej masie układu, na który działa siła Fz równa wypadkowej sił zewnętrznych Gdy Fz =0, to przyspieszenie środka masy jest = 0, czyli środek masy, albo porusza się ruchem jednostajnym i prostoliniowym, albo spoczywa

Maczuga gimnastyczna wykonuje skomplikowane ruchy obrotowe, ale na jej osi znajduje się taki punkt – środek masy, który porusza się po paraboli – ”rzut ukośny” Gdyby maczuga uległa rozerwaniu w locie, to jej kawałki poruszałyby się po rozmaitych torach, ale środek masy wszystkich odłamków nadal poruszałby się po tej samej paraboli, co środek masy maczugi przed jej rozpadnięciem się

Dynamika bryły sztywnej Opis ruchu układu, którego punkty materialne należą do jednego ciała rozciągłego Bryła sztywna – ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom Rodzaje ruchów bryły sztywnej: postępowy – odcinek AB zachowuje stale położenie do siebie równoległe obrotowy – wszystkie punkty poruszają się po okręgach, których środki leżą na osi obrotu W ruchu obrotowym punkty bryły mają tę samą prędkość kątową; prędkości liniowe są proporcjonalne do odległości punktu od osi obrotu

Moment siły (moment obrotowy) W ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej kierunek i punkt przyłożenia  ważna nie siła, ale moment siły Momentem siły F względem punktu O na osi obrotu nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F (początek r leży w punkcie O) i wektora tej siły M = r  F Iloczyn wektorowy Wartość bezwzględna momentu siły wynosi: r - ramię siły, czyli odległość prostej działania siły F od osi obrotu Moment siły M jest wektorem, skierowanym wzdłuż osi obrotu