Wykład 3 Dynamika punktu materialnego Podstawy Fizyki Wykład 3 Dynamika punktu materialnego

Pęd Wielkością charakteryzującą ruch ciała jest prędkość. Zmiana ruchu, tzn. zmiana prędkości, wymaga pokonania oporu bezwładności. Miarą bezwładności jest masa. Iloczyn masy cząsteczki i jej prędkości nosi nazwę pędu Pęd jest wielkością wektorową o kierunku zgodnym z kierunkiem wektora prędkości. Wektor pędu pełniej charakteryzuje ruch niż wektor prędkości.

Korzystając z definicji prędkości możemy zapisać W dowolnym układzie odniesienia pęd możemy rozłożyć na składowe, np. dla układu kartezjańskiego więc

(I zasada dynamiki Newtona) Zasada bezwładności (I zasada dynamiki Newtona) Jeśli cząstka nie oddziałuje z innymi cząstkami, to można znaleźć taki inercjalny układ odniesienia, w którym przyspieszenie cząstki jest równe zeru. Najlepszym przybliżeniem inercjalnego układu odniesienia jest układ związany z „gwiazdami stałymi”. Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

II Zasada dynamiki Newtona W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie cząstki jest proporcjonalne do wypadkowej siły (sumy sił) działającej na cząstkę i odwrotnie proporcjonalne do masy cząstki. F1 F2 gdzie n – liczba sił. Fwyp Jednostką siły jest niuton (N) a

Jeżeli poszukujemy równania opisującego ruch cząstki, czyli zależności wektora wodzącego od czasu , to musimy rozwiązać równanie: Równanie to nazywamy równaniem ruchu Newtona. Jest ono równoważne trzem równaniom dla poszczególnych składowych. gdzie

Rozwiązaniem równania ruchu Newtona jest wektor wodzący Rozwiązanie to zależy od warunków początkowych, a mianowicie od położenia i prędkości cząstki w chwili początkowej t0 Znajomość siły działającej na cząstkę, oraz położenia i prędkości tej cząstki w chwili t0 pozwala na jednoznaczne znalezienie funkcji wektora położenia , czyli pozwala określić położenie tej cząsteczki w dowolnej chwili późniejszej (t>t0) lub wcześniejszej (t<t0). Jest to zasada przyczynowości (determinizmu) mechaniki klasycznej

Ogólne równanie ruchu Newtona Załóżmy, że masa bezwładna cząstki jest wielkością stałą, czyli m = const. Możemy wtedy równanie ruchu Newtona zapisać: czyli Szybkość zmian pędu ciała jest równa sile zewnętrznej działającej na cząstkę. Ostatnie równanie jest ogólniejsze niż poprzednie równanie, gdyż pozwala opisać ruch ciała o zmiennej masie.

Całkując ostatnie równanie w przedziale t = t –t0 , otrzymujemy: czyli nazywamy popędem siły (impulsem siły). Jednostką popędu siły jest 1 niutonosekunda=1N·1s=1N·s Zmiana pędu cząstki w przedziale czasu Dt jest równa popędowi siły w tym przedziale czasu

Tę samą zmianę pędu możemy osiągnąć albo działając siłą o małej wartości w dużym przedziale czasu, albo też działając siłą o dużej wartości w małym przedziale czasu. Siła o dużej wartości działająca w małym przedziale czasu nazywana jest siłą impulsową lub zderzeniową. F t

III zasada dynamiki Newtona, Zasada akcji i reakcji Gdy dwa ciała o masach m1 i m2 oddziałują wzajemnie, to siła F12 wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły F21, jaką ciało pierwsze działa na drugie

Jeśli mamy większą liczbę n ciał oddziałujących wzajemnie, to:

Siła reakcji Przyczyny ograniczające ruch cząstki nazywamy więzami. Istnienie więzów powoduje, że w równaniach ruchu należy uwzględnić dodatkową siłę nazywaną siłą reakcji lub reakcją więzów. Równanie ruchu cząstki poddanej więzom zapiszemy następująco: FR Fwyp Siły reakcji mają kierunek prostopadły do krzywej lub powierzchni definiującej więzy. Q

Opory ruchu Przykłady występowania oporów ruchu: Klocek przesuwający się po płaskiej powierzchni porusza się z malejącą prędkością. Jest to przykład tarcia poślizgowego Walec toczący się po płaskiej powierzchni także porusza się z malejącą prędkością. Przykład tarcia tocznego Spadanie pod wpływem siły ciężkości kulki metalowej w cieczy odbywa się ze stałą prędkością. Przykład tarcia wewnętrznego w ośrodku (lepkości cieczy)

Równanie ruchu ciała w przypadku działania oporów ośrodka ma postać: - siła tarcia Siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do wektora prędkości ciała - wersor o kierunku i zwrocie prędkości gdzie FT F Fn

Pełne równanie ruchu wymaga uwzględnienia również siły reakcji więzów Tarcie poślizgowe i tarcie toczne nazywamy tarciem zewnętrznym PRAWA TARCIA „I prawo tarcia” Siła tarcia między dwoma ciałami jest proporcjonalna do siły normalnej utrzymującej te ciała w zetknięciu. - współczynnik tarcia W postaci wektorowej:

Interpretacja mikroskopowa tarcia Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cząstek stykających się ciał. Powierzchnie nigdy nie są idealnie równe. Na poziomie mikroskopowym cząstki jednego ciała „blokują drogę” cząstkom drugiego ciała. Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku ciał jest w normalnych warunkach wiele rzędów wielkości mniejsza niż powierzchnia geometryczna

„II prawo tarcia” Przy danej sile nacisku FN siła tarcia poślizgowego nie zależy od wielkości powierzchni zetknięcia między dwoma ciałami. Wyróżniamy dwa rodzaje współczynników tarcia: Współczynnik tarcia statycznego - który pomnożony przez siłę nacisku daje minimalną wartość siły (zwanej siłą tarcia statycznego), którą trzeba przezwyciężyć, aby wprowadzić w ruch ciało spoczywające na powierzchni. Współczynnik tarcia kinetycznego - który pomnożony przez siłę nacisku daje siłę tarcia kinetycznego, czyli siłę którą należy zrównoważyć aby ciało ślizgające się po powierzchni mogło utrzymać się w ruchu jednostajnym. Przeważnie

Przykładowe współczynniki tarcia dla wybranych materiałów:

„III prawo tarcia” Dla niedużych prędkości współczynnik tarcia kinetycznego nie zależy od prędkości ślizgającego się ciała. Dla dużych prędkości współczynnik tarcia kinetycznego maleje wraz ze wzrostem prędkości.

Tarcie toczne Poza tarciem statycznym i kinetycznym (poślizgowym) wyróżniamy tarcie toczne: Współczynnik tarcia tocznego jest zwykle bardzo mały Przykładowo: drewno + drewno = 0,0005 m stal hartowana + stal = 0,00001 m

(materiały uzupełniające) Opis ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia (materiały uzupełniające)

Załóżmy, że mamy inercjalny (U) i nieinercjalny (U’) układ odniesienia. Jeżeli w układzie U’ cząstka P porusza się z przyspieszeniem a’, a układ U’ porusza się względem U z przyspieszeniem a0, to cząstka P w układzie U porusza się z przyspieszeniem Przyspieszenie a0 jest sumą przyspieszenia translacyjnego i rotacyjnego Rozważmy przypadek, że układy U i U’ poruszają się względem siebie ruchem obrotowym z prędkością kątową Dla wektorów wodzących punktu P istnieje zależność

Transformacja prędkości między tymi układami ma postać Różniczkując po czasie otrzymujemy Człon jest związany z przyspieszeniem kątowym układu U’ Wektor jest przyspieszeniem Coriolisa Wektor jest przyspieszeniem dośrodkowym Przyspieszenie względne układów:

Załóżmy, że obserwator O’ chce zastosować w swoim nieinercjalnym układzie odniesienia następującą definicje siły Wykorzystując transformacje przyspieszenia otrzymujemy - Siła zmierzona w inercjalnym układzie odniesienia - siła bezwładności. Siła bezwładności nie jest związana z oddziaływaniem otoczenia na cząstkę P. Wiąże się ona wyłącznie z tym, że układ U’ nie jest układem inercjalnym. Siła bezwładności jest nazywana siłą pozorną. Uwzględnienie tej siły jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w układach nieinercjalnych.

Siłę bezwładności możemy zapisać - Siła Coriolisa - Siła odśrodkowa Ruch ciała możemy opisywać albo w układzie inercjalnym korzystając z rzeczywistych sił, lub w układzie nieinercjalnym uwzględniając siłę bezwładności. Oba opisy są prawidłowe. Szczególnie układ nieinercjalny można dobrać tak, by zagadnienie dynamiczne sprowadzić do problemu statycznego.

Siła bezwładności na Ziemi Ziemia nie jest inercjalnym układem odniesienia przede wszystkim ze względu na jej dzienny ruch obrotowy. W układzie związanym z Ziemią występuje zatem siła bezwładności Coriolisa i odśrodkowa Skutkiem działania tych sił są następujące efekty; Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej, 2. Odchylenie kierunku pionu ciała wiszącego nad Ziemią na pewnej wysokości, 3. Wpływ sił Coriolisa na kierunek wiatrów, 4. Obrót płaszczyzny wahań wahadła Foucault, 5. Odchylenie toru przy spadku swobodnym, 6. Przyjęcie przez Ziemię kształtu geoidy.

Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej Siła odśrodkowa jest największa na równiku, a na biegunie wynosi 0. Wypadkowe przyspieszenie ziemskie będzie równe  r R  aOd g g0 Wpływ przyspieszenia odśrodkowego: aOd g g0

Wahadło Foucault'a 1851 r. Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca się z prędkością kątową w Warszawie ( = 52º): Dla startu z położenia równowagi Dla startu z położenia maksymalnego wychylenia

Odchylenie toru przy spadku swobodnym