Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Szamotułach ID grupy: 97/74_MF_G1 Opiekun: Daniel Kuzara Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Konstrukcje cyrklem Semestr/rok szkolny: IV semestr 2011/2012

Konstrukcje cyrklem

Konstrukcje klasyczne Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

3 problemy starożytnych TRYSEKCJA KĄTA (podział kąta na 3 równe części) PODWOJENIE SZEŚCIANU (wyznaczenie boku sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) KWADRATURA KOŁA (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła)

Trysekcja kąta Problem polegający na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i linijki.

Wówczas proste OA i l przetną się tworząc trysekcję kąta Konstrukcję tą można wykonać za pomocą konstrukcji Archimedesa. Wykonanie konstrukcji 1.Nakreślenie okręgu o środku O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta i promieniu r = XY. 2.Punkty przecięcia okręgu z ramionami oznacza się przez A i B. 3.Prowadzenie prostej OA oraz prostej l za pomocą linijki, tak aby jeden z zaznaczonych na niej punktów X należał do prostej OA, zaś drugi - punkt Y do okręgu i tak by prosta l przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i l przetną się tworząc trysekcję kąta

Podwojenie sześcianu Wg greckiej legendy dotyczącej zarazy w Delos, choroba miała ustać w momencie wybudowania 2 razy większego ołtarzu boga Apollina w świątyni w Delfach. Stwierdzono wtedy, że należy wybudować ołtarz 2 razy większy zachowując jego kształt – sześcian.

Rozwiązanie klasyczne problemu (za pomocą cyrkla i linijki) nie jest możliwe. Można tutaj jednak użyć metod nieklasycznych. Np. konchoidografu i konchoidy Nikomedesa lub cysoidy Dioklesa W przypadku podwojenia sześcianu problem sprowadza się do zbudowania pierwiastka 3 stopnia z liczby 2. Nie jest to jednak możliwe: jest liczbą algebraiczną stopnia 3. Zaś wg teorii,dana liczba daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jej stopień nad ciałem liczb wymiernych jest naturalną potęgą liczby 2.

Kwadratura koła Problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

W roku 1837 francuski matematyk Pierre Wantzel udowodnił za pomocą swojego twierdzenia, że konstrukcja kwadratury koła jest niewykonalna za pomocą cyrkla i linijki. Z kolei w roku 1882 Niemiec Ferdinand Lindemann udowodnił że pi jest liczbą przestępną. Ostatecznie wyjaśniło to niemożność wykonania kwadratury koła.

Twierdzenie mohra-mascheroniego Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Odkryte przez Georga Mohra w roku 1672. Niezależnie odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

Trochę o cyrklu….. - Z łacińskiego „circulus”– koło, okrąg. - Za jego pomocą można rysować okręgi i odkładać odcinki -Służy również do kreślenia rysunków na papierze, brystolu, kalce technicznej oraz do trasowania odcinków.

Rodzaje cyrkli - cyrkiel uniwersalny - zerownik (do kreślenia okręgów o małych średnicach) - elipsograf (do kreślenia elips) - kroczek (do odmierzania małych odcinków na mapach) - cyrkiel drążkowy (do kreślenia okręgów o dużych średnicach)

Cyrkiel ma swoje zastosowania w: - symbolice Jest symbolem całkowitego ładu i rozpraszania oraz obok węgielnicy jest symbolem masonerii. - heraldyce Tutaj przykładem jest flaga NRD

Budowa cyrkla

Budowa zerownika

Cyrkiel eliptyczny

KILka konstrukcji …

Konstrukcja symetralnej odcinka AB Dany jest odcinek AB Wybieramy r > ½ AB Rysujemy o(A,r) Rysujemy o(B,r) Otrzymujemy punkty C i D przecięcia tych okręgów Rysujemy prostą CD

Konstrukcja dwusiecznej kąta Dany jest kąt BAC Zakreślamy okrąg o środku A i dowolnym promieniu Otrzymujemy punkty B’ i C’ przecięcia tego okręgu z ramionami kąta Konstruujemy symetralną odcinka B’C’ Część wspólna tej symetralnej i kąta BAC jest poszukiwaną dwusieczną

Konstrukcja ośmiokąta foremnego - Rysujemy cyrklem dowolny okrąg o środku O, na obwodzie okręgu zaznaczamy dowolny punkt P, który będzie środkiem drugiego okręgu o tym samym promieniu. Łączymy odcinkiem punkty przecięcia się okręgów oznaczone literami A i N. Teraz rysujemy trzeci okrąg również o tym samym promieniu i środku w punkcie N (na rysunku kolor czerwony). Zaznaczamy literą Q punkt przecięcia się odcinka AN z narysowanym okręgiem o środku N. Następnie z punktu O rysujemy półprostą przechodzącą przez punkt Q. Punkt przecięcia się tej półprostej z pierwszym narysowanym okręgiem oznaczamy literą H. Wyznaczony w ten sposób odcinek AH jest bokiem ośmiokąta foremnego, który może być wpisany w okrąg o środku O. - Wyznaczony odcinek AH odkładamy cyrklem na obwodzie naszego wyjściowego okręgu otrzymując osiem wierzchołków ośmiokąta foremnego ABCDEFGH.

Konstrukcja podziału odcinka na n-równych części

Konstrukcja podziału odcinka na n-równych części 1.Od punktu A danego odcinka AB narysować (najlepiej pod kątem ostrym) półprostą a. 2.Odłożyć na niej (najlepiej przy pomocy cyrkla) n równych odcinków. 3. Punkt ostatni połączyć z końcem B odcinka AB. 4. Przesunięciem równoległym (podobnie jak w twierdzeniu Talesa) wyznaczać kolejne odcinki na odcinku AB.

Inwersja Jest rodzajem przekształcenia geometrycznego. - Można ją sobie wyobrazić jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza.

KILKA OBRAZÓW INWERSJI

Punkt   jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku   na punkt  Punkt  P jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku O na punkt P’ 

Inwersja względem okręgu o środku O przekształca okrąg przechodzący przez punkt  O na prostą nieprzechodzącą przez ten punkt (i odwrotnie).

Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek   okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt. Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek  O okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt.