Kwazikryształy o symetrii ikozaedrycznej Czynnik strukturalny i obraz dyfrakcyjny (1) Radosław Strzałka Katedra Fizyki Materii Skondensowanej WFiIS AGH Promotor: prof. dr hab. Janusz Wolny 31.03.2011

Plan prezentacji Kwazikryształy w 3D – symetria ikozaedryczna Reprezentacja grupowa struktur ikozaedrycznych i przykłady rzeczywistych układów Metoda opisu wielowymiarowego Metoda średniej komórki elementarnej – definicja na przykładzie ciągu Fibonacciego. Czynnik strukturalny – 3 metody obliczenia Obraz dyfrakcyjny niedekorowanej struktury ikozaedrycznej.

Kwaziperiodyczność – na przykladzie 2D Penrose Tiling – model for 2D QCs

Kwazikryształy – symetria ikozaedryczna Aperiodyczne układy krystaliczne o zabronionej symetrii przy zachowaniu dalekozasięgowego uporządkowania. Al-Cu-Fe

Teoria grup a i-QCs. Struktury Ogólna klasa Lauego symetrii: 𝒎 𝟑 𝟓 2 grupy punktowe 3D: 𝟐 𝒎 𝟑 𝟓 oraz 𝟐𝟑𝟓 Odpowiada temu 11 grup przestrzennych w 6D Fazy ikosaedryczne mogą mieć komórki Bravais'go (w 6D) proste (P), centrowane w środku (I) i na ścianach (F). Hipersześcian 6D ma 64 wierzchołki i 240. Liczebność równoważnych punktów wynosi: dla sieci P-1, I-2, F-16. Najpopularniejsze struktury: Al-Mn, Al-Cu-Li (i-Al5.70Cu1.08Li3.22, i-Al6CuLi3), Zn-Mg (i-Zn40Mg35Ga25, i-Zn76Mg17Hf7, i-Zn65Mg26Ho9), Al-Cu-(Fe,Ru,Os) oraz Al-Pd-TM(i-Al70.5Pd21Mn8.5)

Opis sześciowymiarowy Szóstkę wektorów ai* traktujemy jako projekcje wektorów bazowych 6D przestrzeni V* na 3D podprzestrzeń V*||. Baza odwrotna: Bazę przestrzeni prostej 6D otrzymamy z relacji ortogonalności

Powierzchnia atomowa Jest to rzut 6D przestrzeni prostej na 3D podprzestrzeń (tzw. prostopadłą) przez okno zdef. przez macierz bazową. Ogranicza ona możliwe pozycje atomowe z przestrzeni 6D. Trzeba tylko umieć wyznaczyć możliwe rozkłady pozycji, w których rzeczywiście będą atomy.

Generowanie indeksów, rzutowanie for(i=-I;i<=I;i++) for(j=-I;j<=I;j++) for(k=-I;k<=I;k++) for(l=-I;l<=I;l++) for(m=-I;m<=I;m++) for(n=-I;n<=I;n++) { x_perp = W[3][0]*i+W[3][1]*j+W[3][2]*k+W[3][3]*l+W[3][4]*m+W[3][5]*n; y_perp = W[4][0]*i+W[4][1]*j+W[4][2]*k+W[4][3]*l+W[4][4]*m+W[4][5]*n; z_perp = W[5][0]*i+W[5][1]*j+W[5][2]*k+W[5][3]*l+W[5][4]*m+W[5][5]*n; x_par = W[0][0]*i+W[0][1]*j+W[0][2]*k+W[0][3]*l+W[0][4]*m+W[0][5]*n; y_par = W[1][0]*i+W[1][1]*j+W[1][2]*k+W[1][3]*l+W[1][4]*m+W[1][5]*n; z_par = W[2][0]*i+W[2][1]*j+W[2][2]*k+W[2][3]*l+W[2][4]*m+W[2][5]*n; if (test(x_perp,y_perp,z_perp)) { fprintf(points, "% d % d % d % d % d % d\t % f\t% f\t% f\t% f\t% f\t% f\n", i,j,k,l,m,n,x_perp,y_perp,z_perp,x_par,y_par,z_par); //printf("%lf\t%lf\t%lf\n", x_par, y_par, z_par); //system("PAUSE"); }

Metoda średniej komórki elementarnej 𝒓 𝒊 || = 𝑝 𝑖 𝛼 𝑖 + 𝒖 𝒊 , 𝜶 𝒊 =2𝜋/ 𝒌 𝒊 Rozkład P(ux,uy,uz) nazywamy średnią komórką elementarną (AUC). Ze względu na aperiodyczność ułożenia Ammana, z rozkładem P(ux,uy,uz) związany jest inny rozkład P(vx,vy,vz), odpowiadający sieci o stałej 𝜷 𝒊 , dłuższej τ-razy, i wektorowi qi. Rozkład P(ux,uy,uz,vx,vy,vz) jest niezerowy tylko wzdłuż linii vi=-2ui.

Średnia komórka elementarna

Czynnik strukturalny dla zbioru Ammana Czynnik strukturalny jest transformatą Fouriera położeń atomowych. Całka po triakontaedrze rombowym 𝑭 𝑸 =𝑽 𝟎 𝟏 𝒆 𝒊 𝒒 𝟏 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝟏− 𝒙 𝟏 𝒆 𝒊 𝒒 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟎 𝟏− 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒆 𝒊 𝒒 𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑 Metody: (1) całka po powierzchni atomowej (teoretyczna) (2) całka po AUC (3) całka numeryczna 𝐹 𝑄 = 𝑒 −𝑖 𝑄 𝑟 𝑑 3 𝑟

Obraz dyfrakcyjny Obliczenia numeryczne Obliczenia teoretyczne (pow. atomowa) Metoda AUC

Obraz dyfrakcyjny Obliczenia numeryczne Obliczenia teoretyczne (pow. atomowa) Metoda AUC

Metoda średniej komórki elementarnej - podsumowanie Zaletą metody średniej komórki elementarnej jest opis struktur kwazikrystalicznych prowadzony tylko w 3D przestrzeni równoległej (fizycznej). Obraz dyfrakycjny z metody AUC zgadza się z obliczeniami numerycznymi i prowadzonymi w przestrzeni prostopadłej.

Outlook Do opisu dowolnych struktur ikozaedrycznych należy poznać rozkłady pozycji atomowych wewnątrz powierzchni atomowej. W tym celu trzeba znaleźć możliwe położenia grubych i cienkich romboedrów. Metodą inflacyjną wypełnia się całą przestrzeń i ustala, w których pozycjach jakie atomy można umieścić. Ale nie ma jednoznacznych reguł inflacyjnych dla ułożenia Ammana. Dal rozkładów romboedrów trzeba ustalić ich dekorację - możliwe położenia wewnątrz romboedrów, sprawdzić numerycznie czy spełniają one warunki na gęstość, minimalną odległość, skład chemiczny, operacje symetrii, możliwe przyleganie ścian romboedrów, oraz czy tworzą one także układ Ammanna. Rzemieślnicza praca krystalografa wymaga czasu.