Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012 Analiza matematyczna III. Funkcje WYKŁAD 6 Pochodne funkcji Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu iloraz różnicowy, pochodne niektórych funkcji elementarnych, pochodne jednostronne funkcji, twierdzenia o pochodnej funkcji, różniczka funkcji, pochodne wyższych rzędów.

Iloraz różnicowy Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0), r>0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadającym przyrostowi Dx, gdzie zmiennej niezależnej nazywamy liczbę:

Iloraz różnicowy y=f(x) x y x0 x0+Dx f(x0) f(x0+Dx) Dx a

Iloraz różnicowy Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej wykresu funkcji f, przechodzącej przez punkty do dodatniej części osi Ox:

Pochodna funkcji w punkcie Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą: lub w postaci równoważnej:

Pochodna funkcji w punkcie Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy także za pomocą symbolu:

Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Pochodna funkcji w punkcie Styczna do wykresu funkcji Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f(x0)) jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty (x0,f(x0)), (x,f(x)), gdy xx0.

Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Pochodna funkcji w punkcie Niech a oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f(x0)) i dodatnią częścią osi Ox. Wtedy: y=f(x) x y x0 f(x0) a

Pochodna funkcji w punkcie Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x0,y0), przy czym obie funkcje mają pochodne właściwe w punkcie x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry  między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

Pochodna funkcji w punkcie Miara kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się wzorem: gdzie x0 jest rzędną punktu przecięcia wykresów. Jeżeli to przyjmujemy, że

Pochodna funkcji w punkcie Warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej funkcji Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą: Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną właściwą funkcji f w punkcie x0.

Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną właściwą na przedziale (a,b), gdzie -a<b, jeżeli ma taką pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja ma pochodną właściwą na przedziale [a,b], gdzie -<a<b<, jeżeli ma taką pochodną w każdym punkcie przedziału otwartego oraz prawostronną pochodną właściwą w punkcie a i lewostronną pochodną właściwą w punkcie b.

Pochodna funkcji na przedziale Pochodna funkcji f na przedziale to funkcja określona na tym przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f ’(x). Pochodną funkcji na przedziale oznaczamy za pomocą symboli:

Pochodna funkcji na przedziale Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x0R. Funkcja f ma w punkcie x0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x0, to:

Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0, zaś funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x0), to:

Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcja f: - jest ciągła na otoczeniu O(x0), - jest ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x0), - ma pochodną właściwą to:

Różniczka funkcji Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0. Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej Dx=x-x0 określoną wzorem: y=f(x) x y x0 x0+Dx f(x0) f(x0+Dx) Dx df Df

Pochodne wyższych rzędów Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie: gdzie oraz przyjmujemy:

Pochodne wyższych rzędów Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f(n)(x), nazywamy pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez:

Pochodne wyższych rzędów Wzór Leibniza Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe n-tego rzędu w punkcie x0, to:

Pochodne funkcji wektorowych Niech będzie funkcją wektorową. Pochodną funkcji r w punkcie t określamy wzorem: Analogicznie określamy pochodną funkcji trzech zmiennych a także pochodne wyższych rzędów.