Modelowanie – Analiza – Synteza Teoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania oraz syntezy praw sterowania (metodologiami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi

System sterowania Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się systemu Obiekt sterowany Układ sterujący System sterowania Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy układ sterowania

Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych „Klasyczna” teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam układ sterowania jako system Klasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny

- Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacje: c.d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia - Otwarty – zamknięty (ze sprzężeniem zwrotnym) Klasyfikacja rozstrzygająca, czy układ sterujący otrzymuje informację o wyjściu obiektu sterowanego Sterownik Obiekt Sterownik Obiekt Zamknięty Otwarty

Podstawy teorii sterowania w przestrzeni stanu Systemy liniowe stacjonarne

Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą:  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

Modele przestrzeni stanu System ciągły; model przestrzeni stanu x – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść

System dyskretny; model przestrzeni stanu x – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść

System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem: gdzie Wyznaczenie rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

Policzmy potęgi A:

Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

Policzmy potęgi A:

Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

Wynik ten można uogólnić na dowolne n

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

Otrzymujemy:

Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

Stąd: Stąd bezpośrednio:

Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

Funkcja przejścia - transmitancja Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

Macierz tranzycji stanu: W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Odpowiedź wyjścia: Pokazaliśmy I sposób obliczania odpowiedzi systemu dyskretnego z modelu przestrzeni stanu Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

Przykład 5 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

- dzielimy licznik przez mianownik

- obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy

 rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat

Przykład 6 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

 bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

- spojrzenie w tablice zatem

Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

Funkcja przejścia - transmitancja Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu