Modelowanie – Analiza – Synteza Teoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania (metodologiami badania cech systemów sterowania) oraz syntezy praw sterowania (metodologiami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi

System sterowania Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się systemu Obiekt sterowany Układ sterujący System sterowania Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy układ sterowania

Podział wielkości wejściowych i wyjściowych dla obiektu sterowanego Wielkości wejściowe obiektu sterowanego Wielkości wejściowe poprzez które realizowane jest sterowanie nazywane są:  wielkości sterujące (sterowania) Wielkości wejściowe nie będące wielkościami sterującymi (mówimy: niesterowalny wpływ otoczenia na system) nazywane są:  wielkości zakłócające (zakłócenia)

Podział wielkości wejściowych i wyjściowych dla obiektu sterowanego – c.d. Wielkości wyjściowe obiektu sterowanego Wielkości wyjściowe determinujące realizację funkcji obiektu sterowanego nazywane są:  wielkości sterowane – bieżące wartości (wyniki, efekty sterowania) Pozostałe obserwowane wielkości wyjściowe nazywane są:  wielkości pomocnicze

Podział wielkości wejściowych i wyjściowych dla obiektu sterowanego – c.d. Zakłócenia Zbiór możliwych zakłóceń Wielkości pomocnicze Sterowania Obiekt sterowany Wielkości sterowane (bieżące wartości) Zbiór sterowań dopuszczalnych Problem sterowania pojawia się, gdy istnieje więcej niż jedna możliwość oddziaływania na system – istnieje zbiór sterowań dopuszczalnych

Podział wielkości wejściowych i wyjściowych dla układu sterującego Wielkości wejściowe i wyjściowe dla układu sterującego Dostępna wiedza o obiekcie sterowanym, celu sterowania i spodziewanych zakłóceniach Wielkości sterowane (pożądane wartości) Układ sterujący Sterowania Wielkości sterowane (bieżące wartości)

Obiekt sterowany + układ sterujący = system sterowania Sposób współdziałania (wzajemnych oddziaływań) obiektu sterowanego z układem sterującym = struktura systemu sterowania

Wielkości zakłócające Zadanie: Utrzymać napięcie zasilania odbiorników w sieci prądu stałego na stałym, zadanym poziomie Uo=24V I rozwiązanie Wielkości zakłócające ωm Io Rz E Iw Φw Wielkość sterowana Wielkość sterująca Obiekt sterowany Układ sterujący

Układ otwarty sterowania W przykładzie: W przykładzie: Dostępna wiedza o obiekcie sterowanym, celu sterowania i wielkościach zakłócających Wielkości zakłócające Wielkości zakłócające Obiekt sterowany Układ sterujący Wielkość sterująca Wielkość sterowana (bieżąca wartość) W przykładzie W przykładzie Układ otwarty sterowania

parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Zadanie 1 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: cel sterowania – stała wartość napięcia zasilania Dla danych: parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Sprawdzić, czy można wybrać taką wartość Iw, aby uchyb sterowania Uε =U0 – U był równy zero

Dla przykładowych danych: Można

zakłócenie na poziomie nominalnym Zadanie 2 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: Dla danych: zakłócenie na poziomie nominalnym zakłócenie zmieniane Dla obliczonego poprzednio Iw, obliczyć wartości U przy zmianach prądu obciążenia Io o 100% w górę i w dół. Obliczyć dla tych przypadków uchyb sterowania Uε =Uo – U

Z uzyskanej uprzednio zależności Dla Io = 0A Niedobrze

Dla Io = 200A Niedobrze

ωm Rz Przyczyna niezadowolenia - zakłócenia II rozwiązanie Io Rz E Φk Iw Φw Obiekt sterowany Układ sterujący

Obiekt sterowany Układ sterujący Dostępna wiedza o obiekcie sterowanym, celu sterowania i wielkościach zakłócających W przykładzie: W przykładzie: Wielkości zakłócające Wielkości zakłócające Obiekt sterowany Układ sterujący W przykładzie Wielkość sterująca Wielkość sterowana (wartość bieżąca) W przykładzie W przykładzie Układ otwarty sterowania z pomiarem wielkości zakłócającej (ze sprzężeniem w przód)

W rozwiązaniu zastosowano: Informacyjne sprzężenie w przód – przekazanie informacji o wartości zakłóceń oddziałujących na obiekt sterowany i/lub układ sterujący do układu sterującego

parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Zadanie 3 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: cel sterowania – stała wartość napięcia zasilania Dla danych: parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Sprawdzić, czy można wybrać taką wartość Iw, aby uchyb sterowania Uε =U0 – U był równy zero

Dla przykładowych danych: Można

zakłócenie na poziomie nominalnym Zadanie 4 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: Dla danych: zakłócenie na poziomie nominalnym zakłócenie zmieniane Dla obliczonego poprzednio Iw, obliczyć wartości U przy zmianach prądu obciążenia o 100% w górę i w dół. Obliczyć dla tych przypadków uchyb sterowania Uε =Uo – U

Z uzyskanej uprzednio zależności Dla Io = 0A Lepiej

Dla Io = 200A Lepiej

ωm Rz III rozwiązanie Obiekt sterowany Układ sterujący Uo Φk  - Io E Ik K5 Uε Iw Φw Obiekt sterowany Układ sterujący

Zależności

Układ zamknięty sterowania (ze sprzężeniem zwrotnym) Dostępna wiedza o obiekcie sterowanym, celu sterowania i wielkościach zakłócających W przykładzie: W przykładzie: Wielkość sterowana (wartość pożądania) Wielkości zakłócające Wielkości zakłócające Wielkość sterowana (wartość bieżąca) Obiekt sterowany Układ sterujący Wielkość sterująca W przykładzie W przykładzie W przykładzie Układ zamknięty sterowania (ze sprzężeniem zwrotnym)

W rozwiązaniu zastosowano: Informacyjne sprzężenie zwrotne – przekazanie informacji o efektach/wynikach sterowania do układu sterującego Ujemne sprzężenie zwrotne – informacja o efektach/wynikach sterowania przeciwdziała niepożądanym zmianom wielkości sterowanej (wielkości sterowanych) System sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym nazywany jest układem regulacji

parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Zadanie 5 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: cel sterowania – stała wartość napięcia zasilania Dla danych: parametry systemu sterowania wartości zakłóceń nominalne Sprawdzić, czy można wybrać taką wartość Iw, aby uchyb sterowania Uε =U0 – U był równy zero

Odpowiedź można szybko podać, bo .....

zakłócenie na poziomie nominalnym Zadanie 6 – jakość sterowania Zadanie sterowania – utrzymać stałą wartość napięcia zasilania na poziomie: Dla danych: zakłócenie na poziomie nominalnym zakłócenie zmieniane Dla obliczonego poprzednio Iw, obliczyć wartości U przy zmianach prądu obciążenia o 100% w górę i w dół. Obliczyć dla tych przypadków uchyb sterowania Uε =Uo – U

oraz Otrzymamy

Ostatecznie Dla Io = 0A

Bardzo dobrze

Dla Io = 200A Bardzo dobrze

Poznaliśmy trzy podstawowe struktury sterowania

Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych „Klasyczna” teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam układ sterowania jako system Klasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny

- Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacje: c.d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia - Otwarty – zamknięty (ze sprzężeniem zwrotnym) Klasyfikacja rozstrzygająca, czy układ sterujący otrzymuje informację o wyjściu obiektu sterowanego Sterownik Obiekt Sterownik Obiekt Zamknięty Otwarty

Podstawy teorii sterowania w przestrzeni stanu Systemy liniowe stacjonarne

Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą:  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

Modele przestrzeni stanu System ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia

System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia

System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Równanie stanu - różniczkowe : Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego, rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego: gdzie

Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego, rozwiązanie szczególne Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS)

Równanie wyjścia - algebraiczne: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu

Funkcja przejścia - transmitancja Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja

Otrzymujemy: Dodatek C: przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu

System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Będziemy przyjmowali: I sposób: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

Macierz tranzycji stanu: W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki Dodatek D – przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów

 rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat Dodatek E – przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste

Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

Funkcja przejścia - transmitancja Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

Dodatek A

Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

Policzmy potęgi A:

Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

Policzmy potęgi A:

Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

Wynik ten można uogólnić na dowolne n

Dodatek B

Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

Otrzymujemy:

Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

Stąd: Stąd bezpośrednio:

Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

Dodatek C

Przykład 5: Transmitancja układu z przykładu 4: Odpowiedź impulsowa:

Dodatek D

Przykład 6 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

- dzielimy licznik przez mianownik

- obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy

Dodatek E

Przykład 7 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

 bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

- spojrzenie w tablice zatem