Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 1/31 Jest to krzywa jaką zakreśla ścigający w pogoni za swoją ofiarą. Przykładem takiej krzywej jest tor jaki zakreśla pies goniący za zającem (inna nazwa - psia krzywa), czy tor myśliwca który ściga wroga, również nowoczesne rakiety poruszają się wzdłuż tej krzywej by uderzyć w cel. Równania te mają ogromne znaczenie w wojsku, NASA, jak również w obserwacjach kosmosu, szczególnie gdy musimy obliczyć czy dane ciało niebieskie uderzy w Ziemię czy tez nie. Zagadnienie to jest jednak zazwyczaj bardzo trudne ponieważ tor pościgu jak również tor ucieczki nie są łatwe do opisania. Dlatego, zazwyczaj można podać odpowiedź na tak postawione zadanie jedynie w przybliżeniu. Zajmiemy się opisem ruchu ścigającego gdy ścigany ucieka po torze prostoliniowym. Pierwszy tym zagadnieniem zajął się Francuz Pierre Bouguer. Ojciec Jean Bouguer nauczył syna Pierre'a matematyki i przedmiotów które wykładał. Pierre okazał się zdolnym uczniem. Po śmierci ojca Pierre objął po nim profesurę. W 1727 wygrywał główną nagrodę Królewskiej Akademii Nauki za konstrukcje masztów. Dwa lata później znowu wygrał wielką nagrodą, jak również w roku 1731 za pomiary pola magnetycznego na morzu. Został przyjęty na pełnoprawnego członka Królewskiej Akademii Nauk. W 1732 Bouguer studiował krzywe gonitwy wykazując się głębokim zrozumieniem matematyki. Zajmował się również astronomia i fotometrią. Porównywał jasność światła odbitego od księżyca z jasnością świecy. Na tej podstawie był w stanie podać zależności znane dzisiaj jako prawo Bouguer–Lamberta: "Natężenie I światła (lub innego promieniowania elektromagnetycznego) maleje wykładniczo z odległością d, na jaką wchodzi ono do ośrodka pochłaniającego, czyli I = I0exp(–md) gdzie I0 oznacza natężenie promieniowania wchodzącego do ośrodka, a m współczynnik absorpcji." Nazwa pochodzi od nazwisk Pierre'a Bouguer (1698–1758) oraz Johanna Heinricha Lamberta (1728–77) Wstęp Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 2/31 Niech punkt P porusza się ze stałą prędkością wzdłuż osi 0x, w kierunku dodatniego wzrostu wartości na osi 0x. Gdy punkt P znajduje się w punkcie 0, punkt M0(0,a), gdzie a>0, zaczyna poruszać się po płaszczyźnie 0xy ze stałą prędkością tak aby w punkcie M(x,y) płaszczyzny wektor prędkości był skierowany do punktu P (np. pies M goni zająca P).Trajektorie K punktu M nazywamy krzywą pogoni. M0(0,a) M(x,y) Definicja K y x α x v1t-x P0 MX P(v1t,0) P1(x1,0) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 3/31 Znajdziemy równanie krzywej pogoni K oraz odciętą x1 punktu P1, w którym punkt M dogoni punkt P, a także czas T trwania pogoni. Niech w trójkącie MMxP będzie kąt MPMx= Wtedy α Równanie różniczkowe 1/3 Ponieważ , więc, skąd Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 4/31 Obliczając pochodną po x z powyższego wyrażenia na czas otrzymujemy: Korzystam ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji: Równanie różniczkowe 2/3 (1) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 5/31 Twierdzenie. Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale domkniętym <a,b>, to długość łuku S linii o równaniu y=f(x), gdzie , wyraża się następującym wzorem: Twierdzenie o długości krzywej Ponieważ więc, (2) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 6/31 Porównując ze sobą wzory (1) i (2) otrzymujemy (1) Równanie różniczkowe 3/3 (2) (3) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 7/31 Ponieważ równanie (3) nie zawiera argumentu x poszukiwanej funkcji y=y(x), zastosujemy podstawienie: ; (3) Podstawienie funkcja u(y) Po podstawieniu (4) do (3) i po następujących przekształceniach otrzymujemy: (5) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 8/31 Równanie (5) możemy rozłożyć na dwa równania: (6) (5) (7) Rozkład równania różniczkowego Poszukiwane rozwiązanie powinno spełniać warunki początkowe , Więc jeżeli ,to i otrzymujemy ruch wzdłuż osi 0x. (W równaniu (4) podstawiliśmy jeżeli to ) Rozwiązanie nie spełnia warunku początkowego . Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 9/31 Rozdzielam zmienne w równaniu (7): (7) Rozdzielenie zmiennych (8) Po rozdzieleniu zmiennych możemy obliczyć całki lewą po u i prawą po y Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 10/31 Całkę po lewej stronie rozwiązujemy w następujący sposób: Wykorzystujemy następujące podstawienie: Rozwiązywanie całek 1/3 I sprowadzamy całkę do postaci następującej: Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 11/31 Całka stojąca po lewej stronie równania (podstawiamy odpowiednio u i du): Równanie Rozwiązywanie całek 2/3 Dla u<0 funkcje są identyczne (9) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 12/31 Całka stojąca po prawej stronie równania: Równanie (10) Całe równanie sprowadza się do: Rozwiązywanie całek 3/3 (11) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 13/31 Z warunku początkowe w chwili t=0, punkty M i P znajdują się na osi 0y (rzędna punktu M jest równa a). W punkcie (4) stosowaliśmy podstawienie W tym momencie mamy .Równanie (11) przechodzi w równanie następujące skąd obliczamy stałą Warunek początkowy C1 (12) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 14/31 Po podstawieniu (12) do (11) otrzymujemy: (11) R. R. z warunkiem początkowym 1/2 (12) c.d.n. Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 15/31 R. R. z warunkiem początkowym 2/2 (13) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 16/31 Po obliczeniu całek otrzymujemy: Obliczamy całki Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 17/31 (14) Stałą C2 otrzymujemy z (14), wykorzystując warunek początkowy , mianowicie Obliczamy stała C2 1/2 c.d.n. Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 18/31 Obliczamy stałą C2 2/2 Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 19/31 Otrzymane równanie po podstawieniu do (14) daje ostatecznie równanie krzywej pogoni w postaci: (15) Równanie krzywej pogoni Jeżeli stosunek prędkości , to punkt M nie dogoni punktu P i krzywa pogoni będzie asymptotycznie zbliżać się do prostej y=0. Na przykład jeżeli to z (15) Mamy: skąd , czyli oś 0x jest asymptotą krzywej. Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 20/31 Jeżeli stosunek prędkości to punkt M dogoni P w punkcie P1(x1,0), przy czym x1 otrzymamy, podstawiając y=0 do (15) Czas pogoni (16) Czas pogoni wynosi: (17) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 21/31 Jeżeli jest liczba wymierną, to krzywa pogoni jest krzywą algebraiczną. Jeżeli k jest liczbą niewymierną, to krzywa pogoni jest krzywą przestępną. W szczególności dla k=2 krzywa pogoni staje się krzywą algebraiczną trzeciego stopnia, mianowicie trójsieczną Tschirnhausa. (a=10) trójsieczna Tschirnhausa Jeżeli k=1, krzywa pogoni jest krzywą przestępną. Równanie różniczkowe krzywej z (13) jest postaci: Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 22/31 Krzywa przestępna k=1 1/2 Otrzymujemy następujące równanie dla k=1: (18) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 23/31 Ponieważ dla x=0 jest y=a, więc możemy obliczyć wartość stałej C: Krzywa przestępna k=1 2/2 Otrzymujemy zatem następujące równanie dla k=1: (19) Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 24/31 Jeżeli przemianować oś 0x na 0y, oś 0y na –oś 0x oraz przesunąć nową oś 0x do punktu M0, otrzymamy krzywa pogoni o równaniu: (20) Transformacje układu odniesienia 1/3 Kolejne kroki powyższego przekształcenia pokazane są poniżej: Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 25/31 1.Wykres i wzór początkowy na podstawie którego wyprowadzone zostały wszystkie wzory 2.Po zamianie 0x na 0y i 0y na 0x + (Obrót o 90°) Transformacje układu odniesienia 2/3 y y P1(0,y1) M0(0,a) M(x,y) P(0,v1t) K α K v1t-y y M(x,y) My x α x v1t-x P0 MX P(v1t,0) P1(x1,0) x M0(a,0) P0 Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 26/31 Następnie przenosimy punkt M0 na początek układu współrzędnych, czyli przenosimy wykres o a w prawo zmieniając jednocześnie kierunek osi x, czyli zmieniamy x na –x i dodajemy do x wartość a( translacja o wektor [a,0]), by przenieść wykres o a w prawo: y P1(0,y1) Transformacje układu odniesienia 3/3 P(0,v1t) (20) K α v1t-y M(x,y) My M0(a,0) a x P0 Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 27/31 Z równania (19) dla k=1 a=10 otrzymujemy równanie przestępne postaci: (21) Przykłady krzywych 1/3 Dla k=2 otrzymujemy równanie algebraiczne trzeciego stopnia: (22) które przedstawia trójsieczną Tschirnhausa.Wykres powstał dla a=10 i k=2 Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 28/31 Wykres powstał dla a=10 i k= Przykłady krzywych 2/3 Wykres powstał dla k=<1,3>co 0.2, a=10. Najwyższy wykres dla k=1 posiada asymptotę pionową x=10 Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 29/31 Wykres powstał dla k=<0.1,1>co 0.1 a=10 Najbliższy osi y wykres, jest dla k=0.1. Są to przypadki torów ruchu dla których ścigany nigdy nie dogoni ofiary (czerwone) Przykłady krzywych 3/3 Jest to powyższy wykres dla k=<0.1,5> co 0.1 dla a=10.Czerwony wykres dla k<1 i k=1stopniowo przechodzi w typowa krzywą pościgowa dla k>1(niebieskie) przy której ścigający dogania ofiarę. Widać, że im większe jest k czyli stosunek prędkości ścigającego do prędkości ofiary, tym szybciej ścigany zostaje złapany. Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 30/31 W każdym narożniku kwadratu umieszczamy jednego ścigającego. Wszyscy mają na celu swojego sąsiada stojącego po lewej stronie(patrz. Z rogu do środka). Robiąc zdjęcia w regularnych odstępach czasu stwierdzamy, że wyznaczywszy styczną i prostopadłą do niej w danej chwili i punkcie toru, uzyskujemy, po połączeniu wszystkich stycznych i prostopadłych ponownie kwadrat obrócony o pewien kąt. Prosta, która jest styczną do toru jednego ścigającego jest jednocześnie prostopadłą do toru swojego ściganego. Jeżeli teraz cztery osoby staną w narożnikach kwadratowego boiska, każda będzie miała na oku osobę stojąca po lewej stronie i wszyscy ruszą w jednym momencie ze stałą i jednakową prędkością ku sobie, to osoby te zakreślą spiralne ścieżki pokazane na rysunku obok. Zasady tworzenia krzywych: Krzywa pościgu dla kwadratu 1. Narysuj kwadrat. Każdy z czterech ścigających startuje ze swojego narożnika 2. Zaznacz punkty na kwadracie jakie osiągnęli ścigający po upływie tego samego czasu, poruszając się z jedną stała prędkością i startując jednocześnie 3. Połącz nowe punkty rysując styczne do torów w tych punktach. Powstanie nowy kwadrat 4. Na nowym kwadracie zaznacz punkt leżący w tej samej odległości od początku nowego kwadratu co poprzedni punkt od startu i stwórz kolejny kwadrat 5. Kontynuuj tą procedurę aż nie będziesz w stanie narysować więcej kwadratów Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 31/31 Sytuacja jest podobna jak w kwadracie. W narożnikach trójkąta równobocznego rozstawiono ścigających. Po uwzględnieniu tych samych warunków co poprzednio, stwierdzamy że ścigający spotkają się w samym środku trójkąta. Ten punk nazywa się punktem Brocard’a od nazwiska francuskiego oficera Henri Brocard'a (1845-1922). Okazuje się że każdy trójkąt posiada dwa punkty Brocard’a. W przypadku trójkąta równobocznego te punkty po prostu leżą w tym samym miejscu. Krzywa pościgu dla trójkąta Brocard znalazł punkty nazwane jego imieniem studiując problem trzech psów goniących siebie nawzajem. Zajmował się trójkątami różnymi od równobocznych, wymuszając by psy spotkały się w jednym punkcie w tym samym czasie (the Brocard point). Punkt P jest punktem Brocard’a jeżeli Bibliografia Eugeniusz Niczypowicz: „Krzywe płaskie wybrane zagadnienia z geometrii analitycznych równań różniczkowych” http://www.maa.org/mathland/mathtrek_7_23_01.html Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski