Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Usługowo – Gospodarczych w Pleszewie Zespół Szkół Nr 5 w Szczecinku ID grupy: 97_18_MF_G1; 97_41_MF_G1 Opiekun: Magdalena Karczewska, Dariusz Miśko Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Ciąg liczbowy Fibonacciego Semestr/rok szkolny: IV i V 2011/2012

CIĄG FIBONACCIEGO

Leonardo Fibonacci był Pizańczykiem; urodził się około 1175 r Leonardo Fibonacci był Pizańczykiem; urodził się około 1175 r. zmarł w 1250 r., włoskim matematykiem, któremu zawdzięczamy rozwój matematyki na przełomie XII i XIII wieku. Pierwsze lekcje matematyki pobierał Fibonacci w kolonii włoskiej  na północy Afryki, w portowym mieście, którego szefem był ojciec Leonarda. 12- wieczny student szybko pojmował wiedzę od swojego arabskiego nauczyciela, dlatego nauka zawiodła go w takie miejsca jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W 1202 roku napisał on swoje głośne dzieło Liber Abaci, co znaczy Księga Rachunków. Było to dzieło napisane po łacinie zawierające dorobek arytmetyki i algebry. Była to jedna z pierwszych książek opierająca się na dziesiątkowym systemie liczenia.

Spośród wszystkich ciągów liczbowych, ciąg Fibonacciego jest szczególnie interesujący. Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Kolejne wyrazy tego ciągu to: Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego, jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F1=1 F2=1 Kolejne wyrazy tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181… Fibonacci nawet nie zdawał sobie sprawy, że wzmianka o ciągu który umieścił na marginesie księgi „Liber Abaci” opisuje tak wiele zjawisk w przyrodzie. Ponadto ściśle wiąże się z geometrią i sztuką – techniką rekurencji (zjawiska oparte na nim sprawiają, że są atrakcyjne dla ludzkich zmysłów).  Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów ciąg Fibonacciego okazał się najciekawszy i niezwykle „popularny” w otaczającym nas świecie.

Obliczanie Wyrazów ciągu Fibonacciego Ciąg Fibonacciego można wyliczyć wprost z definicji, obliczamy wartości ciągu po kolei – F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie. 

Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Liczby Fibonacciego są sumami liczb z przekątnych w trójkącie Pascala.

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą:  Φ = 1,6180339887498948482... Czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania :

? Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to liczby pierwsze a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229.. Wydaje sie, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie został rozstrzygnięty. 233 3 5 2 13 89

! ! ! ! Są tylko dwie liczby Fibonacciego ,które są kwadratami: ! ! Są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są sześcianami: 1 i 8 ! !

Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. Każda liczba całkowita może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego 1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55

Złoty podział odcinka To podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Krok 1 Rysujemy odcinek AB

Rysujemy prostą x prostopadłą do odcinka AB Krok 2 Rysujemy prostą x prostopadłą do odcinka AB

Krok 3 Na prostej x wyznaczamy odcinek BC, który jest połową długości odcinka AB

Krok 4 Łączymy punkty A i C

Krok 5 Rysujemy łuk o środku w punkcie C i promieniu BC, punkt przecięcia łuku z odcinkiem AC oznaczamy jako D

Krok 6 Rysujemy łuk o środku w punkcie A i promieniu AD, punkt przecięcia tego łuku z odcinkiem AB oznaczamy jako E

W ten sposób wyznaczyliśmy złotą proporcję odcinka AB (w punkcie E odcinek AB podzielony jest według złotego podziału). Złoty podział innymi słowy to podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej.

Złotą proporcję (wartość złotej liczby φ) można wyznaczyć algebraicznie z definicji. Posłużymy się przy tym rysunkiem uproszczonym złotego podziału odcinka.

Jeżeli równanie to ( ) pomnożymy obustronnie przez φ i sprowadzimy do uporządkowanej postaci ogólnej równania kwadratowego to otrzymamy: Równanie to ma dwa rozwiązania rzeczywiste: jedno z nich jest dodatnie i jest to wartość złotej liczby φ:

Konstrukcja złotego prostokąta Złotym prostokątem nazywamy taki prostokąt w którym stosunek boków (boku dłuższego do boku krótszego) wynosi φ. Krok 1 Rysujemy kwadrat ABCD

Wyznaczamy środek boku AB (oznaczamy go jako E). Krok 2 Wyznaczamy środek boku AB (oznaczamy go jako E).

Krok 3 Przedłużamy bok AB

Łączymy odcinkiem punkty C oraz E Krok 4 Łączymy odcinkiem punkty C oraz E

Krok 5 Z punktu E rysujemy łuk o promieniu EC do przecięcia z przedłużeniem boku AB (punkt przecięcia oznaczamy jako F)

Krok 6 Na przedłużeniu boku DC odkładamy odcinek BF (punkt po odłożeniu oznaczamy jako G)

Krok 7 Łączymy punkty F i G. Otrzymany prostokąt AFGD jest złotym prostokątem.

Liczby Lucasa

Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: L0 = 2 L1 = 1 Ln = Ln-1 + Ln-2,   dla n > 1 Początkowe wartości ciągu Lucasa to: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ...

Niech Fn oznacza n-tą liczbę ciągu Fibonacciego Niech Fn oznacza n-tą liczbę ciągu Fibonacciego. W ciągu Lucasa zachodzą równości: Ln = Fn-1 + Fn+1 5Fn = Ln-1 + Ln+1 F2n = LnFn Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału Φ= 1,6180339887498948482..., a stosunek LnFn między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do 5. Ciągi Lucasa zostały zdefiniowane w końcu XIX wieku przez Edouarda Lucasa i służą do wyszukiwania liczb pierwszych. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania.

ciąg fibonacciego w otaczAjącym nas Świecie

Liczby tworzące ciąg Fibonacciego często odwzorowywane są otaczającym nas świecie. Najlepszym tego przykładem są spiralne muszle ślimaków, ale również ciąg liczb Fibonacciego odnajdziemy w łuskach szyszek, ananasa, słoneczniku czy kalafiorze. Jednym słowem: matematyka jest wszędzie wokół nas, wystarczy się rozejrzeć.

Co ma wspólnego ciąg Fibonacciego z królikami? Pierwszy miesiąc: jedna para królików rodzi nową parę królików. Razem: 2 pary królików. Drugi miesiąc: dwie pary królików plus nowa para królików. Razem: 3 pary królików. Trzeci miesiąc: trzy pary królików plus 2 urodzone. Razem: 5 par królików. Czwarty miesiąc: pięć par królików plus 3 urodzone. Razem: 8 par królików. Piąty miesiąc: osiem par królików plus 5 urodzonych. Razem: 13 par królików. itd. Kolejne liczby tworzą nam kolejne liczby ciągu Fibonacciego!

Występowanie liczb Fibonacciego w naturze Przyjęte przez Fibonacciego reguły rozmnażania się stada królików można tak przeformułować, by odnosiły się do rozrastania się innych istot lub obiektów natury, na przykład drzew. Na rysunku poniżej jest pokazane drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż rozmnażanie się stada królików - biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.

Liczba płatków wielu kwiatów, w tym popularnej stokrotki, jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi 3, lub 5, lub 8, lub 13, lub ... Zastanawiające jest, skąd komórki "wiedzą", że liczba płatków w kwiatach ma być liczbą Fibonacciego i w jaki sposób ta "informacja„ rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko, to nazywa się w botanice filotaksją, dosłownie - "układem liści".

Najbardziej znanymi przykładami występowania liczb Fibonacciego w naturze są układy łusek na szyszkach i układy pestek w tarczach słoneczników. Łuski tworzą spirale prawoskrętne i lewoskrętne (np..jest 8 - lewoskrętnych i 13 - prawoskrętnych). Nie zawsze szyszki nawet tego samego gatunku sosny mają taką samą liczbę spiral, nie zawsze również przeważają lewoskrętne czy prawoskrętne. Ale, z wyjątkiem kilku procent "odszczepieńców", łuski na większości szyszek układają się wzdłuż spiral, których liczby są ściśle związane z kolejnymi liczbami Fibonacciego. Podobnie, jak łuski na szyszkach, układają się pestki w tarczy słonecznika - również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomen układu łusek na szyszce lub pestek na tarczy słonecznika można uzasadnić tym, że natura dba o jak najlepsze "upakowanie" jednych i drugich, by się ich zmieściło jak najwięcej lub by zajmowały jak najmniej miejsca. Taka zwartość budowy rośliny może być pewnego rodzaju ochroną przed łatwym ich rozpadem na części. Ale co z tym wspólnego mają liczby Fibonacciego? Czy upakowanie innej liczby spiral (ale tej samej liczby łusek czy pestek) jest mniej ciasne? Na ile kod genetyczny, którym posługuje się natura, jest zapisany liczbami Fibonacciego?

Przykładem spirali Fibonacciego w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: Widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.

Źródła http://sprawdzian.net.pl/fibonacci.html http://www.youtube.com/watch?v=M16GINf8A50 http://swiatmatematyki.pl/index.php?p=50 http://www.math.edu.pl/liczby-lucasa http://free.of.pl/f/fibonacci/wystepowanie.html