Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka wyposaża nas w coś, jakby nowy zmysł.” Charles Robert Darwin

FIGURY PRZYSTAJĄCE. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW. Matematyka „nie lubi” niedomówień i nieścisłych definicji, dlatego zawsze szuka jak najprostszych określeń, niestety nie zawsze to co jest prostsze dla matematyki jest proste dla nas. O figurach przystających moglibyśmy powiedzieć po prostu „takie same”, jednak w kontekście matematycznym musimy użyć dokładniejszej charakterystyki.

Figura A przystaje do figury A’. FIGURY PRZYSTAJĄCE. O dwóch wielokątach mówimy, że są przystające, jeżeli odpowiadające sobie odcinki mają tę samą długość oraz odpowiadające sobie kąty są równej miary. a f e d c b A’ A a e d c b f Figura A przystaje do figury A’.

FIGURY PRZYSTAJĄCE. Jeżeli wycieli byśmy z płaszczyzny figury przystające to po przyłożeniu do siebie pokrywałyby się idealnie – przystawały by do siebie. Narysowane kształty są figurami przystającymi.

TRÓJKĄTY PRZYSTAJĄCE. Trójkąty mają wiele ciekawych własności, także jeżeli chodzi o przystawanie. To, czy trójkąty są przystające, można stwierdzić na podstawie jednej z trzech cech przystawania trójkątów.

CECHY PRZYSTAWANIE TRÓJKĄTÓW. CECHA BOK-BOK-BOK (bbb) Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

CECHY PRZYSTAWANIE TRÓJKĄTÓW CECHA BOK-KĄT-BOK (bkb) Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające.

CECHY PRZYSTAWANIE TRÓJKĄTÓW CECHA KĄT-BOK-KĄT (kbk) Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

PRZYKŁADY PRZYKŁAD 1. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że boki obu trójkątów mają identyczne długości więc na mocy cechy bbb trójkąty te są przystające.

PRZYKŁADY PRZYKŁAD 2. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że kąt między bokami o tej samej długości w obu trójkątach ma tę samą miarę więc na mocy cechy bkb te trójkąty są przystające.

PRZYKŁADY PRZYKŁAD 3. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że jeden bok w obu trójkątach ma tę samą długość a kąty do niego przylegające mają równą miarę więc na mocy cechy kbk te trójkąty są przystające.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że kąty między bokami o tej samej długości różnią się miarą, więc na mocy cechy bkb trójkąty te nie są przystające.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Trójkąty przedstawione na rysunku są przystające. Jakie miary mają kąty przy wierzchołku D i F? Skoro trójkąty są przystające, ich kąty mają równe miary. Przy boku o długości 3,5 w obu trójkątach muszą znajdować się kąty o identycznych miarach.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Z powyższego wynika, że miara kąta przy wierzchołku D wynosi 71°, natomiast miara kąta przy wierzchołku F wynosi: 180° - 71° - 49° = 60°

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Proste k i l są równoległe. Punkt C jest środkiem odcinka DB. Uzasadnij, że |DE|=|AB| i |AC| = |CE|. Przystawanie trójkątów jest przydatnym narzędziem do rozwiązywania problemów, w których należy coś udowodnić lub uzasadnić.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Kąty BCA oraz DCE jako kąty wierzchołkowe mają równe miary. |DC| = |CB| ponieważ punkt C jest środkiem odcinka BD. Wobec powyższych faktów, trójkąty ABC oraz DCE na mocy cechy kbk są trójkątami przystającymi, stąd wynikają równości |DE|=|AB| i |AC| = |CE|.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Uzasadnij, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające. Jest to równoległobok, więc |AB| = |CD| oraz |BC| = |AD|.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Kąty zaznaczone na rysunku mają równe miary - <A i <D jako kąty naprzemianległe, natomiast <D i <C jako kąty odpowiadające. Wobec powyższych równości trójkąt ABC jest przystający do trójkąta BCD na mocy cechy bkb.