Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Wprowadzimy teraz pojęcie niezmiennika pętli, które jest często wykorzystywane do projektowania algorytmów i dowodzenia ich poprawności. Rozważmy pętlę „while”, która ma postać:

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Ostatnie stwierdzenie dotyczące prawdziwości zdania g po zakończeniu pętli jest tak oczywistym, że często się o nim zapomina. Jednak dostarcza ono ważnych informacji pozwalających uzasadnić semantyczną poprawność algorytmów. Dlatego zostało umieszczone w treści twierdzenia.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników while(k>=4) k=k+1;

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Przykład 1. Algorytm NWD Euklidesa. Zapis w pseudokodzie Jak znaleźć niezmiennik pętli?

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Najpierw należy pokazać, że

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Ćwiczenie

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Przykład 2. Rozważmy algorytm dzielenia całkowitego liczb naturalnych. void dzielenie (int x,y) { //: 0<=x i 0<=y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<=y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. Pokażemy, że algorytm ten jest częściowo poprawny względem warunku początkowego  i końcowego .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Należy udowodnić pewną własność obliczeń algorytmu, która łączy zachodzenie warunku początkowego z warunkiem końcowym. Jaki warunek spełniają x, y, q, r w pętli „while” w chwili sprawdzenia warunku „y<=r” sterującego iteracją? Określamy niezmiennik p. Wykażemy, że za każdym razem, gdy obliczenie algorytmu rozpoczyna się stanem spełniającym warunek początkowy oraz dochodzi do warunku iteracji, to spełniony jest warunek p.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników bezpośrednio z początku algorytmu void dzielenie (int x,y) { //: 0<=x i 0<=y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<=y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. z pętli Możemy dojść do p dwiema drogami:

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników Jeśli dojdziemy do p z początku algorytmu, to q=0, r=x i p jest spełniony, bo zachodzi . void dzielenie (int x,y) { //: 0<=x i 0<=y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<=y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. Jeśli już przejdziemy przez pętlę „while” i dojdziemy do p, to wiemy, że y<=r i zaszedł już warunek p: x=q*y+r i 0<=r i 0<=y . Wtedy zostaje wykonana instrukcja złożona: q’=q+1;r’=r-y. Trzeba sprawdzić, czy dla q’ i r’ zachodzi warunek p: p: x=q’*y+r’ i 0<=r’ i 0<=y . Ale x=(q+1)*y+(r-y)=q*y+r 0<=r’=r-y, bo y<=r i 0<=y.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą niezmienników void dzielenie (int x,y) { //: 0<=x i 0<=y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<=y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. Stosując teraz indukcję względem liczby wykonanych sprawdzeń warunku iteracji „y<=r”, wnioskujemy, że przy każdym sprawdzeniu warunku iteracji zachodzi p. Zatem, albo cały czas zachodzi „y<=r”i wtedy nie dochodzimy do , albo w pewnej chwili „y>r” i wtedy dochodzimy do , ale ponieważ p był spełniony, więc musi być spełniony . Zwróćmy uwagę, że jeśli x=0 i y=0, to obliczenie algorytmu jest nieskończone, a więc według podanych warunków algorytm jest tylko częściowo poprawny i ma własność określoności obliczeń, ale nie ma własności stopu!

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu. Kryterium liczników iteracji Kryterium malejących wielkości

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium liczników iteracji. Załóżmy, że dany jest algorytm: M:{ l=c; while(p)do { K; l=l+1; } Dobieramy teraz dwie wielkości:  takie, że l<= oraz  takie, które wyjaśnia zależność między wartościami zmiennych w chwili sprawdzania warunku (niezmiennika) p. zmienna l jest licznikiem iteracji, służy do obliczania liczby wykonań instrukcji iterowanej K Kryterium liczników iteracji Jeżeli:  i >=l jest w algorytmie M niezmiennikiem instrukcji iteracyjnej „while” przy warunku początkowym , K ma własność stopu względem  i p, to M oraz „while(p)do K” mają własność stopu względem .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium liczników iteracji. Przykład 3. !! void dzielenie1 (int x,y) { //1: 0<=x i 0<y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ l=c; while(p)do { K; l=l+1; } Zmienna q pełni rolę licznika iteracji.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium liczników iteracji. void dzielenie1 (int x,y) { //1: 0<=x i 0<y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ l=c; while(p)do { K; l=l+1; } Określmy : x/y oraz : x=q*y+r i r>=0 i 0<y. Pokażemy, że  i q<=x/y jest niezmiennikiem instrukcji iteracyjnej. Przy wejściu do instrukcji mamy: q=0, r=x, x>=0, y>0, czyli zachodzi  i q<=x/y oraz r>=y. Wtedy dostajemy nowe wartości: q’=q+1 i r’=r-y.

(r>=0,y>0) q<=x/y Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium liczników iteracji. void dzielenie1 (int x,y) { //1: 0<=x i 0<y int q,r; q=0; r=x; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ l=c; while(p)do { K; l=l+1; } : x/y oraz : x=q*y+r i r>=0 i 0<y. Ćwiczenie! Łatwo pokazać, że te nowe zmienne spełniają warunek , a nierówność q<=x/y wynika z , bo: x=q*y+r, y>0 q=x/y-r/y, y>0 (r>=0,y>0) q<=x/y Stosując teraz kryterium liczników iteracji wnioskujemy, że algorytm ma własność stopu względem 1. Ponadto nierówność q<=x/y podaje ograniczenie na liczbę wykonywanych iteracji.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium malejących wielkości. Załóżmy, że dany jest algorytm: M:{ i=w+1; while(p)do { i=w; K; } Dobieramy teraz trzy wielkości: i oraz w będące liczbami całkowitymi i  takie, które wyjaśnia zależność między wartościami zmiennych w chwili sprawdzania warunku (niezmiennika) p. Kryterium malejących wielkości Jeżeli:  i i>w, i w>=0 jest w algorytmie M niezmiennikiem instrukcji iteracyjnej „while” przy warunku początkowym , K ma własność stopu względem  i p, to M oraz „while(p)do K” mają własność stopu względem .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium malejących wielkości. Metodę malejących wielkości stosuje się, gdy w algorytmie zwiększanie wartości następuje w sposób nieregularny, czyli niekoniecznie o 1. Zamiast szacować wzrost rozpatruje się jednak te wielkości, które zmniejszają swoje wartości w trakcie wykonywania algorytmu i dla których istnieją wartości ograniczające je z dołu.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium malejących wielkości. Przykład 4. void dzielenie2 (int x,y) { //2: 0<=x i 0<y int q,r; int i; q=0; r=x; i=r+1; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; i=r; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ i=w+1; while(p)do { i=w; K; } Zmienna r pełni rolę w. Wprowadzamy też pomocniczą zmienną i.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium malejących wielkości. void dzielenie2 (int x,y) { //2: 0<=x i 0<y int q,r; int i; q=0; r=x; i=r+1; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; i=r; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ i=w+1; while(p)do { i=w; K; } Ustalamy : y>0 i (i=r+1 ∨ i=r+y). Przy wejściu do instrukcji „while” warunek  jest spełniony, bo i=r+1.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie własności stopu – kryterium malejących wielkości. void dzielenie2 (int x,y) { //2: 0<=x i 0<y int q,r; int i; q=0; r=x; i=r+1; while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y { q=q+1; i=r; r=r-y; }; } //: x=q*y+r i 0<=r<y. M:{ i=w+1; while(p)do { i=w; K; } : y>0 i (i=r+1 ∨ i=r+y). Warunek  zachowuje się przy każdym wykonaniu instrukcji iterowanej, bo jeśli i’ i r’ są nowymi wartościami, to i’=r oraz r’=r-y, czyli i’=r’+y. Zatem  jest niezmiennikiem iteracji. Ponieważ r>=0, to cały warunek  i r<i , i r>=0 jest niezmiennikiem iteracji. Na podstawie kryterium malejących wielkości mamy własność stopu względem 2.