Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka

Cele dzisiejszego wykładu Metody wyboru w warunkach ryzyka: dominacja stochastyczna maksymalizacja wartości oczekiwanej i maksymalizacja oczekiwanej użyteczności awersja do ryzyka

Ryzyko a niepewność Ryzyko a niepewność Czym jest prawdopodobieństwo: sprzyjające zdarzenia częstościowe aksjomatyczne subiektywne

Wybór w warunkach ryzyka – słownik Wariantom decyzyjnym odpowiada kilka możliwych konsekwencji Dla każdego wariantu można określić rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych konsekwencji Każdemu wariantowi można przypisać rozkład prawdopodobieństwa ocen

Wybór w warunkach ryzyka – model Przyjmijmy skończoną liczbę konsekwencji dla każdego wariantu Każdy wariant można utożsamić z loterią, tj. dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ocen (wypłat) Sposoby zapisu: Wypłata Prawdopodobieństwo 5 50% 10 30% 20 20% 0,3 10 5 20 0,5 0,2 (5, 50%; 10, 30%; 20, 20%)

Redukcja loterii złożonych Możemy redukować loterie złożone – tj. loterie, których wynikiem są loterie, zapisać bezpośrednio jako loterie na zbiorze wypłat 0,6 0,48 0,32 0,2 10 5 0,8 10 0,4 0,2 5 10 0,3 0,7 0,5 0,15 0,7 10 0,15 0,85 10

Wybór wariantu – przykłady Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 4 10% 5 50% 6 40% Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 2 50% 3 30% 4 20% Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 40% 2 30% 3 Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 40% 2 35% 3 25%

Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FOSD) cdf 1 Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 4 10% 5 50% 6 40% t cdf 1 Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 40% 2 35% 3 25%

Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu (first order stochastic dominance – FOSD), jeśli: dla każdej wartości t zachodzi FX(t)FY(t) dla pewnej wartości t zachodzi FX(t)<FY(t) Decydent preferujący większe wartości wypłat wybierze zmienną dominującą w sensie FOSD

Porównaj poniższe pary rozkładów ze względu na FOSD Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 40% 2 30% 3 Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 40% 2 50% 3 10% Wypłata Pr. 1 10% 2 70% 3 20% Wypłata Pr. 30% 2 55% 4 15% Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 2 90% 3 5% 4

Porównywanie wartości oczekiwanych? Możesz zagrać w następującą grę: rzucasz symetryczną monetą do pierwszego wyrzucenia orła oznacz przez n numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucisz orła otrzymujesz wypłatę 2n PLN Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za możliwość jednokrotnego wzięcia udziału w takiej grze? Policz samodzielnie wartość oczekiwaną wypłaty Dlaczego wolisz skończoną, niewielką kwotę niż loterię?

Użyteczność ln(wypłata) Funkcja użyteczności Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 1 2 0,69 4 1,39 3 8 2,08 16 2,77 5 32 3,47 Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność

Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 0,5 2 10 1 6

Awersja do ryzyka a wybór decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej Awersja do ryzyka  wklęsła funkcja użyteczności Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?

Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (second-order stochastic dominance) cdf 1 Wypłata Pr. 1 30% 2 60% 3 10% Wypłata Pr. 1 50% 2 20% 3 30% t 1 t F(x) Całka 1 0,3 2 0,9 3 1,2 4 2,2 t F(x) Całka 1 0,5 2 0,7 3 1,2 4 2,2

Dominacja stochastyczna drugiego rzędu Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej drugiego rzędu (second order stochastic dominance – SOSD), jeśli: dla każdej wartości t zachodzi dla pewnej wartości t zachodzi Rozkład dominujący w sensie SOSD zapewnia większą wartość oczekiwaną każdej rosnącej, wklęsłej funkcji użyteczności

Porównaj pary zmiennych ze względu na FOSD i SOSD Wypłata Pr. 1 50% 2 30% 3 20% Wypłata Pr. 1 60% 2 10% 3 30% Wypłata Pr. 1 15% 2 45% 3 40% Wypłata Pr. 1 20% 2 40% 3 Wypłata Pr. 1 10% 2 50% 3 40% Wypłata Pr. 1 30% 2 15% 3 55% Wypłata Pr. 1 30% 2 40% 3 Wypłata Pr. 1 40% 2 15% 3 45%

Awersja do ryzyka a wariancja Jeśli decydent cechuje się awersją wobec ryzyka, to: jeśli E(X)=E(Y) i 0=Var(X)<Var(Y), to woli X Natomiast jeśli obie loterie mają niezerową wariancję, to niekoniecznie Loteria X Loteria Y Prawd. x ln(x) (x-EX)2 y ln(y) (y-EY)2 20% 20,1 3 65,61 4 1,386 64 80% 9,975 2,3 4,1 14 2,639 średnia 12 2,44 16,4 2,388 16

Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 1 4,5 0,5 2 10 1 6 

Użyteczność ln(wypłata) Ćwiczenie Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x) Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 1 2 0,69 4 1,39 3 8 2,08 16 2,77 5 32 3,47

Kwantyfikacja awersji do ryzyka O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia

Interpretacja ARA x0 – wypłata początkowa (liczba) l – loteria o zerowej wartości oczekiwanej (zmienna losowa) d – premia za ryzyko (liczba)

Przykłady funkcji użyteczności u(x) u’(x) u’’(x) ARA ln(x+a), a>0 (x+a)-1 -(x+a)-2 1/(x+a) ax-bx2, a,b>0 a-2bx -2b 2b / (a-2bx) -e-ax, a>0 ae-ax -a2e-ax a xa, 0<a1 axa-1 a(a-1)xa-2 -(a-1)/x -x-a, a>0 ax-a-1 -a(a+1)x-a-2 (a+1)/x

Sprawdź się! https://www.bbc.co.uk/labuk/experiments/risk/

Podsumowanie Prawdopodobieństwa można zdefiniować obiektywnie lub subiektywnie Metody porównywania rozkładów: dominacja stochastyczna pierwszego rzędu maksymalizacja wartości oczekiwanej maksymalizacja oczekiwanej użyteczności dominacja stochastyczna drugiego rzędu Decydenci często cechują się awersją do ryzyka – wklęsłą funkcją użyteczności stopień awersji do ryzyka można mierzyć

Materiały Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu dla chętnych: R. Keeney i H. Raiffa (1993): Decisions with Multiple Objectives. Preferences and Value Tradeoffs, rozdz. 4 J. Pratt (1964): Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, 32(1/2), ss. 122-136

Dziękuję!