Rozkłady wywodzące się z rozkładu normalnego standardowego Bardzo ważną rolę w statystyce odgrywają trzy rozkłady zmiennych losowych bazujące na zmiennych o standardo- wych rozkładach normalnych. Są to następujące rozkłady: 1. 2 - (Chi-kwadrat) 2. t-Studenta 3. F-Fishera-Snedecora. Ze statystykami opartymi na tych rozkładach związane są takie działy statystyki jak: przedziały ufności, weryfikacja hipotez, analiza wariancji i regresji.

Rozkład Chi-kwadrat Zmienna losowa X ma rozkład Chi-kwadrat Pearsona, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: Wielkość v występująca w podanym wyżej wzorze jest jednocześnie wartością oczekiwaną tej zmiennej, a jej podwojona wartość jest wariancją zmiennej:

Rozkład Chi-kwadrat (c.d.) Jeżeli zmienne xi mają wszystkie standardowy rozkład normalny N(0; 1) i są niezależne, to zmienna: ma rozkład chi-kwadrat. Liczbę v nazywamy liczbą stopni swobody, wskazuje ona liczbę niezależnych składników zmiennej , jest jednocześnie wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej. Wariancja tej zmiennej jest równa 2v.

Rozkład Chi-kwadrat (c.d.) Poniżej podane są wykresy funkcji gęstości prawdopodo-bieństwa zmiennej dla trzech wybranych stopni swobody.

Rozkład t-Studenta Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta, jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: Liczba v jest liczbą stopni swobody, a parametrami rozkładu tej zmiennej losowej są odpowiednio:

Rozkład t-Studenta (c.d.) Jeżeli zmienne losowe są nie-zależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna: ma rozkład t-Studenta z liczbą stopni swobody v.

Rozkład t-Studenta (c.d.) Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu t-Studenta dla trzech wybranych stopni swobody.

Rozkład F-Fishera-Snedecora Zmienna losowa X ma rozkład F-Fishera-Snedecora, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: gdzie u i v są liczbami stopni swobody. Parametrami zmiennej losowej F-Fishera-Snedecora są odpowiednio:

Rozkład F-Fishera-Snedecora (c.d.) Jeżeli zmienne losowe i są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna: ma rozkład F-Fishera-Snedecora z liczbami stopni swobody u i v.

Rozkład F-Fishera-Snedecora (c.d.) Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu F-Fischera-Snedecora dla trzech wybranych par stopni swobody

Wielowymiarowe zmienne losowe

Wprowadzenie Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego ekspery-mentu. Układ n funkcji (X1, X2, ..., Xn) przyporządkowujących każdemu zdarzeniu elementarnemu eE n liczb rzeczywistych (x1, x2, ..., xn) nazywamy zmienną losową n-wymiarową. Przykład: W badaniach sytuacji finansowej rodzin analizujemy takie cechy jak: x1 - liczbę członków rodziny; x2 - dochód na członka; x3 - liczbę izb w mieszkaniu. Wyniki pomiarów dla poszczególnych rodzin, uporządkowane w podany wyżej sposób można traktować jako realizację 3-wymia-rowej zmiennej losowej (X1, X2, X3).

Dwuwymiarowe zmienne losowe Zmienne losowe (dwuwymiarowe) wielowymiarowe mogą być zarówno skokowe jak i ciągłe. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) jest typu skokowego, jeżeli przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości (xi, yj) z odpowiednimi prawdopodobieństwami pij. Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego może być określony funkcją rozkładu prawdopodobieństwa:

Dwuwymiarowe zmienne losowe Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego może być także określony funkcją dystrybuanty:

Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 1 2 3 pi. 1 0,06 0,03 0,04 0,13 2 0,07 0,04 0,13 0,24 3 0,07 0,06 0,20 0,33 4 0,05 0,12 0,13 0,30 p.j 0,25 0,25 0,50 1,00 Y X

Rozkłady brzegowe Rozkład jednej tylko zmiennej, X lub Y, bez względu na rozkład drugiej, będziemy nazywali rozkładem brzegowym tej zmiennej. Rozkłady brzegowe są rozkładami jednowymiarowymi, a ich f.r.p. określone są następująco:

Niezależność zmiennych losowych Dwuwymiarowe zmienne losowe skokowe (X,Y) są niezależne, jeżeli: dla każdego i,j. Dla dwuwymiarowych zmiennych losowych dowolnego typu warunek niezależności można zdefiniować następująco: zmienne losowe (X,Y) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy F(x,y)=F(x)F(y)

Rozkłady warunkowe W przypadku rozkładów dwuwymiarowych istnieje możli-wość określenia rozkładu jednej zmiennej pod warunkiem, że druga zmienna przyjmie określone wartości. Warunkowe funkcje rozkładu prawdopodobieństwa określone są następująco:

Warunkowe funkcje prawdopodobieństwa Obliczając warunkowe f.r.p. dla zmiennej losowej Y w naszym przykładzie otrzymamy: 1 2 3 1 0,46 0,23 0,31 1 2 0,29 0,17 0,54 1 3 0,21 0,18 0,61 1 4 0,17 0,40 0,43 1

Parametry rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem zwykłym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie: Z powyższego wynika, że istnieją dwa momenty rzędu pierwszego m10 i m01, przy czym m10=EX oraz m01=EY, tym samym momenty te są wartościami oczekiwanymi w rozkładach brzegowych zmiennych X i Y.

Parametry rozkładu (c.d.) Podobnie istnieją trzy momenty rzędu drugiego: m20=EX2; m02=EY2; m11=EXY Przykład: Obliczając momenty rzędu pierwszego i drugiego w naszym przykładzie otrzymujemy: m10=EX=1 • 0,13 + 2 • 0,24 + 3 • 0,33 + 4 • 0,30 = 2,8 m01=EY=1 • 0,25 + 2 • 0,25 + 3 • 0,50 = 2,25 m20=EX2=12 • 0,13+22 • 0,24+32 • 0,33+42 • 0,30 = 0,13+0,96+2,97+4,80 = 8,86 m02=EY2=12 • 0,25 + 22 • 0,25 + 32 • 0,50 = 0,25 + 1,00 + 4,50 = 5,75 m11=EXY=1 • 1 • 0,06 + 1 • 2 • 0,03 +1 • 3 • 0,04+2 • 1 • 0,07+ 2 • 2 • 0,04 + + 2 • 3 • 0,13 +3 • 1 • 0,07 +3 • 2 • 0,06 +3 • 3 • 0,20+ + 4 • 1 • 0,05 + 4 • 2 • 0,12 + 4 • 3 • 0,13 = 0,24 + 1,08 + 2,37 + 2,72 = 6,41

Parametry rozkładu (c.d.) Momentem centralnym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwy-miarowego rozkładu zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie:

Obliczanie momentów centralnych Z definicji momentu centralnego wynika, że: Istnieje jeszcze jeden moment centralny rzędu drugiego: Moment ten nazywamy kowariancją i oznaczamy symbolem CXY.

Związki między momentami Między momentami centralnymi a zwykłymi zachodzą związki: Można udowodnić, że jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne, to kowariancja jest równa zero. O zmiennych (X,Y), dla których CXY=0 mówimy, że są nieskorelowane.

Współczynnik korelacji Z kowariancją związany jest jeszcze jeden parametr rozkładu dwuwymiarowego, tzw. współczynnik korelacji zmiennych losowych (X,Y): Z własności kowariancji wynika następująca własność współczynnika korelacji: Współczynnik korelacji jest miarą siły związku między zmiennymi losowymi.

Obliczenia momentów centralnych i współczynnika korelacji Korzystając ze związków między momentami otrzymujemy w naszym przykładzie: Możemy już obliczyć współczynnik korelacji:

Warunkowe wartości oczekiwane Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X = xi nazywamy wyrażenie: Analogicznie definiujemy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X:

Obliczanie warunkowych wartości oczekiwanych Obliczmy warunkowe wartości oczekiwane zmiennej losowej Y w naszym przykładzie. Kolejno otrzymujemy: E(Y/X=1)=10,46+20,23+30,31=1,85 E(Y/X=2)=10,29+20,17+30,54=2,25 E(Y/X=3)=10,21+20,18+30,61=2,40 E(Y/X=4)=10,17+20,40+30,43=2,26

Funkcja regresji I rodzaju Warunkowe wartości oczekiwane zmiennej Y zależą od wartości zmiennej X, są pewną funkcją tej zmiennej. Funkcję tę możemy zapisać następująco: Tak określoną funkcję nazywamy funkcją regresji I rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. W naszym przykładzie funkcję tę można zapisać następująco:

Wykres funkcji regresji I rodzaju

Funkcja regresji II rodzaju W praktyce najwygodniej jest zastąpić nieliniowe krzywe regresji I rodzaju funkcjami liniowymi, jeżeli tylko takie przybliżenie jest wystarczające. Spośród wszystkich możliwych prostych wybieramy taką, dla której średnie odchylenie kwadratowe wartości danej zmiennej od tej prostej jest minimalne:

Funkcja regresji II rodzaju (c.d.) Rozwiązując ten warunek otrzymujemy: Parametr b nazywamy współczynnikiem regresji liniowej zmiennej Y względem X. W naszym przykładzie otrzymujemy: Tym samym prosta regresji ma postać:

Wykres funkcji regresji II rodzaju