Złoty podział VII siedlecki turniej wiedzy matematycznej od geometrii do algebry od algebry do geometrii Oddział Siedlecki Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki Pracownia Dydaktyki Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w Siedlcach Samorządowe Centrum Doradztwa i Doskonalenia Nauczycieli w Siedlcach www.scdidn.siedlce.pl konkursy
Który prostokąt jest najładniejszy
Złoty poddział odcinka Możliwości podziału odcinka jest bardzo wiele, lecz wśród nich jest jeden który był znany już w starożytności. Grecy uznali ten podział za najbardziej estetyczny i nazwali go złotym podziałem odcinka.
Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek ma się do swojej większej części jak większa część do mniejszej części odcinka. a + b – długość odcinka a – długość dłuższej części b – długość krotszej części φ =(a+b) : a = a : b
Pentagram Pentagram – gwiazda pitagorejska, znany był już starożytnym Grekom i Pitagorejczykom. Już wtedy był uznawany za symbol doskonałości. Dla pierwszych chrześcijan był on znakiem pięciu ran Chrystusa, ze względu na pięć wierzchołków. Od XIV w. uważany jest za symbol szatana. Niektórzy uważają, że pentagram jest symbolem bogini Wenus Uważano, że pięć wierzchołków symbolizuje pięć żywiołów
Właściwości pentagramu stosunek długości przekątnej i boku pięciokąta foremnego opisanego na pentagramie jest złoty
Złoty prostokąt Złoty prostokąt – to taki prostokąt w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest liczbą złotą. Co ciekawe prostokąt po odcięciu od niego największego możliwego kwadratu pozostaje nadal złoty. Po odcięciu kwadratu długość boku pozostałego prostokąta wynosi a-x. Stosunek boków dużego prostokąta wynosi a małego . Jeśli porównamy te stosunki otrzymujemy złotą proporcję.
Złota spirala Powtarzając wielokrotnie operację odcinania kwadratów ze złotego prostokąta, otrzymujemy nieskończenie wiele małych kwadratów. Kiedy wpiszemy w kwadraty ćwiartki okręgów otrzymujemy złotą spiralę.
Złota proporcja w przyrodzie i sztuce Wielu filozofów Greckich twierdziło, że złota liczba fi ( ) jest liczbą boską, zmierzoną przez samego stwórcę. Złota proporcja jest wszechobecna wokoło nas!
Złota proporcja w przyrodzie Liczba pszczół płci żeńskiej do trutni jakiegokolwiek ula na świecie to liczba φ Nasiona słonecznika rosną w dwóch przeciwnych sobie spiralach. Stosunek średnic obrotu kolejnych spirali wynosi φ
Spiralnie układające się płatki szyszki sosny, układ liści na łodygach roślin, segmentacja owadów to wszystko wykazuje niesamowite posłuszeństwo liczbie φ To nie są jedyne przykłady
Złota proporcja w sztuce Leonardo da Vinci był zafascynowany liczbą φ. Umieszczał ją praktycznie w każdym obrazie. Szczególnym tego przykładem jest blado żółty rysunek z nagim mężczyzną „Człowiek witruwiański”
Złotą proporcją kierowali się także znani artyści tacy jak Michał Anioł, Albrecht Durera i wielu innych
Sławne budowle w których występuje złota proporcja to rzymski Pantenon, egipskie piramidy, Parntenon w Atenach
Złota proporcja w ciele człowieka Odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi
Odległość między ramieniem a czubkiem palców, podzielona przez odległość między łokciem a czubkiem palców
Odległość od biodra do podłogi podzielona przez odległość od kolan do podłogi Stawy dłoni, palce u nóg odległość między kręgami… …wszystko to jest posłuszne złotej proporcji, boskiej proporcji.
Ile wynosi φ φ =(a+b) : a = a : b Z rozdzielności w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika czyli 1 + 1/φ = φ Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe φ² – φ – 1 = 0 Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste jedno z nich jest dodatnie:
Jeszcze trochę o przyrodzie
Konary i liście zachowują zależność 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55… Ciąg Fibonaciego:
Co ma wspólnego Fibonacci ze złotą liczbą
Złote proporcje w muzyce
Konstrukcja
Dowód Z twierdzenia Pitagorasa zatem b wynosi zatem a/b daje Konstrukcja prowadzi zatem do złotego podziału
Dziękuję za uwagę