Klasa III P 15.02.2008 r. TEMAT: Rzut równoległy na płaszczyznę. Rzut prostokątny na płaszczyznę. Kąt między prostą a płaszczyzną. Prowadzący: Przemysław Piórkowski

Rzut równoległy na płaszczyznę (układ rzutowania) π π - płaszczyzna rzutu (rzutnia) k - prosta przebijająca płaszczyznę, wyznaczająca kierunek rzutu (π,k) - układ rzutowania

Rzut równoległy na płaszczyznę (układ rzutowania) π A A - punkt leżący poza płaszczyzną

Rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej k l - prosta równoległa do k przechodząca przez punkt A (prosta rzutująca) A’- rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej k Wyznaczanie rzutu punkt A nazywamy rzutowaniem punktu A

A co jeśli ...? l A B k π A’=B’ Wniosek: Jeśli punkty A i B leżą na prostej równoległej do kierunku rzutu, to A’=B’

Uwaga. Rzut równoległy jest przekształceniem jednoznacznym, co oznacza, że każdy punkt ma w danym układzie rzutowania jeden rzut, ale ... ...nie jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym, to znaczy każdy punkt rzutni jest rzutem nieskończenie wielu punktów.

Zadanie 1. k π A

Rzut równoległy figury π k

Twierdzenia (własności rzutu równoległego) k π l’ Twierdzenie 1. Rzutem równoległym prostej (l) nierównoległej do kierunku rzutu jest prosta (l’).

Twierdzenia (własności rzutu równoległego) B B’ A’ k π Twierdzenie 2. Rzutem równoległym odcinka jest odcinek do niego równoległy.

Twierdzenia (własności rzutu równoległego) k O B π A’ O’ B’ Twierdzenie 3. Rzutem równoległym środka odcinka (nierównoległego do kierunku rzutu) jest środek odcinka będącego rzutem.

Twierdzenia (własności rzutu równoległego) k k A B B’ A’ C D π C’ D’ Twierdzenie 4. Stosunek długości odcinków równoległych (ale nierównoległych do kierunku rzutu) jest równy stosunkowi długości ich rzutów.

Zadanie 2. Narysuj rzuty równoległe dwóch odcinków w danym układzie rzutowania, tak aby uzasadnić, iż przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne.

Rozwiązanie: k A B D C π B’=D’ A’=C’

Rzut prostopadły na płaszczyznę (prosta wyznaczająca kierunek rzutu) l k A π A’ k - prosta prostopadła do rzutni l - prosta rzutująca A’ - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę π

Odległość punktu od płaszczyzny π A A’ d(A,π) Odległością punktu A od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’, gdzie A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.

Odległość prostej od płaszczyzny π A’ Odległością prostej l od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’,przy czym A jest dowolnym punktem na prostej l, A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.

Zadanie 3. Zdefiniować odległość między dwiema płaszczyznami równoległych

Kąt między prostą i płaszczyzną B A α l’ π A’ B’ l α - kąt między prostą l a płaszczyzną π l - prosta przebijająca płaszczyznę (nie jest prostopadła do rzutni) l’- rzut prostej prostokątny prostej l na płaszczyznę π

Zadanie 4. Zdefiniować kąt między prostą a płaszczyzną. Kątem między prostą l a płaszczyzną π nazywamy kąt pomiędzy prostą l a jej rzutem prostokątnym l’ na płaszczyznę π

Przykłady. 1. Przez punkt A poprowadzono prostą przebijającą płaszczyznę π w punkcie B i tworzącą z nią kąt 60o . Wyznacz odległość punkt A o płaszczyzny π, jeśli wiadomo, że |AB|=6 cm. 2. Odcinek AB długości 12 cm, którego jeden koniec leży na płaszczyźnie, tworzy z nią kąt 30. Oblicz długość rzutu prostokątnego odcinka na daną płaszczyznę. 3*. Odległość punktu A od płaszczyzny π wynosi 6 cm. Z tego punktu poprowadzono do płaszczyzny proste AB i AC (punkty B,C są punktami przebicia z płaszczyzną). Każda z tych prostych tworzy z płaszczyzną kąt 30o. Rzuty tych prostych na płaszczyznę π zawierają między sobą kąt 120o. Oblicz długość odcinka BC

Pytania podsumowujące. 1. Jak definiujemy rzut równoległy na płaszczyznę? 2. Jak definiujemy rzut prostopadły na płaszczyznę? 3. Jak definiujemy kąt między prostą a płaszczyznę?

Literatura [1] A. Gliniecka, M. Lewandowska „Jak rozwiązywać zadania o bryłach - część I” - Oficyna Wydawniczo - Reklamowa, Bydgoszcz 1995; [2] K.Kłaczkow, M. Kurczab, E.Świda „ Matematyka ” - podręcznik dla liceów i techników klasa III. - Oficyna Edukacyjna, Warszawa 2004; [3] R. Leitner, W. Żakowski „ Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie ” - Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1976;