Strategie stabilne ewolucyjnie w oparciu o przykłady zwierzęce Paulina Mularska

Teoria gier ewolucyjnych Trochę biologii…

Podstawowy scenariusz ewolucyjny 1. rozpatrujemy dużą populację jednakowych graczy 2. każdy posiada jedną, niezmienną strategię 3. zakładamy łączenie losowe w pary 4. w parach jest jednorazowo rozgrywana gra symetryczna 5. każdy gracz rodzi potomstwo, wypłata z gry jest to liczebność potomstwa 6. potomstwo dziedziczy strategię rodzica 7. wracamy do pkt. 1

Definicja gry ewolucyjnej Gra ewolucyjna jest to gra strategiczna rozgrywana w populacji osobników zgodnie z scenariuszem ewolucyjnym.

Model Maynarda Smitha i Price’a Strategia agresywna (Jastrząb): Zawsze atakuj przeciwnika, aż do utraty wszystkich sił. Strategia pokojowa (Gołąb): Nigdy nie atakuj jako pierwszy. Jeśli zostajesz zaatakowany, uciekaj.

Model Maynarda Smitha i Price’a Model przewiduje, że każde starcie angażuje dokładnie dwa osobniki, z których tylko jeden może wygrać (+50) i jeden przegrać (0). Rozpatruje też koszty w postaci ciężkiego zranienia (-100) i marnowania czasu (-10).

Krótka symulacja Czas na opowieść… Stan idealny: Gołąb Mutant: Jastrząb Wojna: Tylko Jastrzębie Mutant czy wyszedł z ukrycia?

MACIERZ WYPŁAT Jastrząb Gołąb -25, -25 50, 0 0, 50 15, 15 Jaki stosunek jastrzębi do gołębi będzie faworyzowany przez naturę (stabilny ewolucyjnie)?

Wynik Jastrząb : Gołąb 7:5 Oscylacje wokół tego punktu będą niewielkie i zawsze wrócą do tej proporcji.

Strategia stabilna ewolucyjnie ESS – Evolutionarily Stable Strategy

Ciekawostka Samce kontra Samice 1:1

Definicja ESS Niech A będzie macierzą wypłat w symetrycznej grze dwuosobowej. Strategia jest ESS w populacji graczy łączonych losowo w pary rozgrywające symetryczną grę 2-osobową, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia

Jeszcze raz gra Jastrząb - Gołąb Dwa identyczne osobniki wchodzą w konflikt o pewne dobro o wartości v > 0. Niech c > v będzie kosztem walki.

Jeszcze raz gra Jastrząb - Gołąb Gra ma dwie czyste i jedną mieszaną strategie równowagi Nasha: (J, G), (G, J), ((v/c, 1-v/c), (v/c, 1-v/c)). Pokażemy, że strategia mieszana σ = (v/c, 1-v/c) jest ESS z macierzą wypłat A. Niech = (x, 1 - x). Obliczamy:

Jeszcze raz gra Jastrząb - Gołąb -25, -25 50, 0 0, 50 15, 15 ESS to σ=(7/12, 5/12) Czy ktoś chce sprawdzić? 

Rozbudowanie gry Jastrząb Gołąb Cwaniak Mściciel -25 50 15 25 15 25 Która strategia czysta jest ESS?

Wynik Mściciel

Gra „Słoń – Lew – Mysz” S L M 0,0 -1,1 1,-1

Gra „Słoń – Lew – Mysz” Punkt równowagi Nasha: σ = (1/3, 1/3, 1/3) Pierwszy warunek spełniony. Teraz drugi: Weźmy dla przykładu lwa, tj.: = (0, 1, 0) Nie, zatem ESS nie istnieje.

Wniosek ESS ma wadę Strategia σ jest ESS wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi

Gra „walka płci u ptaków” Każdy gracz to populacja mająca cztery strategie do wyboru. W tej grze każdy osobnik posiada jedną strategię. Każdy osobnik dąży do wydania na świat i wychowania potomstwa.

Gra „walka płci u ptaków” Punktacja: Zysk za każde wychowane potomstwo: +15 Całkowity koszt wychowania potomstwa: -20 Koszt długich zalotów: -3

Gra „walka płci u ptaków” (W) –strategia Wierny: samiec skłonny do długich zalotów, zbudowania gniazda i odchowania potomstwa   (K) –strategia Kobieciarz: samiec, który nie jest skłonny do poświęceń

Gra „walka płci u ptaków”   (WYM) –strategia Wymagająca: jednym ze sposobów zmuszenia samca do pozostania w parze i wychowania potomstwa, jest zmuszenie samca do długich zalotów oraz zbudowania gniazda (Ł) –strategia Łatwa: samica nie zmuszająca samca do długich zalotów i budowania gniazda

Gra „walka płci u ptaków” Ze względów biologicznych, grę rozgrywa się na jednej w dwóch podmacierzy, gdzie każdy z graczy ma zestaw dwóch strategii do wyboru: I - Wierny, Kobieciarz II - Wymagająca, Łatwa

Gra „walka płci u ptaków”

Gra „walka płci u ptaków” Czas na opowieść… Stan idealny: Wierny i Wymagająca Mutant: Łatwa Gen się rozprzestrzenia: Kobieciarz Co dalej? Jaki jest ESS dla każdego zestawu strategii?

Wynik Łatwa - Wymagająca: 1:5 Wierny - Kobieciarz: 5:3

Literatura Dawkins Richard, „Samolubny gen”, Prószyński i S-ka, 2012, rozdział 5,9 Uchmański Janusz, „Klasyczna ekologia matematyczna”, PWN, 1992 http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lectu re=wtg&part=Ch7 http://www.slideshare.net/oryszczyszyn/gry -ewolucyjne