Paradoksy i sofizmaty dr inż. Tomasz Martyn Instytut Informatyki Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa, 9.10.2012 r.

Paradoks a sofizmat Paradoks – twierdzenie prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sofizmat – rozumowanie świadomie błędne, mające na celu oszukanie słuchacza.

Sofizmat 1. Arytmetyczny Twierdzenie. 1=−1. Dowód (przy wykorzystaniu liczb zespolonych): −1 = −1 1 −1 = −1 1 1 −1 = −1 1 1 ⋅ 1 = −1⋅ −1 1= 𝑖 2 1=−1 Długi w dobrym stanie tanio sprzedam Q.E.D.

Sofizmat 2. Arytmetyczny Twierdzenie. 0=1. Dowód (całkowanie przez części): 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝐹 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 = ( ln 𝑥 )′ 𝑑𝑥 ln 𝑥 = ln 𝑥 ⋅ 1 ln 𝑥 − ln 𝑥 1 ln 𝑥 ′ 𝑑𝑥 =1− ln 𝑥 ⋅ −1 ln 𝑥 2 ⋅ 1 𝑥 𝑑𝑥 =1+ 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 Nic nie ma!!! Q.E.D.

Sofizmat 3. „Wszyscy ludzie są tego samego wzrostu” Twierdzenie. Każdy niepusty, skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Dowód (indukcja): 1) Każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby jednakowego wzrostu. 2) Załóżmy teraz, że dowolny 𝑛-elementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Niech { 𝑜 1 ,…, 𝑜 𝑛+1 } będzie dowolnym (𝑛+1)-elementowym zbiorem ludzi. Wtedy zbiór 𝑜 1 ,…, 𝑜 𝑛 zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu; analogicznie zbiór 𝑜 2 ,…, 𝑜 𝑛+1 . Zatem osoba 𝑜 𝑛+1 jest tego samego wzrostu co osoba 𝑜 1 . Q.E.D.

Sofizmat 4. „Warto wnosić bomby na pokład samolotu pasażerskiego” Wypożyczalnia bomb pokładowych Prawdopodobieństwo, że w samolocie pasażerskim jest bomba wynosi 1: 10 4 . Prawdopodobieństwo, że w samolocie są 2 bomby wynosi więc 1: 10 8 . Zatem najlepiej, dla dobra swojego i pasażerów, wnieść na pokład własną bombę, bowiem swojej nie odpalimy, a prawdopodobieństwo, że na pokładzie jest jeszcze jedna jest astronomicznie małe. Q.E.D.

Sofizmat 5. Geometryczny „60 = 58 = 59” (nowojorski psychiatra L. Vosburgh Lyons) 60 cm2 58 cm2 59 cm2

Paradoks 1. Paradoks kłamcy Jako Kreteńczykowi, uczciwość nakazuje mi Państwa ostrzec, że wszyscy Kreteńczycy to kłamcy. Epimenides (VI w. p.n.e.): Eubulides (IV w. p.n.e.): „To, co teraz mówię, jest kłamstwem.” Czyli: Z: zdanie Z jest fałszywe

Paradoks 2. Antynomia Russella „Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami.” Czy cyrulik goli się sam? Z = { X: X  X }. Czy ZZ ? Jeśli ZZ, to Z spełnia warunek należenia do Z, więc ZZ. Jeśli ZZ, to Z nie spełnia warunku należenia do Z, więc ZZ. Zatem ZZ  ZZ

Paradoks 2. Antynomia Russella (cd.) Niestety na golenie będzie musiał Pan jeszcze trochę poczekać... Właśnie ktoś udowodnił, że w rzeczywistości cyrulik nigdy nie istniał. A może istnieje „trzecia możliwość logiczna”? Może, na przykład, cyrulik jest kobietą...

Paradoks 3. Dodatkowa wartość logiczna? Z: zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z nie ma wartości logicznej Jeśli Z prawdziwe, to Z fałszywe lub nie ma wartości logicznej. Zatem antynomia: Z prawdziwe  Z nie jest prawdziwe Jeśli Z fałszywe, to Z prawdziwe i ma wartość logiczną. Zatem antynomia: Z fałszywe  Z prawdziwe Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z nie jest fałszywe.

Paradoks 4. Paradoks Banacha-Tarskiego Aksjomat wyboru: Dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych, można skonstruować zbiór (tzw. selektor) zawierający dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny. Paradoks Banacha-Tarskiego: Istnieje rozkład kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na skończoną liczbę rozłącznych części, z których można złożyć, korzystając jedynie z obrotów i translacji, dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Delfijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy? Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie ołtarz Apolla, zachowując jego kształt sześcianu. Banach i Tarski: A czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Dziękuję za uwagę