Podstawy analizy matematycznej III Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Całki nieoznaczone Funkcją pierwotną funkcji f (x ) w przedziale a < x < b nazywamy każdą taką funkcję F (x ), której pochodna F’ (x ) równa się danej funkcji f (x ) dla każdego x z przedziału a < x < b. Całką nieoznaczoną (nieokreśloną ) funkcji f (x ), oznaczaną symbolem  f (x )dx , nazywamy wyrażenie F (x ) + C , gdzie F (x ) oznacza funkcję pierwotną funkcji f (x ), a C oznacza dowolną stałą. Mamy zatem  f (x )dx = F (x ) + C , gdzie F’ (x ) = f (x ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Podstawowe wzory rachunku całkowego:  x a dx = x a +1/(a + 1) + C , a  1, x >0 (gdy liczba a jest naturalna, to warunek x > 0 odpada; gdy a oznacza liczbę całkowitą ujemną, to x  0)  dx /x = ln|x | + C , x  0  e x dx = e x + C  a x dx = a x / lna + C , a > 0, a  1  cosx dx = sinx + C  sinx dx = cosx + C  dx /cos 2x = tgx + C , cosx  0  dx /sin 2x = ctgx + C , sinx  0 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Podstawowe wzory rachunku całkowego (cd.):  dx /(1  x 2)1/2 = arcsinx + C = arccosx + C’  dx /(x 2 + 1) = arctgx + C = arcctgx + C’  sinhx dx = coshx + C  coshx dx = sinhx + C  dx / cosh 2x = tghx + C  dx / sinh 2x = ctghx + C  dx /(1 + x 2)1/2 = arsinhx + C = ln[x + (x 2 + 1)1/2] + C  dx /(x 2  1)1/2 = arcoshx + C = ln|x + (x 2  1)1/2| + C Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Własności:  [f (x ) + g (x )]dx =  f (x )dx +  g (x )dx ,  af (x )dx = a  f (x )dx , jeśli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne rzędu pierwszego, to  udv = uv   vdu (jest to wzór na całkowanie przez części ), jeśli dla a  x  b funkcja u = g (x ) jest funkcją mającą ciągłą pochodną i A  g (x )  B, a funkcja f (u ) jest ciągła w przedziale [A , B ] , to  f (g (x ))g’ (x )dx =  f (u )du , przy czym po scałkowaniu prawej strony należy podstawić u = g (x ) (jest to wzór na całkowanie przez podstawienie ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Przykład 1. Obliczyć całkę I =  x (x  1)(x  2)dx. Po wykonaniu mnożenia w funkcji podcałkowej otrzymujemy całkę z wielomianu: I =  (x 3  3x 2 + 2x )dx =  x 3dx  3 x 2dx + 2 xdx = x 4/4  3x 3/3 + 2x 2/2 + C = x 4/4  x 3 + x 2 + C. Przykład 2. Obliczyć całkę I =  (x 2 + a 2)xdx. Całkę tę można obliczyć dwoma sposobami. Rozkładając ją na dwa składniki mamy I = x 3dx + a 2  x 2dx = x 4/4 + a 2x 2/2 + C. Można także zastosować podstawienie x 2 + a 2 = u , skąd przez zróżniczkowanie otrzymujemy 2xdx = du , tj. xdx = (1/2)du. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie mamy I = (1/2) udu , skąd I = u 2/4 + C’ i uwzględniając podstawienie ostatecznie otrzymujemy I = (x 2 + a 2)2/4 + C’. Przykład 3. Obliczyć całkę I =  xdx / (x 2 + a 2) n , a  0. Licznik różni się tylko czynnikiem stałym od różniczki wyrażenia x 2 + a 2, więc stosujemy podstawienie x 2 + a 2 = u , przy czym u > 0. Po zróżniczkowaniu mamy xdx = (1/2)du i dla n  1 mamy I = (1/2)  du /u n = (1/2)u n + 1/(n + 1) + C = 1/[2(n  1)u n  1] + C. Powracając do zmiennej x ostatecznie otrzymujemy I = 1/[2(n  1)(x 2 + a 2) n  1] + C , a  0 i n  1. Gdy n = 1, to I = (1/2)ln(x 2 + a 2) + C. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Przykład 4. Obliczyć całkę I =  dx /(2x  3)1/2. Zakładamy, że x > 3/2. Wykonujemy podstawienie (2x  3)1/2 = t , skąd 2x  3 = t 2 i po zróżniczkowaniu mamy dx = tdt (t > 0). Po podstawieniu do całki otrzymujemy I =  tdt /t =  dt = t + C = (2x  3)1/2 + C . Przykład 5. Obliczyć całkę I =  sinx cosx dx. Całkę tę można wyznaczyć trzema sposobami. Jeśli wykonamy podstawienie t = sinx , to po zróżniczkowaniu mamy cosx dx = dt . Zatem  sinx cosx dx =  tdt = t 2/2 + C = (1/2)sin 2x + C . Możemy także skorzystać z wzoru sinx cosx = (1/2)sin2x. Wówczas  sinx cosx dx = (1/2)  sin2x dx . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Jeśli teraz wykonamy podstawienie 2x = u, to dx = (1/2)du i mamy  sinx cosx dx = (1/2)  sinu  (1/2)du = (1/4)  sinu du = (1/4) cosu + C’ = (1/4) cos2x + C’ . Wykonując podstawienie cosx = t i różniczkując otrzymamy sinx dx = dt. Zatem  sinx cosx dx =   tdt = (1/2)t 2 + C” = (1/2)cos 2x + C”. Otrzymaliśmy trzy różne wyniki, ale nie ma w tym sprzeczności, bo różnica każdych dwóch wyników jest stała. Mamy (1/2) sin 2x  [(1/4) cos2x ] = (1/2) sin 2x + (1/4) cos2x = (1/4)(2sin 2x + cos2x ) = (1/4)(2sin 2x +1  2sin 2x ) = 1/4, czyli C = C’ + 1/4. Podobnie można pokazać, że C = C” + 1/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Przykład 6. Obliczyć całkę  e x sinx dx. Całkujemy przez części przyjmując u = sinx , dv = e x dx , skąd du = cos x dx , v =  e x dx = e x. Otrzymujemy  e x sinx dx = e x sinx   e x cosx dx . (1) Całkę po prawej stronie znowu całkujemy przez części. Mamy  e x cosx dx = e x cosx +  e x sinx dx i po podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy  e x sinx dx = e x sinx  e x cosx   e x sinx dx , skąd 2  e x sinx dx = e x sinx  e x cosx . Zatem ostatecznie  e x sinx dx = e x (sinx  e x cosx )/2 + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki nieoznaczone Przykład 7. Obliczyć całkę  arctgx dx . Całkujemy przez części podstawiając u = arctgx , dv = dx , skąd du = dx /(x 2 + 1), v =  dx = x . Mamy  arctgx dx = x arctgx   xdx /(x 2 + 1). Całkę po prawej stronie obliczamy podstawiając x 2 + 1 = t , skąd xdx = (1/2)dt . Zatem  xdx /(x 2 + 1) =  (1/2)dt /t = (1/2) ln|t | = (1/2) ln(x 2 + 1). Ostatecznie mamy  arctgx dx = x arctgx  (1/2) ln(x 2 + 1) + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji wymiernych Całka funkcji wymiernej ma postać  (an x n + an1 x n1 + a0)/(bm x m + bm1x m1 + b0) dx . (1) Można wykazać, że całka funkcji wymiernej jest równa pewnej kombinacji liniowej funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji kwadratowej o wykładniku ujemnym oraz arcustangensa funkcji liniowej. Przy obliczaniu całki postaci (1) postępujemy następująco: jeśli n  m , to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, jeżeli n < m , to funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste , tj. na wyrażenia postaci A /(ax + b )k oraz (Bx + C )/(cx 2 + dx + e )p , gdzie k , p  N . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji wymiernych Przykład 1. Obliczyć całkę  (cx + d )/(ax + b ) dx , a  0 i ax + b  0. Dzielimy licznik przez mianownik: (cx + d )/(ax + b ) = c /a +(d  bc /a )/(ax + b ) , a więc  (cx + d )/(ax + b ) dx = (c /a )  dx + (d  bc /a )  dx /(ax + b ) = cx /a + (ad  bc )/a 2  ln|ax + b | + C . Jeśli licznik jest pochodną mianownika, to korzystamy z wzoru  f’ (x )dx /f (x ) = ln|f (x )| + C . Przykład 2. Obliczyć całkę I =  (6x  1)/(3x 2  x + 2) dx . Zauważmy, że mianownik jest zawsze większy od zera. Ponieważ licznik jest pochodną mianownika, więc I = ln(3x 2  x + 2) + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji wymiernych Przykład 3. Obliczyć całkę  dx /(2x 2 + 9x  5) . Mianownik ma pierwiastki 5 i 1/2, a więc 2x 2 + 9x  5 = (2x  1)(x + 5). Zakładamy x  5 i x  1/2. Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych 1/(2x 2 + 9x  5)  A /(2x  1) + B /(x + 5), (1) skąd otrzymujemy 1  (A + 2B )x + (5A  B ). Ponieważ tożsamość ma zachodzić dla każdej wartości x, więc mamy równania A + 2B =0 oraz 5A  B = 1, a stąd A = 2/11 i B = 1/11. Rozkład (1) ma zatem postać 1/(2x 2 + 9x  5)  (2/11)/(2x  1)  (1/11)/(x + 5). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji wymiernych Mamy więc  dx /(2x 2 + 9x  5) = (2/11)  dx /(2x  1)  (1/11)  dx /(x + 5) = (2/11)  (1/2)  ln|2x 1|  (1/11) ln|x + 5| + C = (1/11) ln|(2x  1)/(x + 5)| + C . Przykład 4. Obliczyć całkę  (9x  5)dx /(9x 2  6x + 1). Ponieważ 9x 2  6x + 1 = (3x  1)2, więc (zakładając, że x  1/3) szukamy rozkładu postaci (9x  5)/(9x 2  6x +1)  A /(3x  1)2 + B /(3x  1). Rozwiązując tę tożsamość otrzymujemy A = 2 i B = 3. Zatem (9x  5)dx /(9x 2  6x + 1) = 2  dx /(3x  1)2 + 3  dx /(3x  1) = 2  (1)/[3(3x  1)] + 3  (1/3)  ln|3x  1| + C = 2/[3(3x  1)] + ln|3x  1| + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji niewymiernych Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m i n są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie x = t N , gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n . Przykład 1. Obliczyć całkę I =  dx /(x 1/2 + x 1/3) , x >0. Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennych x 1/2 i x 1/3. Wspólnym mianownikiem ułamków 1/2 oraz 1/3 jest 6 i dlatego podstawiamy x = t 6, skąd dx = 6t 5dt , x 1/2 = t 3, x 1/3 = t 2. Mamy I =  6t 5dt /(t 3 + t 2) = 6  t 3dt /(t + 1) = 6  [t 2  t + 1  1/(t + 1)]dt = 6[(1/3)t 3  (1/2)t 2 + t  ln(t + 1)] + C = 2t 3  3t 2 + 6t  6ln(t + 1) + C = 2x 1/2  3x 1/3 + 6x 1/6  6ln(x 1/6 + 1) + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki funkcji niewymiernych Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwumianu ax + b lub funkcji homograficznej (ax + b )/(cx + d ), gdzie ad  bc  0, o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m oraz n są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to w pierwszym przypadku wykonujemy podstawienie ax + b = t N , a w drugim przypadku (ax + b )/(cx + d ) = t N , gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n . Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których wiele innych da się sprowadzić są  dx /(1  x 2)1/2 = arcsinx + C oraz  dx /(x 2 + k )1/2 = ln|x + (x 2 + k )1/2| + C . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Niech funkcja f (x ) będzie ograniczona w przedziale domkniętym [a , b ] i wykonajmy P1 , P2 , … , Pm , … różnych podziałów przedziału [a , b ] na części, gdzie podział Pm jest dokonany za pomocą nm  1 liczb x1 , x2 , … , xn 1 , gdzie m a = x0 < x1 < x2 < … < xn 1 < xn = b. m m Przedziały [xi1 , xi ] (i = 1, 2, … , nm ) nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału Pm , a ich długości oznaczymy przez xi . Niech m oznacza największą liczbę xi , czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału Pm . Ciąg {Pm } nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m = 0. n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Niech nm Sm =  f (ci )xi . (1) i = 1 Jeżeli ciąg {Sm } jest dla m   zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów {Pm } niezależnie od wyboru punktów ci , to funkcję f (x ) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale [a , b ] , a granicę ciągu (1) nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x ) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem b  F (x )dx . a Jeżeli w przedziale [a , b ] jest f (x )  0, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = f (x ), odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i x = b jest równe całce oznaczonej. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Jeżeli a  b  c , to c b c  f (x )dx =  f (x )dx +  f (x )dx . a a b b b  f (x )dx = k  f (x )dx . a a b b b  (f (x ) + g (x )dx =  f (x )dx +  g (x )dx . a a a Jeżeli funkcje u i v są funkcjami ciągłymi zmiennej x mającymi ciągłe pochodne, to (wzór na całkowanie przez części ) b b  udv = [uv ]ab   vdu . a a Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Jeżeli funkcja g’ (x ) jest funkcją ciągłą, funkcja g (x ) jest funkcją rosnącą w przedziale [a , b ] , a funkcja f (u ) jest funkcją ciągłą w przedziale [g (a ), g (b )] , to (wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych ) b g (b )  f (g (x ))g’ (x )dx =  f (u )du . a g (a ) Przykład 1. Obliczyć /2  x sinx dx . Na podstawie wzoru na całkowanie przez części mamy /2 /2 /2  x sinx dx =  x d (cosx ) = [x cosx ]0/2 +  cosx dx = [sin x ]0/2 = 1. 0 0 0 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Przykład 2. Obliczyć /2  sin2x cosx dx . 0 Stosujemy wzór na całkowanie przez podstawienie przyjmując sinx = u . Mamy /2 1  sin2x cosx dx =  u 2du = [(1/3)u 3]01 = 1/3. 0 0 Przykład 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = x 3 + x 2  2x , odcinkiem osi Ox oraz rzędnymi w punktach x = 2 i x = 2. Pole podanego obszaru jest równe 2 P =  |x 3 + x 2  2x |dx . 2 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Całki oznaczone Aby obliczyć całkę, musimy znać znaki wartości funkcji y = x 3 + x 2  2x w przedziale [2, 2]. W tym celu znajdujemy pierwiastki równania x 3 + x 2  2x = x (x 2 + x  2) = 0. Mamy x 1 = 2, x 2 = 0 i x 3 = 1. Przedział [2, 2] rozbijamy na trzy przedziały: [2, 0], [0, 1] i [1, 2]. W pierwszym i trzecim przedziale funkcja ma znak nieujemny, a w drugim – niedodatni. Zatem 0 1 2 P =  (x 3 + x 2  2x )dx   (x 3 + x 2  2x )dx +  (x 3 + x 2  2x )dx 2 0 1 = [(1/4)x 4 + (1/3)x 3  x 2]20  [(1/4)x 4 + (1/3)x 3  x 2]01 + [(1/4)x 4 + (1/3)x 3  x 2]12 = (8/3) + (5/12) + (37/12) = 37/6 . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego