Ekonometria szeregów czasowych 7.12-21.12.2013 MODELE WIELORÓWNANIOWE: IDENTYFIKACJA ESTYMACJA MNOŻNIKI I STABILNOŚĆ

Identyfikowalność Niektóre równania w strukturze naszego modelu mogą nie być identyfikowalne (np. podaż i popyt w zależności od ceny przy warunku równowagi). WARUNEK KONIECZNY identyfikowalności j-tego równania (order condition): liczba zmiennych endogenicznych będących regresorami w j-tym równaniu musi być mniejsza lub równa liczbie zmiennych egzogenicznych modelu, które w tym równaniu nie występują WARUNEK WYSTARCZAJĄCY identyfikowalności j-tego równania (rank condition): z macierzy parametrów formy zredukowanej wybieramy podmacierz, której kolumny odpowiadają zmiennym endogenicznym będącym regresorami w j-tym równaniu, a wiersze – zmiennym egzogenicznym nie występującym w j-tym równaniu; macierz ta ma rząd równy liczbie swych kolumn zauważmy, że zawiera się tu warunek konieczny (macierz o wielu kolumnach i mniejszej liczbie wierszy w oczywisty sposób nie może mieć rzędu równego liczbie kolumn)

Identyfikowalność - przykład 1 x1 x2 x3 x4 -1 a5 a0 a1 a3 b5 b0 b1 b2 c5 c0 c2 c4

Czy te modele są identyfikowalne?

Estymacja parametrów modeli wielorównaniowych moglibyśmy estymować parametry poszczególnych równań za pomocą KMNK problem: w równaniu po prawej stronie zmienne endogeniczne ich elementem są składniki losowe korelacja zmiennych objaśniających ze składnikami losowymi utrata zgodności estymatorów KMNK w postaci zredukowanej problem jest wyeliminowany, ale parametrów do oszacowania jest znacznie więcej… (dlaczego?) zmienna objaśniania w j-tym równaniu zmienne egzogeniczne (spoza modelu) objaśniające yj zmienne objaśniane w innych równa-niach, będące dla yj objaśniającymi

Podwójna MNK (2MNK, 2SLS) – krok 1 te zmienne są funkcją zmiennych egzogenicznych – zarówno występujących w j-tym równaniu, jak i nie występujących Krok 1: szacujemy parametry powyższego modelu za pomocą KMNK. Otrzymujemy w ten sposób wartości teoretyczne Yj, nieskorelowane ze składnikiem losowym:

Podwójna MNK (2MNK, 2SLS) – krok 2 Estymator KMNK dla wektora parametrów j-tego równania wyglądałby następująco: Krok 2: Rzeczywiste wartości endogenicznych zmiennych objaśniających w powyższym wzorze zastępujemy wartościami teoretycznymi z pierwszego kroku i otrzymujemy estymator 2MNK: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 7

Ćwiczenie Oszacuj parametry następującego modelu: za pomocą podwójnej MNK w Excelu. Plik 2mnk.xls

Przykład: model Kleina I

2MNK w Gretlu Model – model równań współzależnych

Model dynamiczny (1) Oznaczmy: Yt* to macierz zawierająca bieżące wartości zmiennych endogenicznych i ich opóźnienia do rzędu S-1 włącznie. W tej sytuacji macierz Yt-1* zawiera wszystkie opóźnienia zm. endogenicznych wchodzące do modelu jako zmienne objaśniające.

Model dynamiczny (2) gdzie: Ten zapis jest równoważny równaniu w postaci zredukowanej, uzupełnionemu o szereg warunków yt-1=yt-1, yt-2=yt-2, ... yt-S+1= yt-S+1

Postać końcowa modelu Kontynuując takie podstawianie, otrzymujemy POSTAĆ KOŃCOWĄ modelu:

Mnożniki MNOŻNIKI BEZPOŚREDNIE MNOŻNIKI DŁUGOOKRESOWE MNOŻNIKI POŚREDNIE (po s okresach) MNOŻNIKI SKUMULOWANE (po s okresach)

Stabilność modelu Model jest stabilny, gdy: Można udowodnić, że dzieje się tak wtedy, gdy największy z modułów wartości własnych macierzy D1 jest mniejszy od 1.

Ćwiczenie W modelu Kleina I: wyznacz mnożniki bezpośrednie, pośrednie, skumulowane i długookresowe; zbadaj stabilność.

Literatura „Ekonometria i badania operacyjne”, rozdział 8 „Ekonometria. Metody i ich zastosowanie”, A. Welfe, rozdział o modelach wielorównaniowych wprowadzenie, notacja stabilność identyfikowalność 2MNK

3MNK Estymacja parametrów każdego równania za pomocą KMNK abstrahuje od endogeniczności niektórych zmiennych objaśniających. 2MNK uwzględnia tę endogeniczność, lecz za jej pomocą estymujemy parametry każdego równania osobno. Korelacje między składnikami losowymi poszczególnych równań nie zostają uwzględnione w procesie estymacji – utrata (asymptotycznej) efektywności (por. autokorelacja). Wady tej w modelu nie będzie, gdy przeprowadzimy łączną estymację parametrów wszystkich równań, uwzględniając korelacje składników losowych poszczególnych równań.

Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (1) Korzystamy z podwójnej MNK w celu oszacowania parametrów poszczególnych równań osobno. Dzięki temu otrzymujemy wektor wartości teoretycznych i reszt losowych dla każdego z równań osobno: Obliczamy kowariancje między resztami losowymi poszczególnych równań:

Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (2) Potraktujmy nasz model wielorównaniowy jako „macierzowy” model jednorównaniowy: macierz nxKm obserwacji na zmiennych objaśniających (endogenicznych i egzogenicznych) m-tego równania wektor Kmx1 parametrów m-tego równania wektor K1+ K2 +…+ Km parametrów modelu wektor nx1 obserwacji zmiennej objaśnianej m-tego równania wektor nx1 składników losowych m-tego równania 20

Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (3) Jak wygląda macierz wariancji-kowariancji składnika losowego naszego „macierzowego” modelu? 21

Dygresja: iloczyn Kroneckera (1) Można wykazać, że

Dygresja: iloczyn Kroneckera (2)

Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (4) Nasz CAŁY model umownie zapisaliśmy jako: Macierz wariancji-kowariancji dla CAŁEGO modelu ma zatem postać: Znając tę macierz, możemy zastosować UMNK z Stąd estymator 3MNK: 24