Dane informacyjne Nazwa szkoły: II Liceum Ogólnokształcące im. ks. prof.J. Tischnera w Wałczu ID grupy: 97/49_MF_G1 Opiekun: Beata Łojewska Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: semestr III 2010/2011

Spis treści Cele projektu. Czym zajmuje się kombinatoryka. Reguła dodawania i mnożenia w kombinatoryce. Wariacje bez powtórzeń. Wariacje z powtórzeniami. Kombinacje. Permutacje. Czym zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa. Z historii rachunku prawdopodobieństwa. Zastosowania rachunku prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Kombinatoryka w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa. Programy komputerowe. Literatura.

Określenie celów projektu *Celem projektu przedstawionego w tej prezentacji jest : Poznanie i przedstawienie metod kombinatorycznych stosowanych w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa. Wyrobienie właściwych intuicji kombinatorycznych. *Przy realizacji projektu interesowało nas: Kto, kiedy i dlaczego zajmował się obliczeniami kombinatorycznymi.

Czym zajmuje się kombinatoryka. Często mamy do czynienia ze zbiorami. Gdy elementy zbioru są wypisane, to łatwo możemy znaleźć ich liczbę. Czasami jednak zbiór jest podany w formie bardziej skomplikowanej i nie jest oczywiste, ile ma elementów. Z pomocą przychodzi kombinatoryka - dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań.

Kombinatoryka odpowiada na pytanie, ile da się zbudować odwzorowań określonego rodzaju z dostępnych elementów. Wyróżniamy trzy rodzaje takich odwzorowań: permutacje, wariacje i kombinacje. Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru skończonego na siebie nazywamy permutacją. Permutacja zatem to ilość możliwych przestawień pewnego zbioru w różne ciągi. Ciąg k-elementowy powstały ze zbioru n-elementowego to wariacja, w której ważna jest kolejność elementów. Jedna z możliwości wyboru kilku elementów z pewnego zbioru to kombinacja, przy czym kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia. Należy pamiętać, że w wariacji liczy się kolejność ustawienia wyrazów, (ciąg), a kombinacja to tylko zbiór elementów. Elementarną metodą kombinatoryki, często stosowaną intuicyjnie jest również tzw. reguła mnożenia i dodawania.

algorytm postępowania przy rozwiązywaniu zadań.

Reguła mnożenia i reguła dodawania.. Często mamy do czynienia ze zbiorami, dla których chcielibyśmy znać liczbę elementów. Wygodnie jest, gdy wszystkie elementy są wypisane i można je policzyć. Niekiedy jednak, mając pewien zbiór, budujemy z jego elementów nowe zbiory i chcemy poznać liczbę elementów w tych nowych zbiorach.          Budując nowe zbiory, musimy ustalić, czy kolejność elementów w nowych zbiorach jest ważna, to znaczy, czy chcemy otrzymać ciągi, czy też kolejność elementów nie ma znaczenia, czyli chcemy otrzymywać podzbiory.

PRZYKŁAD 1 Michał planuje odrabianie pracy domowej. W tym dniu ma do przygotowania tematy z języka polskiego, matematyki i historii. Zastanawia się, w jakiej kolejności uczyć się tych przedmiotów. Aby lepiej zaplanować pracę, postanowił policzyć, ile ma możliwych ustawień kolejności przedmiotów. Zilustrował ustawianie tych przedmiotów na tzw. „drzewku”, pokazując możliwości ustawień kolejno na pierwszym, drugim i trzecim miejscu.

Widzimy, że jako pierwszy przedmiot Michał może wybrać każdy z zadanych. Ma więc trzy możliwości. Przy każdym wyborze pierwszego przedmiotu, jako drugi może wybrać jeden z dwóch pozostałych, czyli ma dwie możliwości. Przy wyborze trzeciego przedmiotu ma tylko jedną możliwość.   Zatem Michał może odrabiać lekcje wybierając kolejność przedmiotów na 3 x 2 x 1=6 sposobów. Odp. 6 sposobów. Zauważmy, że Michał musi odrobić wszystkie lekcje, zatem nie wybiera przedmiotów, tylko zastanawia się, na ile sposobów może je ustawić po kolei.

PRZYKŁAD 2 Ile różnych liczb trzycyfrowych możemy utworzyć z cyfr 1 ,2, 3, 4, 5 tak, aby cyfry w nich się nie powtarzały? W tym przypadku nie wykorzystujemy wszystkich cyfr jednocześnie. Tworzymy liczby trzycyfrowe, mając do dyspozycji pięć cyfr. Kolejność wybieranych cyfr jest ważna. Wśród tych cyfr nie ma zera, zatem każda z nich może być pierwszą cyfrą tworzonej liczby. Mamy 5 możliwych cyfr na pierwsze miejsce. Na drugim miejscu możemy umieścić każdą z cyfr, oprócz tej, którą umieściliśmy na pierwszym miejsc, zatem dla każdej cyfry na pierwszym miejscu mamy cztery cyfry do umieszczenia na drugim miejscu. Po ustaleniu cyfr na dwóch pierwszych miejscach, pozostają nam trzy cyfry i na trzecim miejscu może stać każda z nich. Zatem liczba wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach utworzonych z podanych cyfr jest równa N = 5 x 4 x 3 =60. Odp. 60 liczb. W podanych przykładach zastosowaliśmy pewną regułę nazywaną regułą mnożenia.

Reguła mnożenia Jeżeli wynik pewnego działania może być otrzymany w r kolejnych krokach z n1 wynikami w pierwszym kroku, n2 wynikami w drugim kroku, itd., nr wynikami w r - tym kroku, to wynik ten może być otrzymany na N =n1*n2*…nr sposobów. PRZYKŁAD Pewna pani dekoruje stół ma przyjęcie gości. Ma do wyboru 6 obrusów, 3 wazony i 2 świeczniki. Ile różnych dekoracji może uzyskać? Zauważmy, że pani dekorując stół, nakrywa go najpierw obrusem - ma tu 6 możliwości, następnie stawia wazon - ma do wyboru 3 możliwości i stawia świecznik - 2 możliwości.   Stosując regułę mnożenia otrzymujemy 6 x 3 x 2 = 36 możliwych do uzyskania dekoracji stołu. Odp. 36 dekoracji.

Reguła mnożenia

Reguła dodawania Zastanówmy się wpierw, ile elementów ma suma dwóch zbiorów. Przykład 1 . W klasie jest 16 chłopców i 13 dziewcząt. Ilu uczniów jest w tej klasie? Tu odpowiedź jest bardzo prosta: 29. Wynika to stąd, że zbiory chłopców i dziewcząt są rozłączne. Wtedy wystarczy dodać liczbę dziewcząt do liczby chłopców, by otrzymać poprawny wynik. Przykład 2. Wiemy, że w pewnej klasie każdy uczeń trenuje pływanie lub skoki na nartach. Pływanie trenuje 17 uczniów, skoki na nartach 21 uczniów. Czy możemy stąd wyciągnąć wniosek, że w tej klasie jest 38 uczniów? Raczej nie, gdyż nie wiemy, czy zbiory uczniów trenujących pływanie i trenujących skoki na nartach są rozłączne. Na pewno jednak wiemy, że liczba uczniów jest nie większa od 38. Gdyby natomiast ktoś nam powiedział, że 5 uczniów jednocześnie trenuje pływanie i skoki na nartach, to wtedy wiedzielibyśmy, że w tej klasie jest 33 uczniów. Co odróżnia jeden z tych dwóch przykładów od drugiego.

Treść wyrażoną w ostatnim wzorze można wypowiedzieć potocznie jako Przypuśćmy, że mamy dane dwa zbiory rozłączne A i B , tzn. takie zbiory, które nie mają żadnego elementu wspólnego (symbolicznie piszemy: A∩ B=Ø ). Wtedy zachodzi równość | A U B |= |A| + |B| Jeśli zbiory A i B nie są rozłączne, to mamy tylko nierówność | A U B | ≤ |A| + |B| Jeśli znamy liczbę elementów części wspólnej, to możemy obliczyć liczbę elementów sumy zbiorów: |A U B| = |A| + |B| – |A ∩ B| Wzór na liczbę elementów sumy dwóch zbiorów rozłącznych uogólnia się na przypadek dowolnej liczby zbiorów parami rozłącznych. Twierdzenie (liczba elementów sumy zbiorów parami rozłącznych): Jeśli zbiory A1,A2,...,An są parami rozłączne, to zachodzi równość |A1 U A2 U.. U An| = |A1 | + |A2| +…+ |An| Treść wyrażoną w ostatnim wzorze można wypowiedzieć potocznie jako tzw. regułę dodawania.

Twierdzenie (reguła dodawania): Jeśli możemy wykonać n czynności, przy czym pierwsza czynność daje jeden z k1 wyników, druga czynność daje jeden z k2 wyników itd. aż do n -tej czynności, która daje jeden z kn wyników oraz te wszystkie wyniki są różne, to wykonanie jednej (którejkolwiek) z tych czynności daje jeden z k1 + k2 + …+ kn wyników. PRZYKŁAD 1. Na ile sposobów możemy wybrać jednoosobową delegację parlamentu, w skład którego wchodzi 460 posłów i 100 senatorów? Rozwiązanie: Mamy dwie czynności: wybór posła i wybór senatora. Wybór posła jest możliwy na 460 sposobów (tzn. kończy się jednym z 460 wyników). Wybór senatora jest możliwy na 100 sposobów. Wyniki obu wyborów są różne, zakładamy tu zgodnie z ordynacją wyborczą, że nikt nie może być jednocześnie posłem i senatorem. Teraz mamy wykonać jedną z tych dwóch czynności: wybrać posła lub senatora. Otrzymujemy zatem 560 możliwości

Stąd wynika, że: |N U K| = |N| +| K| – |N ∩ K| = 23 + 18 - 11 = 30 PRZYKŁAD2. Każdy uczeń w klasie gra w piłkę nożną lub w koszykówkę. W piłkę nożną gra 23 uczniów, w koszykówkę 18 uczniów, natomiast w obie te gry razem gra 11 uczniów. Ilu uczniów jest w tej klasie? Rozwiązanie: Niech N będzie zbiorem uczniów grających w piłkę nożną i K zbiorem uczniów grających w koszykówkę. Mamy wówczas: |N| = 23 , |K| = 18, |N∩ K| =11 Stąd wynika, że: |N U K| = |N| +| K| – |N ∩ K| = 23 + 18 - 11 = 30 Ponieważ każdy uczeń należy do któregoś ze zbiorów N i K , więc zbiór N U K jest zbiorem wszystkich uczniów w klasie. Zatem w tej klasie jest 30 uczniów.

WariacjE bez powtórzeń Wariacją k-elementową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru n-elementowego (k ≤ n) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru. Wariacje spełniają następujące warunki: - obejmują jedynie określoną liczbę k spośród danych n elementów, - istotna jest kolejność elementów wariacji. Z k-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy bez zwracania po jednym elemencie z danego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

WariacjE bez powtórzeń

Wariacje z powtórzeniami. Wariacją k-elementową z powtórzeniami utworzoną ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru. Z k-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru n-elementowego mamy do czynienia wówczas, gdy k razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z danego zbioru. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje z powtórzeniami:  {a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, b}, {b, c}, {c, a}, {c, b}, {c, c}. Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacje z powtórzeniami.

Kombinacje Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego (k ≤ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. Kombinacje spełniają następujące warunki: - obejmują jedynie określoną liczbę k spośród danych n elementów. - nie jest istotna kolejność elementów kombinacji. Kombinacja, to jedna z możliwości wyboru kilku elementów z większego zbioru, przy czym kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia. Dwa podzbiory złożone z tych samych elementów, a różniące się tylko ich porządkiem, stanowią tę samą kombinację. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje: {a, b}, {a, c}, {b, c}. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

KOMBINACJE

Zadanie 1

Zadanie 2.

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Permutacja spełnia następujące warunki: - każda permutacja obejmuje wszystkie dane elementy, - istotna jest tylko kolejność elementów permutacji. Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy tego zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące permutacje:  {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Liczba permutacji zbioru złożonego z n elementów jest równa n!.

PERMUTACJE

prawdopodobieństwo Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp. Podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych, z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia.

Z historii rachunku prawdopodobieństwa Rozwój rachunku prawdopodobieństwa ściśle związany był z grami hazardowymi. W gry hazardowe grano i grać się będzie. Pierwszą książkę poświęconą zjawiskom losowym nazwano więc... "Sztuka rzucania". Ponieważ duża część matematyków utrzymywała się z hazardu, zyskiwali oni coraz większą wiedzę o prawdopodobieństwie. Dawało to im nieznaczną przewagę nad pozostałymi graczami. Musieli jednak wypracowywać zyski w sposób, który nie budzi podejrzeń. W przeciwnym wypadku zakończyliby swój proceder z nożem w plecach lub jak jeden z uczniów Cardana,  z obciętymi palcami prawej dłoni. Dlatego gra musiała sprawiać wrażenie "sprawiedliwej". Wielu matematyków czerpało z niego bowiem pokaźne zyski, jak na przykład Bernoulli, który zarabiał na balach i przyjęciach przyjmując zakłady.

Z historii rachunku prawdopodobieństwa Przykładowo, jeden z przyjaciół Pascala zakładał się, że w czterech rzutach jedną kostką wyrzucona zostanie szóstka. Wiedział, że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosiło 51,77 proc. Wygrywał niewielkie stawki w długich seriach rzutów. Oczywiście, musiał dysponować sporym majątkiem. Początkowo mógł przecież trafić na długą serię przegranych. Warto jednak dodać, że stracił dużą część majątku obstawiając inną grę, to jest wyrzucenie pary szóstek w serii 24 rzutów dwiema kostkami. Zawiodła go intuicja, pomylił się w obliczeniach lub testował metodę na zbyt małej próbie. Prawdopodobieństwo wynosiło bowiem 49,14 proc. Jak zauważa Peter L. Bernstein w książce w książce "Niezwykłe dzieje ryzyka", gdyby zakładał się na ten sam wynik w serii 25 rzutów, uzyskałby przewagę z prawdopodobieństwem 50,55 proc.

Z historii rachunku prawdopodobieństwa W rozwoju probabilistyki jako gałęzi matematyki udział mieli tacy wielcy matematycy jak: J. Bernoulli, A. Moivre, P. Laplace, S. Poisson, P. L. Czebyszew, A. A. Markow, A. N. Kołmogorow. Na szczególne podkreślenie zasługuje również wkład polskich uczonych w rozwoju rachunku prawdopodobieństwa: H. Steinheusa, M. Smoluchowskiego, A. Łomnickiego, J. Marcinkiewicza, J. Spława - Neymana. Rachunek prawdopodobieństwa utożsamia się często z jakąś dziwną, nie bardzo wiadomo, komu i do czego potrzebną teorią o losowaniu kul z urny, kart z potasowanej talii, o rzutach monetą czy kostką. Wielu zastanawia się, do czego i komu jest potrzebna ta dziwna teoria?

Z historii rachunku prawdopodobieństwa Głównymi bohaterami rachunku prawdopodobieństwa są pewne eksperymenty, zjawiska, o przebiegu, których decyduje przypadek. Rzuty monetą czy kostką, losowanie kul czy kart - to najprostsze przykłady takich eksperymentów. W otaczającym nas świecie znajdujemy bardzo wiele ciekawych zjawisk, które są podobnymi eksperymentami losowymi. Niektóre cechy, takie jak: kolor kwiatów roślin, barwa sierści zwierząt, długość skrzydeł owadów, kolor skóry niektórych płazów czy grupa krwi ludzi są przekazywane z pokolenia na pokolenie przez specjalne twory zwane genami.

Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa XIX i XX wieku rachunek prawdopodobieństwa zaczęto stosować w różnych dziedzinach ludzkiej działalności w: - demografii, - zagadnieniach ubezpieczeń, - rachunku błędów, - statystyce. Rachunek prawdopodobieństwa znalazł bardzo duże zastosowanie  w teorii podejmowania decyzji na co dzień, w rozwiązywaniu różnorodnych problemów praktycznych. Metody probabilistyczne stosuje w swej pracy fizyk i socjolog, archeolog i językoznawca, genetyk i kierownik produkcji.

AKSJOMATYCZNA definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu A ⊂ Ω jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: P(A) ≥ 0 P(Ω) = 1 B ⊂ Ω  i  A ∩ B = Ø ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  to mówimy, że na zdarzeniach zbioru Ω określone zostało prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. Jest to aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, którą podał w 1933 Andriej Kołmogorow

AKSJOMATYCZNA definicja prawdopodobieństwa

KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Jeżeli przestrzeń Ω jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. P(A)= liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A liczba wszystkich wyników przestrzeni Ω  P(A)= A= Ω= Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa, którą podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Definicja klasyczna pozwala obliczać prawdopodobieństwo w prostych przypadkach, jednak nie można jej stosować dla zbiorów nieskończonych. W praktyce bardzo często jednak spotykamy się z zagadnieniami, gdzie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, wówczas możemy korzystać z powyższego wzoru.

KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Kombinatoryka w zadaniach z r. p-stwa. Z cyfr 0,1 układamy 4cyfrowy szyfr. Określ liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia Zdarzenie A polega na tym, że ułożony szyfr zawiera dokładnie jedno 0. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A . Wyznacz p-stwo zdarzenia A. Rozwiązanie: Zdarzenia elementarne to wszystkie 4elementowe ciągi elementów zbioru dwuelementowego, liczba ich jest równa liczbie 4el. wariacji z powtórzeniami zbioru 2el. |Ω| =2^4 = 16 ( mamy do dyspozycji 4 pozycje, na każdej nich jedna z dwóch cyfr), A = { 1110,1101,1011,0111} |A| = 4 P(A) = 4/16 czyli P(A) = 0.25

Kombinatoryka w zadaniach z r. p-stwa. Zadanie 2.. Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od 5. Rozwiązanie Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką. Wprowadźmy następujące oznaczenia: Ω - zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A - wypadła liczba oczek mniejsza od 5. Zatem A = {1, 2, 3, 4}. Zdarzenie A jest oczywiście naszym zdarzeniem losowym. Obliczmy teraz moc zbioru A oraz zbioru Ω: |A| = 4 (bo w skład zbioru A wchodzą 4 zdarzenia elementarne) |Ω| = 6 (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników rzutu kostką) Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest następujące: P(A) = 4/6

Kombinatoryka w zadaniach z r. p-stwa. ,Zad.3. Autobus, którym jedzie 3 pasażerów zatrzymuje się na 7 przystankach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każdy pasażer wysiądzie na innym przystanku? Oblicz. Rozwiązanie. |Ω| = 7^3 ( każdy z 3 pasażerów może opuścić autobus na jednym z siedmiu przystanków) |A| = 7 * 6 * 5 P(A) = 7*6*5/7*7*7 = 30/49 Zad.4. Rzucamy czterokrotnie monetą. Określ zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i wyznacz ich liczbę. Oblicz p-stwo zdarzenia A polegającego na tym, że orzeł wypadł co najmniej dwa razy |Ω|= 2^4 = 16 A ‘= {RRRR,ORRR,RORR,RROR,RRRO}, |A’| = 5 |A| = , 16 – 5 = 9 P(A) = 9/16

Kombinatoryka w zadaniach z r. p-stwa. | Kombinatoryka w zadaniach z r. p-stwa. Zad.5. Sześć osób, wśród których są Darek i Marek siada losowo na ławce..Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: Darek siedzi obok Marka. | Ω| = 6! = 6*5*4*3*2*1 |A| = 5! * 2 P(A) = 5! * 2 / 6! = 1/3 Zad.6. Mamy trzy zbiory liczb A1 ={1,2,3,4}, A2 ={5,6}, A3 ={ 7,8,9}. Wybieramy kolejno po jednej cyfrze z każdego zbioru i układamy liczbę począwszy od rzędu setek. Ile jest zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego? Zdarzenie A polega na tym, że wybrano trzy cyfry, które utworzyły liczbę parzystą . Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A . Wyznacz p-stwo zdarzenia A. |Ω| = 4 * 2 * 3 A = { 158,168,258,268,358,368,458,468}; |A| = 8 P(A) = 8/24 = 1/3

PROGRAMY KOMPUTEROWE Program symulujący rzut monetą – podaje częstość otrzymania orła w wyniku rzutu monetą w dowolnej, podanej przez użytkownika liczbie prób.

Programy komputerowe Efekt działania programu moneta.

LITERATURA: http://www.strefawms.net/index.php/artykusy-mainmenu-26/-nauka-mainmenu-30/89-prawdopodobieo-wywodzi-si-fizyki-a-bernoulli-zarabias-na-zaksadach http://www.math.edu.pl/kombinatoryka http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/kombinatoryka/760.html http://www.jakubas.pl/matematyka/02-kombinatoryka/kombinatoryka.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Wariacja_z_powt%C3%B3rzeniami http://matematyka.pl http://matematyka.pisz.pl/ http://www.matemaks.pl/rachunek_prawdopodobienstwa.html http://panmarek.sasiedzi.pl/ZESTAWIENIE/PROBABILISTYKA/Zadania%20gotowe.htm

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ! Autorzy prezentacji: grupa mat – fiz przy II LO w Wałczu: Marta Gawlik Aleksandra Leszczyk Oliwia Czaban Szymon Bielecki Łukasz Chinczewski Adrian Kulczyk Michał Atraszkiewicz Dawid Heller Hubert Pasich oraz opiekun: Beata Łojewska