Liczby Ramseya Klaudia Sandach

Plan prezentacji: Teoria Ramseya Wartości liczb Ramseya O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Teoria Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Frank Ramsey (1903 -1930) Wniósł trwały wkład do logiki, matematyki i ekonomii oraz do filozofii tych dyscyplin nauki. Nurtującymi go kwestiami w ekonomii był problem optymalnego systemu podatkowego (Problem Ramseya) oraz kwestia optymalnego wydawania i oszczędzania przez konsumentów (Model Ramseya). Na początku roku 1930 Ramsey udowodnił twierdzenie z teorii grafów, nazywane dziś twierdzeniem Ramseya i opracował teorię Ramseya dotyczącą podobnych zagadnień. Zdecydowanie sprzeciwiał się formalizmowi Hilberta w matematyce, był też przekonany, że matematyka daje się sprowadzić do logiki. Zmarł po operacji w wieku niecałych 27 lat. Jego przedwczesna śmierć jest uważana za jedną z największych strat dwudziestowiecznej filozofii. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie Ramseya (dwukolorowe) Niech c będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od c. Wówczas istnieje dodatnia liczba całkowita R taka, że jeżeli wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru {1,…, R} zostaną pokolorowane na czerwono lub zielono, to będzie istniał c-elementowy podzbiór zbioru {1,…, R}, którego wszystkie k-elementowe podzbiory będą tego samego koloru. Taka najmniejsza możliwa liczba R nazywa się „liczbą Ramseya”. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przypadek k=1 Jeżeli każdy jednoelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,7} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,7}, którego wszystkie jednoelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. Tu: c=4, R=7 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przypadek k=1 Ten przypadek jest prostym uogólnieniem zasady szufladkowej. Np.: jeżeli umieścimy liczby ze zbioru {1,2,…,7} w dwóch szufladkach (czerwonej i zielonej), to jedna z tych szufladek musi zawierać co najmniej cztery liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przypadek k=2 Jeżeli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18}, którego wszystkie dwuelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. Tu: c=4, R=18 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przypadek k=2 Ten przypadek dotyczy kolorowania dwuelementowych podzbiorów i może być interpretowany jako kolorowanie krawędzi grafu. Dlatego przy k=2 twierdzenie Ramseya można traktować jako kombinatoryczny aspekt teorii grafów. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przykład Wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy: Albo trzy osoby, które znają się wzajemnie (każda z każdą) Albo trzy osoby, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Innymi słowy kolorując krawędzie grafu K6 na czerwono lub zielono, zawsze otrzymamy podgraf K3 o wszystkich krawędziach tego samego koloru. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Dowód Każda osoba to inny wierzchołek grafu Każdą parę osób (wierzchołków) łączymy krawędzią Otrzymujemy graf pełny K6 Każdej krawędzi nadajemy kolor zielony (osoby znają się) lub czerwony (osoby nie znają się) Ustalamy dowolny wierzchołek v Z v wychodzi pięć krawędzi, więc co najmniej trzy są w tym samym kolorze (np. zielonym) Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Dowód Oznaczmy wierzchołki na drugich końcach tych krawędzi jako w, x, y vw, vx i vy są zielone: Jeśli wx, xy lub yw będą zielone, to pojawi się zielony trójkąt vwx, vxy lub vwy Jeśli wx, xy i yw będą czerwone, to otrzymamy czerwony trójkąt wxy Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Rozważmy mniejszy graf Gdybyśmy zamiast grafu K6 rozważyli K5, to bardzo łatwo pokazać, że można pokolorować jego krawędzie na czerwono lub zielono, nie otrzymując jednokolorowego podgrafu K3. Zatem n=6 jest najmniejszą liczbą taką, że jeżeli krawędzie grafu Kn pokolorowane są na zielono lub czerwono, to istnieje podgraf K3 czerwony lub zielony. Uogólnijmy ten fakt na większe liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie: Niech 𝑟,𝑔≥2 będą liczbami całkowitymi i niech 𝑛= 𝑟+𝑔−2 𝑟−1 . Wówczas, jeżeli krawędzie grafu Kn są pokolorowane na czerwono lub zielono, to istnieje czerwony podgraf Kr albo zielony podgraf Kg. Korzystając z twierdzenia można zdefiniować liczbę Ramseya R(r,g) jako najmniejszą liczbę całkowitą n mającą wyżej opisaną własność. Nazwy kolorów są bez znaczenia, więc R(r,g) = R(g,r). Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Oszacowanie dla liczb Ramseya Twierdzenie: Dla 𝑟,𝑔≥2 liczba Ramseya 𝑅 𝑟,𝑔 spełnia nierówności 𝑟−1 𝑔−1 +1≤𝑅(𝑟,𝑔)≤ 𝑟+𝑔−2 𝑟−1 Nierówność z prawej strony wynika z poprzedniego twierdzenia. Na podstawie definicji 𝑅(𝑟,𝑔) jest najmniejszą liczbą całkowitą n o przedstawionej własności kolorowania i na mocy twierdzenia 𝑛= 𝑟+𝑔−2 𝑟−1 ma tę własność. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie Ramseya (2)* Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze znajdziemy: Albo k osób, które znają się wzajemnie (każda z każdą) Albo k osób, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Najmniejsze takie n, którego istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie, oznaczamy przez R(k) i nazywamy k-tą liczbą Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Wartości liczb Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów." pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

R(5,5) Wiadomo tylko, że 43≤𝑅 5,5 ≤49. Graf K43 ma 43 2 =903 krawędzie. Analizując ich wszystkie możliwe dwukolorowania, należy rozpatrzeć 2 903 przepadków. Przekracza to możliwości najszybszych komputerów. Dla kolejnych liczb Ramseya obliczenie ich wartości jest jeszcze trudniejsze. Nie istnieje dla nich także żaden jawny wzór. Prawdopodobnie nigdy nie dowiemy się ile wynosi 6 i 7 liczba Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Co wynika z teorii Ramseya? Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Wnioski Jeżeli pokolorujemy elementy pewnego, dostatecznie dużego zbioru, to musi zajść w ramach tego kolorowania pewna prawidłowość. Niemożliwy jest nieskończony nieporządek. Nieuchronność pojawienia się pewnych regularności w dużych strukturach. Dla każdego małego obiektu matematycznego możemy zawsze znaleźć odpowiednio dużą strukturę, w której obiekt ten musi się pojawić. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie typu ramseyowskiego Niech 𝑟,𝑔≥2 będą liczbami całkowitymi i załóżmy, że dane jest konkretne drzewo T na 𝑔 wierzchołkach. Wówczas, jeżeli każda krawędź grafu pełnego K(r-1)(g-1)+1 jest pokolorowana na czerwono lub zielono, to istnieje graf pełny Kr o barwie czerwonej lub drzewo T o barwie zielonej. Ponadto (r-1)(g-1)+1 jest najmniejszą liczbą o tej własności. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Przykład Pokazać, że jeżeli każda z liczb {1,2,3,4,5} jest pokolorowana na czerwono lub zielono, to będą istniały liczby 𝑥, 𝑦, 𝑧 (niekoniecznie różne) o tej samej barwie takie, że 𝑥+𝑦=𝑧. Rozwiązanie: … Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie Ramseya, a wielokąty wypukłe Zbiór na płaszczyźnie jest wypukły, jeżeli odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do zbioru również do niego należy. Wypukła otoczka (dla dowolnego określonego zbioru na płaszczyźnie) jest to najmniejszy zbiór wypukły zawierający zadany zbiór. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Własności Pokazać, że jeżeli wyznaczymy na płaszczyźnie pięć punktów, z których żadne trzy nie leża na jednej prostej, to cztery spośród tych punktów utworzą wierzchołki wypukłego czworokąta. Pokazać, że jeżeli 𝑟(≥4) punktów na płaszczyźnie nie tworzy wierzchołków wypukłego wielokąta, to pewne cztery punkty spośród nich nie utworzą wierzchołków wypukłego czworokąta. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Twierdzenie typu ramseyowskiego (2) Niech r będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas istnieje liczba całkowita R taka, że dowolnych R punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na prostej, musi zawierać r punktów, które tworzą wierzchołki wypukłego wielokąta. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Stanisław Radziszowski Jest autorytetem w dziedzinie liczb Ramseya, jego artykuł „Small Ramsey Numbers” publikowany w Electronic Journal of Combinatorics jest podstawowym tekstem tej teorii. W 1995 r. wraz z Brendanem McKay wyznaczył liczbę R(4,5), co jest uważane za jego najbardziej spektakularny sukces. Profesor Radziszowski urodził się w Gdańsku 7 czerwca 1953 r, tytuł doktora uzyskał na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1985 roku jest profesorem informatyki na Politechnice w Rochester (stan Nowy Jork). Pracował również w Universidad Nacional Autónoma de México. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Bibliografia Aspekty kombinatoryki, Victor Bryant Największa liczba na świecie, Tomasz Bartnicki http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Ramseya http://pl.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Radziszowski Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

Dziękuję za uwagę. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya