Granica funkcji

Tematyka zajęć O czym będziemy mówili: O granicy ciągu liczbowego (przypomnienie z klasy II) O granicy funkcji O graficznej interpretacji granicy funkcji O asymptotach wykresów funkcji O metodach obliczania granic funkcji Co powinieneś rozumieć: Co to jest granica funkcji Co powinieneś umieć: Obliczać granice funkcji

Granica ciągu Weźmy pod uwagę prostą (oś liczbową) na której zaznaczono punkt a i dowolną liczbę E>0 DEFINICJA Przedział otwarty (a-E,a+E) nazywamy otoczeniem punktu a. a-E a a+E

Granica ciągu Zwrot: „prawie wszystkie wyrazy ciągu” odnosi się do ciągów nieskończonych i oznacza tyle, co wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem (oprócz) skończonej ich liczby. DEFINICJA Mówimy, że liczba a jest granicą ciągu, jeśli do dowolnego otoczenia liczby a należą prawie wszystkie wyrazy ciągu. Piszemy: lim - limes - granica (łac.) Ciąg, który ma granicę nazywamy zbieżnym.

Granica ciągu - media Prezentacja – granica ciągu, twierdzenia o granicach, obliczanie granic Granica ciągu - animacja Granica ciągu – www.medianauka.pl Granica ciągu

Granica funkcji Weźmy dowolną funkcję f(x) i ustalmy punkt x0. x0

Granica funkcji Weźmy dowolną ciąg argumentów (z dziedziny funkcji) {xn} zbieżny do punkt x0 o wyrazach różnych od x0 x0 ... x3 x2 x1 {xn} -> x0

Granica funkcji Ciągowi argumentów {xn} odpowiada pewien ciąg wartości {f(xn)} f(x1) f(x2) f(x3) . g {f(xn)} -> g Jeżeli ten ciąg wartości dąży do g to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę równą g.

Granica funkcji Definicja (Heinego) Mówimy, że funkcja f : D->R ma w punkcie x0 granicę równą g, jeśli dla dowolnego ciągu argumentów {xn} (o wyrazach należących do dziedziny i różnych od x0) zbieżnego do x0, ciąg wartości {f(xn)} jest zbieżny do g. Piszemy Dla granicy funkcji obowiązują twierdzenia analogiczne jak dla granicy ciągu.

Granica funkcji Granicę funkcji intuicyjnie i graficznie możemy rozumieć, jako punkt na wykresie (dokładnie wartość na osi Y) do którego „dojdziemy poruszając się po wykresie w kierunku punktu x0”. x0 g

Granica funkcji Jeśli ciąg {xn} spełnia warunek xn > x0 to, granicę g nazywamy prawostronną Jeśli ciąg {xn} spełnia warunek xn < x0 to, granicę g nazywamy lewostronną Funkcja ma punkcie x0 granicę wtedy i tylko wtedy, gdy granice lewo- i prawostronna w tym punkcie są równe !!! .

Granica funkcji - asymtoty Jeśli granicą jest „nieskończoność”, to mówimy, że funkcja ma granicę niewłaściwą w punkcie x0 . Asymtota pionowa

Granica funkcji - asymptoty Analogicznie określamy granicę funkcji w nieskończoności Asymtota pozioma

Granica funkcji - media Granica funkcji – lekcja video EN Granica funkcji Granica funkcji – lekcja video EN Granica funkcji Granica funkcji – lekcja video EN Granica funkcji Granica funkcji – google PL Granica funkcji Granica funkcji – www.medianauka.pl

Granica funkcji - przykłady Proszę narysować wykres funkcji, który: Ma granicę w punkcie równą wartości funkcji Ma granicę w punkcie, ale nie ma w tym punkcie wartości (punkt spoza dziedziny) Ma granicę różną od wartości w punkcie Ma wartość w punkcie, ma granice jednostronne, ale nie ma granicy Ma granice jednostronne, nie ma granicy i nie ma wartości w punkcie Ma granice jednostronne niewłaściwe Ma granicę lewostronna niewłaściwą, a prawostronną właściwą Ma dwie różne asymptoty pionowe i dwie różne poziome

Granica funkcji - obliczanie 1. Jeśli jest to możliwe, to wstawiamy punkt do wzoru i obliczamy granicę (wartość funkcji = granica funkcji) Zobacz program

Granica funkcji - obliczanie 2. Jeśli nie jest możliwe wstawienie punktu do wzoru, to przekształcamy wzór funkcji (granice z symbolami nieoznaczonymi typu ) Zobacz program

Granica funkcji - obliczanie 3. Jeśli nie jest możliwe wstawienie punktu do wzoru, to przekształcamy wzór funkcji (analogicznie do usuwania niewymierności) Zobacz program

Granica funkcji - obliczanie 4. Granice funkcji w nieskończoności liczymy tak samo jak granicę ciągu Zobacz program

Granica funkcji - obliczanie 5. Granicę niewłaściwą funkcji wyznaczamy przez „szacowanie” Zobacz program

Zapraszam na stronę www.gumienny.edu.pl Granica funkcji Dziękuję za uwagę. Zapraszam na stronę www.gumienny.edu.pl